数学选修2-32.3.1离散型随机变量的数学期望说课课件ppt

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问题1 我们已经学习了离散型随机变量的数学期望与方差，你还记得在一般情况下，我们对于离散型随机变量的数学期望与方差的计算公式吗？
一般地，设一个离散型随机变量 所有可能取的值是 ，这些值对应的概率是 ，则 叫做这个离散型随机变量 的均值或数学期望（简称期望）.
一般地，设一个离散型随机变量 所有可能取的值是 ，这些值对应的概率是 ，则叫做这个离散型随机变量 的方差.
问题2 离散型随机变量的数学期望与方差分别刻画了这个离散型随机变量什么样的数字特征？
离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平;
离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平;离散型随机变量的方差反映了离散型随机变量相对于期望的平均波动大小（或说离散程度）.
问题3 我们还学习了特殊分布的离散型随机变量的数学期望与方差的计算公式，你还记得吗？
若离散型随机变量 服从参数为 的二点分布，则
若离散型随机变量 服从参数为 和 的二项分布，则
若离散型随机变量 服从参数为 的超几何分布，则
问题4 结合前面复习的计算公式，你觉得我们在面对离散型随机变量的数学期望与方差这类数字特征的问题时应该如何去解决？
一般离散型随机变量特殊分布的离散型随机变量
一般离散型随机变量 求分布列 一般公式求解；特殊分布的离散型随机变量
一般离散型随机变量 求分布列 一般公式求解；特殊分布的离散型随机变量 判断分布 分布公式求解.
离散型随机变量数学期望与方差问题
离散型随机变量数学期望与方差问题判断是否是特殊分布
离散型随机变量数学期望与方差问题判断是否是特殊分布 求解分布列 一般公式求解
离散型随机变量数学期望与方差问题判断是否是特殊分布 求解分布列 找到特殊分布的重要参数 一般公式求解 特殊分布公式求解
例题 掷一个骰子所得的点数为 ，求 .
分析：本题是一道有关离散型随机变量的方差的问题.是一般分布问题还是特殊分布问题？
分析：本题是一道有关离散型随机变量一般分布的方差问题.一般问题的求解思路：列分布列 求解期望 求解方差.
解：由题目可知，离散型随机变量 的分布列如下：所以
例题 班上有45名同学，其中30名男生，15名女生，老师随机地抽查了5名同学的作业，用 表示抽到的女生的人数，求 .
分析：本题是一道有关离散型随机变量的数学期望的问题.是一般分布问题还是特殊分布问题？
分析：本题是一道求超几何分布的数学期望的问题.需要先找到超几何分布的重要参数 ，再根据公式求解.
解：由题目知抽到女生的人数 服从参数的超几何分布，所以
例题 某养老机构的员工包含3个不同的年龄段，其中老年员工2人，中年员工5人，青年员工1人，现从中随机抽取3人，记选出的员工所包含的年龄段的个数为 ，求 的数学期望.
分析：本题是一道有关离散型随机变量一般分布的期望问题.一般问题的求解思路：列分布列 求解期望.
解：由题，随机变量 的可能取值有 ，，，所以 ， ，
所以， 的分布列如下：所以 .
例题 从装有3个白球和2个黑球的布袋中摸取一球，有放回的摸取5次，求摸得的白球数 的数学期望和方差.
分析：本题是一道有关离散型随机变量的数学期望与方差的问题.是一般分布问题还是特殊分布问题？
分析：本题是一道二项分布数学期望与方差的问题.需要先找到二项分布的重要参数 和 ，再根据公式求解.
解：由题目知摸得的白球数 服从参数 的二项分布，所以
例题 某人投弹命中目标的概率 .(1) 投弹1次，求命中次数 的均值与方差；(2) 重复投弹10次，求命中次数 的均值与方差．
分析：本题所涉及的均值的概念其实就是数学期望.是一般分布问题还是特殊分布问题？
分析： (1)中投弹1次，随机变量 服从二点分布，需要找到参数 的值，再根据公式求解；
分析： (1)中投弹1次，随机变量 服从二点分布，需要找到参数 的值，再根据公式求解；(2)中投弹10次，随机变量 服从二项分布，需要找到参数和 的值，再根据公式求解.
解：(1)随机变量 服从参数 的二点分布，根据二点分布的数学期望与方差的公式，命中次数 的均值 ， 方差 .
解：(2)随机变量 服从参数 的二项分布，根据二项分布的数学期望与方差的公式，命中次数 的均值 ， 方差 .
例题 某次数学考试，共有300名学生参加，获得优秀的答卷共有100份，若有放回地抽取5次，记其中优秀答卷的份数为 ，求 的数学期望.
分析：有放回地抽取 每次抽取获得优秀的概率不变 本题是一道求解二项分布数学期望的问题.
解：随机变量 服从参数 的二项分布，根据二项分布的数学期望的公式， .
例题某次数学考试，共有300名学生参加，获得优秀的答卷共有100份，若有放回地抽取5次，记其中优秀答卷的份数为 ，求 的数学期望.
变式 某次数学考试，共有300名学生参加，获得优秀的答卷共有100份，从所有答卷中抽取5份答卷，记其中优秀答卷的份数为 ，求 的数学期望.
