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2019年广西玉林市中考数学试卷
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这是一份2019年广西玉林市中考数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．
1．（3分）9的倒数是（ ）
A．B．﹣C．9D．﹣9
2．（3分）下列各数中，是有理数的是（ ）
A．πB．1.2C．D．
3．（3分）如图，圆柱底面圆半径为2，高为2，则圆柱的左视图是（ ）
A．平行四边形B．正方形C．矩形D．圆
4．（3分）南宁到玉林城际铁路投资约278亿元，将数据278亿用科学记数法表示是（ ）
A．278×108B．27.8×109C．2.78×1010D．2.78×108
5．（3分）若α＝29°45′，则α的余角等于（ ）
A．60°55′B．60°15′C．150°55′D．150°15′
6．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a+2a＝5a2
B．3a2﹣2a＝a
C．（﹣a）3•（﹣a2）＝﹣a5
D．（2a3b2﹣4ab4）÷（﹣2ab2）＝2b2﹣a2
7．（3分）菱形不具备的性质是（ ）
A．是轴对称图形B．是中心对称图形
C．对角线互相垂直D．对角线一定相等
8．（3分）若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（ ）
A．4B．2C．1D．﹣2
9．（3分）如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有（ ）
A．3对B．5对C．6对D．8对
10．（3分）定义新运算：p⊕q＝，例如：3⊕5＝，3⊕（﹣5）＝﹣，则y＝2⊕x（x≠0）的图象是（ ）
A．B．
C．D．
11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（ ）
A．5B．6C．7D．8
12．（3分）已知抛物线C：y＝（x﹣1）2﹣1，顶点为D，将C沿水平方向向右（或向左）平移m个单位，得到抛物线C1，顶点为D1，C与C1相交于点Q，若∠DQD1＝60°，则m等于（ ）
A．±4B．±2C．﹣2或2D．﹣4或4
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）计算：（﹣6）﹣（+4）＝ ．
14．（3分）样本数据﹣2，0，3，4，﹣1的中位数是 ．
15．（3分）我市博览馆有A，B，C三个入口和D，E两个出口，小明入馆游览，他从A口进E口出的概率是 ．
16．（3分）如图，一次函数y1＝（k﹣5）x+b的图象在第一象限与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，当y1＞y2时，x的取值范围是1＜x＜4，则k＝ ．
17．（3分）设0＜＜1，则m＝，则m的取值范围是 ．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2019次后，则它与AB边的碰撞次数是 ．
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）计算：|﹣1|﹣（﹣2）3﹣+（π﹣cs60°）0．
20．（6分）解方程：﹣＝1．
21．（6分）如图，已知等腰△ABC顶角∠A＝36°．
（1）在AC上作一点D，使AD＝BD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨）；
（2）求证：△BCD是等腰三角形．
22．（8分）某校有20名同学参加市举办的“文明环保，从我做起”征文比赛，成绩分别记为60分、70分、80分、90分、100分，为方便奖励，现统计出80分、90分、100分的人数，制成如图不完整的扇形统计图，设70分所对扇形圆心角为α．
（1）若从这20份征文中，随机抽取一份，则抽到试卷的分数为低于80分的概率是 ；
（2）当α＝108°时，求成绩是60分的人数；
（3）设80分为唯一众数，求这20名同学的平均成绩的最大值．
23．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以AB为直径作⊙O分别交于AC，BC于点D，E，过点E作⊙O的切线EF交AC于点F，连接BD．
（1）求证：EF是△CDB的中位线；
（2）求EF的长．
24．（9分）某养殖场为了响应党中央的扶贫政策，今年起采用“场内+农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万kg与3.6万kg，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同．
（1）求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率；
（2）假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万kg．如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点？
25．（10分）如图，在正方形ABCD中，分别过顶点B，D作BE∥DF交对角线AC所在直线于E，F点，并分别延长EB，FD到点H，G，使BH＝DG，连接EG，FH．
（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；
（2）已知：AB＝2，EB＝4，tan∠GEH＝2，求四边形EHFG的周长．
26．（12分）已知二次函数：y＝ax2+（2a+1）x+2（a＜0）．
（1）求证：二次函数的图象与x轴有两个交点；
（2）当二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数时，求a的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与x轴的两个交点A，B（A在B的左侧），与y轴的交点C及其顶点D这四点画出二次函数的大致图象，同时标出A，B，C，D的位置）；
（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点P使∠PCA＝75°？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
2019年广西玉林市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．
1．（3分）9的倒数是（ ）
A．B．﹣C．9D．﹣9
【考点】17：倒数．
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：9的倒数是：．
故选：A．
【点评】此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键．
2．（3分）下列各数中，是有理数的是（ ）
A．πB．1.2C．D．
【考点】27：实数．
【分析】直接利用有理数的定义分析得出答案．
【解答】解：四个选项中只有1.2是有理数．
故选：B．
【点评】此题主要考查了实数，正确把握有理数的定义是解题关键．
3．（3分）如图，圆柱底面圆半径为2，高为2，则圆柱的左视图是（ ）
A．平行四边形B．正方形C．矩形D．圆
【考点】U1：简单几何体的三视图．
【分析】根据圆柱底面圆半径为2，高为2，即可得到底面直径为4，进而得出圆柱的左视图是长方形．
【解答】解：∵圆柱底面圆半径为2，高为2，
∴底面直径为4，
∴圆柱的左视图是一个长为4，宽为2的长方形，
故选：C．
【点评】本题主要考查了简单几何体的三视图，左视图是从物体的左面看得到的视图．
4．（3分）南宁到玉林城际铁路投资约278亿元，将数据278亿用科学记数法表示是（ ）
A．278×108B．27.8×109C．2.78×1010D．2.78×108
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：278亿用科学记数法表示应为2.78×1010，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（3分）若α＝29°45′，则α的余角等于（ ）
A．60°55′B．60°15′C．150°55′D．150°15′
【考点】II：度分秒的换算；IL：余角和补角．
【分析】根据互为余角的定义作答．
【解答】解：∵α＝29°45′，
∴α的余角等于：90°﹣29°45′＝60°15′．
故选：B．
【点评】本题考查了互为余角的定义：如果两个角的和为90°，那么这两个角互为余角．
6．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a+2a＝5a2
B．3a2﹣2a＝a
C．（﹣a）3•（﹣a2）＝﹣a5
D．（2a3b2﹣4ab4）÷（﹣2ab2）＝2b2﹣a2
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；4H：整式的除法．
【分析】直接利用合并同类项法则以及整式的乘除运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、3a+2a＝5a，故此选项错误；
B、3a2﹣2a，无法计算，故此选项错误；
C、（﹣a）3•（﹣a2）＝a5，故此选项错误；
D、（2a3b2﹣4ab4）÷（﹣2ab2）＝2b2﹣a2，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及整式的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7．（3分）菱形不具备的性质是（ ）
A．是轴对称图形B．是中心对称图形
C．对角线互相垂直D．对角线一定相等
【考点】L8：菱形的性质；P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．
【分析】根据菱形的性质对各个选项进行分析，从而得到答案．
【解答】解：A、是轴对称图形，故正确；
B、是中心对称图形，故正确；
C、对角线互相垂直，故正确；
D、对角线不一定相等，故不正确；
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
8．（3分）若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（ ）
A．4B．2C．1D．﹣2
【考点】AB：根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算（1+x1）+x2（1﹣x1）的值．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，
所以（1+x1）+x2（1﹣x1）＝1+x1+x2﹣x1x2＝1+1﹣（﹣2）＝4．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
9．（3分）如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有（ ）
A．3对B．5对C．6对D．8对
【考点】S8：相似三角形的判定．
【分析】图中三角形有：△AEG，△ADC，△CFG，△CBA，因为AB∥EF∥DC，AD∥BC，所以△AEG∽△ADC∽△CFG∽△CBA，有6种组合
【解答】解：图中三角形有：△AEG，△ADC，CFG，△CBA，
∵AB∥EF∥DC，AD∥BC
∴△AEG∽△ADC∽CFG∽△CBA
共有6个组合分别为：∴△AEG∽△ADC，△AEG∽△CFG，△AEG∽△CBA，△ADC∽CFG，△ADC∽△CBA，△CFG∽△CBA
故选：C．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定．
10．（3分）定义新运算：p⊕q＝，例如：3⊕5＝，3⊕（﹣5）＝﹣，则y＝2⊕x（x≠0）的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】E6：函数的图象．