原题某次数学考试，共有300名学生参加，获得优秀的答卷共有100份，若有放回地抽取5次，记其中优秀答卷的份数为 ，求 的数学期望.
分析：每次抽取获得优秀的概率都随着人数的变化而发生改变.本题是一道求解超几何分布数学期望的问题.
解：随机变量 服从参数 的超几何分布，根据超几何分布的数学期望的公式，所以
例题 某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率为 ，求此人试验次数 的期望.
解：试验次数 的可能取值有 ，，，所以， ， ， .
所以， 的分布列如下：所以 .
求：(1)在A、B两个项目上各投资100万元， 和 分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差 和 ；(2)根据你得到的结论，对于投资者你有什么建议？
例题 A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量 和 ，根据市场分析， 和 的分布列分别为
所以， ， ； ， .
解：(1)题目可知，投资项目A和B所获得的利润 和 的分布列为：
解：(2) 由(1)可知： ，说明投资A项目比投资B项目期望收益要高；同时 ，说明投资A项目比投资B项目的实际收益相对于期望收益的平均波动要更大.
因此，对于追求稳定的投资者，投资B项目更合适;而对于更看重利润并且愿意为了高利润承担风险的投资者，投资A项目更合适.
例题 某人有10万元,有两种投资方案:一是购买股票,二是存入银行获取利息.购买股票的收益取决于经济形势:若形势好可获利4万元,若形势中等可获利1万元,若形势不好要损失2万元.假设经济形势好中差的概率分别为30%,50%,20%.如果存入银行,假设年利率为8%(不考虑利息税).试问选择哪一种方案,投资的预期效益较大?
例题 某人有10万元,有两种投资方案:一是购买股票,二是存入银行获取利息.购买股票的收益取决于经济形势:若形势好可获利4万元,若形势中等可获利1万元,若形势不好要损失2万元.假设经济形势好中差的概率分别为30%,50%,20%.如果存入银行,假设年利率为8%(不考虑利息税).试问选择哪一种方案,投资的预期效益较大?分析：购买股票的预期收益 离散型随机变量的期望 存入银行 固定收益
解： 设购买股票的预期收益为随机变量 ，由题目可知，随机变量 的分布列如下:所以，预期收益 ，而存入银行的利率的预期收益为 ，因为 ，所以购买股票投资的预期效益较大.
练习 下列说法中，正确的是 .
① 离散型随机变量的均值E(X)反映了X 的平均取值水平；② 离散型随机变量的方差D(X)反映了X 离散程度；③ 离散型随机变量的均值E(X)一定非负；④ 离散型随机变量的方差D(X)一定非负.
练习 下列说法中，正确的是 ①②④ .
① 离散型随机变量的均值E(X)反映了X 的平均取值水平；② 离散型随机变量的方差D(X)反映了X 离散程度；③ 离散型随机变量的均值E(X)一定非负；④ 离散型随机变量的方差D(X)一定非负.数学期望刻画了平均取值水平;方差反映了离散程度.
100和0.08B. 20和0.4C. 10和0.2D. 10和0.8
练习 已知 ， ， ，则 与 的值分别是( )
100和0.08B. 20和0.4C. 10和0.2D. 10和0.8分析：由于随机变量服从二项分布，由二项分布的期望和方差的公式可知 且 ，所以 ，所以 ， .
练习 已知 ， ， ，则 与 的值分别是( D )
练习 某经销商从沿海城市水产养殖厂购进一批海鱼，随机抽取50条作为样本进行统计，按海鱼质量（g）得到右图所示的频率分布直方图．根据市场行情，该海鱼按质量可分为三个等级，如下表所示．
若经销商以这50条海鱼的样本数据来估计这批海鱼的总体数据，视频率为概率．现从这批海鱼中随机抽取3条，记抽到二等品的条数为X，求X的数学期望．
若经销商以这50条海鱼的样本数据来估计这批海鱼的总体数据，视频率为概率．现从这批海鱼中随机抽取3条，记抽到二等品的条数为X，求X的数学期望．分析：视频率为概率 二项分布求期望 找到参数n和p 结合图表得到二项分布参数p的值.
解：由频率分布直方图可知，二等品的频率 ，由题视频率为概率 ，所以，抽到二等品的条数为X服从参数 的二项分布，根据二项分布的数学期望的公式，
解：由频率分布直方图可知，二等品的频率 ，由题视频率为概率 ，所以，抽到二等品的条数为X服从参数 的二项分布，根据二项分布的数学期望的公式，二等品的条数X的数学期望 ．
课堂小结1.解决离散型随机变量数学期望与方差问题的思考步骤；2.解决离散型随机变量数学期望与方差问题时需要关注的重点问题；3.离散型随机变量数学期望与方差问题的实际应用.
需要关注的重点问题（1）区别二点分布与二项分布；（2）区别二项分布与超几何分布；（3）重视解决离散型随机变量数学期望与方差问题的一般求解思路：通过列分布列用一般公式求解.
实际应用问题离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平;离散型随机变量的方差放映了离散型随机变量相对于期望的平均波动大小（或说离散程度）.
作业 甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛．现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场．已知甲球队第5，6场获胜的概率均为 ，但由于体力原因，第7场获胜的概率为 ．设 表示决出冠军时比赛的场数，求 的数学期望．