【分析】根据题目中的新定义，可以写出y＝2⊕x函数解析式，从而可以得到相应的函数图象，本题得以解决．
【解答】解：∵p⊕q＝，
∴y＝2⊕x＝，
故选：D．
【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【考点】MC：切线的性质．
【分析】设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，MN最小值为OP﹣OF＝，当N在AB边上时，M与B重合时，MN最大值＝+1＝，由此不难解决问题．
【解答】解：如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，
此时垂线段OP最短，PF最小值为OP﹣OF，
∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5
∵∠OPB＝90°，
∴OP∥AC
∵点O是AB的三等分点，
∴OB＝×5＝，＝＝，
∴OP＝，
∵⊙O与AC相切于点D，
∴OD⊥AC，
∴OD∥BC，
∴＝＝，
∴OD＝1，
∴MN最小值为OP﹣OF＝﹣1＝，
如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，
MN最大值＝+1＝，
∴MN长的最大值与最小值的和是6．
故选：B．
【点评】本题考查切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点MN取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型．
12．（3分）已知抛物线C：y＝（x﹣1）2﹣1，顶点为D，将C沿水平方向向右（或向左）平移m个单位，得到抛物线C1，顶点为D1，C与C1相交于点Q，若∠DQD1＝60°，则m等于（ ）
A．±4B．±2C．﹣2或2D．﹣4或4
【考点】H3：二次函数的性质．
【分析】根据平移的性质求得交点Q的横坐标，代入C求得纵坐标，然后根据题意和勾股定理得到，（﹣1）2+（﹣1+1）2＝m2，解方程即可求得．
【解答】解：抛物线CC：y＝（x﹣1）2﹣1沿水平方向向右（或向左）平移m个单位得到y＝（x﹣m﹣1）2﹣1，
∴D（1，﹣1），D1（m+1，﹣1），
∴Q点的横坐标为：，
代入y＝（x﹣1）2﹣1求得Q（，﹣1），
若∠DQD1＝60°，则△DQD1是等边三角形，
∴QD＝DD1＝|m|1，
由勾股定理得，（﹣1）2+（﹣1+1）2＝m2，
解得m＝±4，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，平移的性质，求得Q的坐标是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）计算：（﹣6）﹣（+4）＝ ﹣10 ．
【考点】1A：有理数的减法．
【分析】根据有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
【解答】解：（﹣6）﹣（+4）＝（﹣6）+（﹣4）＝﹣10．
故答案为：﹣10
【点评】本题主要考查了有理数的加减法，熟练掌握法则是解答本题的关键．
14．（3分）样本数据﹣2，0，3，4，﹣1的中位数是 0 ．
【考点】W4：中位数．
【分析】根据中位数的定义求解．
【解答】解：按从小到大的顺序排列是：﹣2，﹣1，0，3，4．
中间的是1．则中位数是：0．
故答案是：0．
【点评】本题考查中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
15．（3分）我市博览馆有A，B，C三个入口和D，E两个出口，小明入馆游览，他从A口进E口出的概率是 ．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【解答】解：根据题意画树形图：
共有6种等情况数，其中“A口进D口出”有一种情况，
从“A口进D口出”的概率为；
故答案为：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．（3分）如图，一次函数y1＝（k﹣5）x+b的图象在第一象限与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，当y1＞y2时，x的取值范围是1＜x＜4，则k＝ 4 ．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】根据题意知，将反比例函数和一次函数联立，A、B的横坐标分别为1、4，代入方程求解得到k的值．
【解答】解：由已知得A、B的横坐标分别为1，4，
所以有
解得k＝4，
故答案为4．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，交点坐标适合两个解析式是解题的关键．
17．（3分）设0＜＜1，则m＝，则m的取值范围是 ﹣1＜m＜1 ．
【考点】66：约分；C2：不等式的性质．
【分析】把的分子、分母分别因式分解，约分后可得，再根据0＜＜1即可确定m的取值范围．
【解答】解：m＝＝，
∵0＜＜1，
∴﹣2＜﹣＜0，
∴﹣1≤1﹣＜1，
即﹣1＜m＜1．
故答案为：﹣1＜m＜1
【点评】本题主要考查了分式的约分以及不等式的基本性质，熟练掌握分解因式的方法是解答本题的关键．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2019次后，则它与AB边的碰撞次数是 673 ．
【考点】LB：矩形的性质；P1：生活中的轴对称现象．
【分析】根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解．
【解答】解：如图
根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（6，0），且每次循环它与AB边的碰撞有2次，
∵2019÷6＝336…3，
当点P第2019次碰到矩形的边时为第337个循环组的第3次反弹，点P的坐标为（6，4）
∴它与AB边的碰撞次数是＝336×2+1＝673次
故答案为673
【点评】本题主要考查了矩形的性质，点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）计算：|﹣1|﹣（﹣2）3﹣+（π﹣cs60°）0．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】先取绝对值符号、乘方、二次根式和零指数幂，再计算加减可得．
【解答】解：原式＝﹣1+8﹣+1
＝8．
【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握乘方的定义、绝对值性质、算术平方根的定义及零指数幂的规定．
20．（6分）解方程：﹣＝1．
【考点】B3：解分式方程．
【分析】化简所求方程为＝1，将分式方程转化为整式方程x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+2），解得x＝1，检验方程的根即可求解；
【解答】解：﹣＝＝＝1，
∴x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+2），
∴x＝1，
经检验x＝1是方程的增根，
∴原方程无解；
【点评】本题考查分式方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，验根是关键．
21．（6分）如图，已知等腰△ABC顶角∠A＝36°．
（1）在AC上作一点D，使AD＝BD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨）；
（2）求证：△BCD是等腰三角形．
【考点】KJ：等腰三角形的判定与性质；N3：作图—复杂作图．
【分析】（1）作AB的垂直平分线交AC于D；
（2）利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC＝∠C＝72°，再利用DA＝DB得到∠ABD＝∠A＝36°，所以∠BDC＝72°，从而可判断△BCD是等腰三角形．
【解答】（1）解：如图，点D为所作；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，
∵DA＝DB，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴△BCD是等腰三角形．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的判定与性质．
22．（8分）某校有20名同学参加市举办的“文明环保，从我做起”征文比赛，成绩分别记为60分、70分、80分、90分、100分，为方便奖励，现统计出80分、90分、100分的人数，制成如图不完整的扇形统计图，设70分所对扇形圆心角为α．
（1）若从这20份征文中，随机抽取一份，则抽到试卷的分数为低于80分的概率是 ；
（2）当α＝108°时，求成绩是60分的人数；
（3）设80分为唯一众数，求这20名同学的平均成绩的最大值．
【考点】VB：扇形统计图；W5：众数；X4：概率公式．
【分析】（1）求出低于80分的征文数量，再根据概率公式计算可得；
（2）当α＝180°时，成绩是70分的人数为10人，据此求解可得；
（3）根据题意得出各组人数进而求出平均数．
【解答】解：（1）低于80分的征文数量为20×（1﹣30%﹣20%﹣10%）＝8，
则抽到试卷的分数为低于80分的概率是＝，
故答案为：．
（2）当α＝108°时，成绩是70分的人数为20×＝6人，
则成绩是60分的人数20﹣6﹣20×（10%+20%+30%）＝2（人）；
（3）∵80分的人数为：20×30%＝6（人），且80分为成绩的唯一众数，
所以当70分的人数为5人时，这个班的平均数最大，
∴最大值为：（20×10%×100+20×20%×90+20×30%×80+5×70+3×60）÷20＝78.5（分）．
【点评】此题主要考查了概率公式以及扇形统计图的应用，正确获取信息得出各组人数是解题关键．
23．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以AB为直径作⊙O分别交于AC，BC于点D，E，过点E作⊙O的切线EF交AC于点F，连接BD．
（1）求证：EF是△CDB的中位线；
（2）求EF的长．
【考点】KH：等腰三角形的性质；KQ：勾股定理；KX：三角形中位线定理；M5：圆周角定理；MC：切线的性质．
【分析】（1）连接AE，由圆周角定理得∠ADB＝∠AEB＝90°，由等腰三角形的性质得出BE＝CE＝3，证出OE是△ABC的中位线，得出OE∥AC，得出BD∥EF，即可得出结论；
（2）由勾股定理得出AE＝＝4，由三角形面积得出BD＝＝，由三角形中位线定理即可得出EF＝BD＝．
【解答】（1）证明：连接AE，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠AEB＝90°，
∴AE⊥BC，BD⊥AC，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE＝3，
∵EF是⊙O的切线，
∴OE⊥EF，
∵OA＝OB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AC，
∴OE⊥BD，
∴BD∥EF，
∵BE＝CE，
∴CF＝DF，
∴EF是△CDB的中位线；
（2）解：∵∠AEB＝90°，
∴AE＝＝＝4，
∵△ABC的面积＝AC×BD＝BC×AE，
∴BD＝＝＝，
∵EF是△CDB的中位线，
∴EF＝BD＝．
【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键．
24．（9分）某养殖场为了响应党中央的扶贫政策，今年起采用“场内+农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万kg与3.6万kg，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同．
（1）求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率；
（2）假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万kg．如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点？
【考点】AD：一元二次方程的应用；CE：一元一次不等式组的应用．
【分析】（1）设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x，根据题意列方程即可得到结论；
（2）设至少再增加y个销售点，根据题意列不等式即可得到结论．
【解答】解：（1）设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x，
根据题意得，2.5（1+x）2＝3.6，
解得：x＝0.2，x＝﹣2.2（不合题意舍去），
答：该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为20%；
（2）设再增加y个销售点，
根据题意得，3.6+0.32y≥3.6×（1+20%），
解得：y≥，
答：至少再增加3个销售点．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．
25．（10分）如图，在正方形ABCD中，分别过顶点B，D作BE∥DF交对角线AC所在直线于E，F点，并分别延长EB，FD到点H，G，使BH＝DG，连接EG，FH．
（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；
（2）已知：AB＝2，EB＝4，tan∠GEH＝2，求四边形EHFG的周长．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L7：平行四边形的判定与性质；LE：正方形的性质；T7：解直角三角形．
【分析】（1）证明△ABE≌△CDF（AAS），得BE＝DF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；
（2）如图，连接BD，交EF于O，计算EO和BO的长，得∠OEB＝30°，根据三角函数可得HM的长，从而得EM和EH的长，利用勾股定理计算FH的长，最后根据四边的和计算结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠DCA＝∠BAC，
∵DF∥BE，
∴∠CFD＝∠BEA，
∵∠BAC＝∠BEA+∠ABE，∠DCA＝∠CFD+∠CDF，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
∵，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF，
∵BH＝DG，
∴BE+BH＝DF+DG，
即EH＝GF，
∵EH∥GF，
∴四边形EHFG是平行四边形；
（2）如图，连接BD，交EF于O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
∴∠AOB＝90°，
∵AB＝2，
∴OA＝OB＝2，
Rt△BOE中，EB＝4，
∴∠OEB＝30°，
∴EO＝2，
∵OD＝OB，∠EOB＝∠DOF，
∵DF∥EB，
∴∠DFC＝∠BEA，
∴△DOF≌△BOE（AAS），
∴OF＝OE＝2，
∴EF＝4，
∴FM＝2，EM＝6，
过F作FM⊥EH于M，交EH的延长线于M，
∵EG∥FH，
∴∠FHM＝∠GEH，
∵tan∠GEH＝tan∠FHM＝＝2，
∴，
∴HM＝1，
∴EH＝EM﹣HM＝6﹣1＝5，FH＝＝＝，
∴四边形EHFG的周长＝2EH+2FH＝2×5+2＝10+2．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，三角函数和全等三角形的判定等知识．充分利用正方形的特殊性质来找到全等的条件从而判定全等后利用全等三角形的性质解题，第二问有难度，恰当地作出辅助线是关键．
26．（12分）已知二次函数：y＝ax2+（2a+1）x+2（a＜0）．
（1）求证：二次函数的图象与x轴有两个交点；
（2）当二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数时，求a的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与x轴的两个交点A，B（A在B的左侧），与y轴的交点C及其顶点D这四点画出二次函数的大致图象，同时标出A，B，C，D的位置）；
（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点P使∠PCA＝75°？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）将解析式右边因式分解得抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）、（﹣，0），结合a＜0即可得证；
（2）结合（1）中一个交点坐标（﹣，0）及横坐标均为整数，且a为负整数可得a的值，从而得出抛物线解析式，继而求出点C、D坐标，从而画出函数图象；
（3）分点P在AC上方和下方两种情况，结合∠ACO＝45°得出直线PC与x轴所夹锐角度数，从而求出直线PC解析式，继而联立方程组，解之可得答案．
【解答】解：（1）∵y＝ax2+（2a+1）x+2＝（x+2）（ax+1），且a＜0，
∴抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）、（﹣，0），
则二次函数的图象与x轴有两个交点；
（2）∵两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数，
∴a＝﹣1，
则抛物线与x轴的交点A的坐标为（﹣2，0）、B的坐标为（1，0），
∴抛物线解析式为y＝（x+2）（﹣x+1）
＝﹣x2﹣x+2
＝﹣（x+）2+，
当x＝0时，y＝2，即C（0，2），
函数图象如图1所示：
（3）存在这样的点P，
∵OA＝OC＝2，
∴∠ACO＝45°，
如图2，当点P在直线AC上方时，记直线PC与x轴的交点为E，
∵∠PCA＝75°，
∴∠PCO＝120°，∠OCB＝60°，
则∠OEC＝30°，
∴OE＝＝＝2，
则E（2，0），
求得直线CE解析式为y＝﹣x+2，
联立，
解得或，
∴P（，）；
如图3，当点P在直线AC下方时，记直线PC与x轴的交点为F，
∵∠ACP＝75°，∠ACO＝45°，
∴∠OCF＝30°，
则OF＝OCtan∠OCF＝2×＝，
∴F（，0），
求得直线PC解析式为y＝﹣x+2，
联立，
解得：或，
∴P（﹣1，﹣1），
综上，点P的坐标为（，）或（﹣1，﹣1）．
【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的图象和性质、直线与抛物线相交的问题等．
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日期：2019/8/5 10:22:14；用户：学无止境；邮箱：419793282@qq.cm；学号：7910509
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．
1．（3分）9的倒数是（ ）
A．B．﹣C．9D．﹣9
2．（3分）下列各数中，是有理数的是（ ）
A．πB．1.2C．D．
3．（3分）如图，圆柱底面圆半径为2，高为2，则圆柱的左视图是（ ）
A．平行四边形B．正方形C．矩形D．圆
4．（3分）南宁到玉林城际铁路投资约278亿元，将数据278亿用科学记数法表示是（ ）
A．278×108B．27.8×109C．2.78×1010D．2.78×108
5．（3分）若α＝29°45′，则α的余角等于（ ）
A．60°55′B．60°15′C．150°55′D．150°15′
6．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a+2a＝5a2
B．3a2﹣2a＝a
C．（﹣a）3•（﹣a2）＝﹣a5
D．（2a3b2﹣4ab4）÷（﹣2ab2）＝2b2﹣a2
7．（3分）菱形不具备的性质是（ ）
A．是轴对称图形B．是中心对称图形
C．对角线互相垂直D．对角线一定相等
8．（3分）若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（ ）
A．4B．2C．1D．﹣2
9．（3分）如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有（ ）
A．3对B．5对C．6对D．8对
10．（3分）定义新运算：p⊕q＝，例如：3⊕5＝，3⊕（﹣5）＝﹣，则y＝2⊕x（x≠0）的图象是（ ）
A．B．
C．D．
11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（ ）
A．5B．6C．7D．8
12．（3分）已知抛物线C：y＝（x﹣1）2﹣1，顶点为D，将C沿水平方向向右（或向左）平移m个单位，得到抛物线C1，顶点为D1，C与C1相交于点Q，若∠DQD1＝60°，则m等于（ ）
A．±4B．±2C．﹣2或2D．﹣4或4
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）计算：（﹣6）﹣（+4）＝ ．
14．（3分）样本数据﹣2，0，3，4，﹣1的中位数是 ．
15．（3分）我市博览馆有A，B，C三个入口和D，E两个出口，小明入馆游览，他从A口进E口出的概率是 ．
16．（3分）如图，一次函数y1＝（k﹣5）x+b的图象在第一象限与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，当y1＞y2时，x的取值范围是1＜x＜4，则k＝ ．
17．（3分）设0＜＜1，则m＝，则m的取值范围是 ．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2019次后，则它与AB边的碰撞次数是 ．
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）计算：|﹣1|﹣（﹣2）3﹣+（π﹣cs60°）0．
20．（6分）解方程：﹣＝1．
21．（6分）如图，已知等腰△ABC顶角∠A＝36°．
（1）在AC上作一点D，使AD＝BD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨）；
（2）求证：△BCD是等腰三角形．
22．（8分）某校有20名同学参加市举办的“文明环保，从我做起”征文比赛，成绩分别记为60分、70分、80分、90分、100分，为方便奖励，现统计出80分、90分、100分的人数，制成如图不完整的扇形统计图，设70分所对扇形圆心角为α．
（1）若从这20份征文中，随机抽取一份，则抽到试卷的分数为低于80分的概率是 ；
（2）当α＝108°时，求成绩是60分的人数；
（3）设80分为唯一众数，求这20名同学的平均成绩的最大值．
23．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以AB为直径作⊙O分别交于AC，BC于点D，E，过点E作⊙O的切线EF交AC于点F，连接BD．
（1）求证：EF是△CDB的中位线；
（2）求EF的长．
24．（9分）某养殖场为了响应党中央的扶贫政策，今年起采用“场内+农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万kg与3.6万kg，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同．
（1）求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率；
（2）假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万kg．如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点？
25．（10分）如图，在正方形ABCD中，分别过顶点B，D作BE∥DF交对角线AC所在直线于E，F点，并分别延长EB，FD到点H，G，使BH＝DG，连接EG，FH．
（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；
（2）已知：AB＝2，EB＝4，tan∠GEH＝2，求四边形EHFG的周长．
26．（12分）已知二次函数：y＝ax2+（2a+1）x+2（a＜0）．
（1）求证：二次函数的图象与x轴有两个交点；
（2）当二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数时，求a的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与x轴的两个交点A，B（A在B的左侧），与y轴的交点C及其顶点D这四点画出二次函数的大致图象，同时标出A，B，C，D的位置）；
（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点P使∠PCA＝75°？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
2019年广西玉林市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．
1．（3分）9的倒数是（ ）
A．B．﹣C．9D．﹣9
【考点】17：倒数．
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：9的倒数是：．
故选：A．
【点评】此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键．
2．（3分）下列各数中，是有理数的是（ ）
A．πB．1.2C．D．
【考点】27：实数．
【分析】直接利用有理数的定义分析得出答案．
【解答】解：四个选项中只有1.2是有理数．
故选：B．
【点评】此题主要考查了实数，正确把握有理数的定义是解题关键．
3．（3分）如图，圆柱底面圆半径为2，高为2，则圆柱的左视图是（ ）
A．平行四边形B．正方形C．矩形D．圆
【考点】U1：简单几何体的三视图．
【分析】根据圆柱底面圆半径为2，高为2，即可得到底面直径为4，进而得出圆柱的左视图是长方形．
【解答】解：∵圆柱底面圆半径为2，高为2，
∴底面直径为4，
∴圆柱的左视图是一个长为4，宽为2的长方形，
故选：C．
【点评】本题主要考查了简单几何体的三视图，左视图是从物体的左面看得到的视图．
4．（3分）南宁到玉林城际铁路投资约278亿元，将数据278亿用科学记数法表示是（ ）
A．278×108B．27.8×109C．2.78×1010D．2.78×108
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：278亿用科学记数法表示应为2.78×1010，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（3分）若α＝29°45′，则α的余角等于（ ）
A．60°55′B．60°15′C．150°55′D．150°15′
【考点】II：度分秒的换算；IL：余角和补角．
【分析】根据互为余角的定义作答．
【解答】解：∵α＝29°45′，
∴α的余角等于：90°﹣29°45′＝60°15′．
故选：B．
【点评】本题考查了互为余角的定义：如果两个角的和为90°，那么这两个角互为余角．
6．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a+2a＝5a2
B．3a2﹣2a＝a
C．（﹣a）3•（﹣a2）＝﹣a5
D．（2a3b2﹣4ab4）÷（﹣2ab2）＝2b2﹣a2
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；4H：整式的除法．
【分析】直接利用合并同类项法则以及整式的乘除运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、3a+2a＝5a，故此选项错误；
B、3a2﹣2a，无法计算，故此选项错误；
C、（﹣a）3•（﹣a2）＝a5，故此选项错误；
D、（2a3b2﹣4ab4）÷（﹣2ab2）＝2b2﹣a2，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及整式的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7．（3分）菱形不具备的性质是（ ）
A．是轴对称图形B．是中心对称图形
C．对角线互相垂直D．对角线一定相等
【考点】L8：菱形的性质；P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．
【分析】根据菱形的性质对各个选项进行分析，从而得到答案．
【解答】解：A、是轴对称图形，故正确；
B、是中心对称图形，故正确；
C、对角线互相垂直，故正确；
D、对角线不一定相等，故不正确；
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
8．（3分）若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（ ）
A．4B．2C．1D．﹣2
【考点】AB：根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算（1+x1）+x2（1﹣x1）的值．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，
所以（1+x1）+x2（1﹣x1）＝1+x1+x2﹣x1x2＝1+1﹣（﹣2）＝4．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
9．（3分）如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有（ ）
A．3对B．5对C．6对D．8对
【考点】S8：相似三角形的判定．
【分析】图中三角形有：△AEG，△ADC，△CFG，△CBA，因为AB∥EF∥DC，AD∥BC，所以△AEG∽△ADC∽△CFG∽△CBA，有6种组合
【解答】解：图中三角形有：△AEG，△ADC，CFG，△CBA，
∵AB∥EF∥DC，AD∥BC
∴△AEG∽△ADC∽CFG∽△CBA
共有6个组合分别为：∴△AEG∽△ADC，△AEG∽△CFG，△AEG∽△CBA，△ADC∽CFG，△ADC∽△CBA，△CFG∽△CBA
故选：C．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定．
10．（3分）定义新运算：p⊕q＝，例如：3⊕5＝，3⊕（﹣5）＝﹣，则y＝2⊕x（x≠0）的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】E6：函数的图象．
【分析】根据题目中的新定义，可以写出y＝2⊕x函数解析式，从而可以得到相应的函数图象，本题得以解决．
【解答】解：∵p⊕q＝，
∴y＝2⊕x＝，
故选：D．
【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【考点】MC：切线的性质．
【分析】设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，MN最小值为OP﹣OF＝，当N在AB边上时，M与B重合时，MN最大值＝+1＝，由此不难解决问题．
【解答】解：如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，
此时垂线段OP最短，PF最小值为OP﹣OF，
∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5
∵∠OPB＝90°，
∴OP∥AC
∵点O是AB的三等分点，
∴OB＝×5＝，＝＝，
∴OP＝，
∵⊙O与AC相切于点D，
∴OD⊥AC，
∴OD∥BC，
∴＝＝，
∴OD＝1，
∴MN最小值为OP﹣OF＝﹣1＝，
如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，
MN最大值＝+1＝，
∴MN长的最大值与最小值的和是6．
故选：B．
【点评】本题考查切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点MN取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型．
12．（3分）已知抛物线C：y＝（x﹣1）2﹣1，顶点为D，将C沿水平方向向右（或向左）平移m个单位，得到抛物线C1，顶点为D1，C与C1相交于点Q，若∠DQD1＝60°，则m等于（ ）
A．±4B．±2C．﹣2或2D．﹣4或4
【考点】H3：二次函数的性质．
【分析】根据平移的性质求得交点Q的横坐标，代入C求得纵坐标，然后根据题意和勾股定理得到，（﹣1）2+（﹣1+1）2＝m2，解方程即可求得．
【解答】解：抛物线CC：y＝（x﹣1）2﹣1沿水平方向向右（或向左）平移m个单位得到y＝（x﹣m﹣1）2﹣1，
∴D（1，﹣1），D1（m+1，﹣1），
∴Q点的横坐标为：，
代入y＝（x﹣1）2﹣1求得Q（，﹣1），
若∠DQD1＝60°，则△DQD1是等边三角形，
∴QD＝DD1＝|m|1，
由勾股定理得，（﹣1）2+（﹣1+1）2＝m2，
解得m＝±4，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，平移的性质，求得Q的坐标是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）计算：（﹣6）﹣（+4）＝ ﹣10 ．
【考点】1A：有理数的减法．
【分析】根据有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
【解答】解：（﹣6）﹣（+4）＝（﹣6）+（﹣4）＝﹣10．
故答案为：﹣10
【点评】本题主要考查了有理数的加减法，熟练掌握法则是解答本题的关键．
14．（3分）样本数据﹣2，0，3，4，﹣1的中位数是 0 ．
【考点】W4：中位数．
【分析】根据中位数的定义求解．
【解答】解：按从小到大的顺序排列是：﹣2，﹣1，0，3，4．
中间的是1．则中位数是：0．
故答案是：0．
【点评】本题考查中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
15．（3分）我市博览馆有A，B，C三个入口和D，E两个出口，小明入馆游览，他从A口进E口出的概率是 ．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【解答】解：根据题意画树形图：
共有6种等情况数，其中“A口进D口出”有一种情况，
从“A口进D口出”的概率为；
故答案为：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．（3分）如图，一次函数y1＝（k﹣5）x+b的图象在第一象限与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，当y1＞y2时，x的取值范围是1＜x＜4，则k＝ 4 ．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】根据题意知，将反比例函数和一次函数联立，A、B的横坐标分别为1、4，代入方程求解得到k的值．
【解答】解：由已知得A、B的横坐标分别为1，4，
所以有
解得k＝4，
故答案为4．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，交点坐标适合两个解析式是解题的关键．
17．（3分）设0＜＜1，则m＝，则m的取值范围是 ﹣1＜m＜1 ．
【考点】66：约分；C2：不等式的性质．
【分析】把的分子、分母分别因式分解，约分后可得，再根据0＜＜1即可确定m的取值范围．
【解答】解：m＝＝，
∵0＜＜1，
∴﹣2＜﹣＜0，
∴﹣1≤1﹣＜1，
即﹣1＜m＜1．
故答案为：﹣1＜m＜1
【点评】本题主要考查了分式的约分以及不等式的基本性质，熟练掌握分解因式的方法是解答本题的关键．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2019次后，则它与AB边的碰撞次数是 673 ．
【考点】LB：矩形的性质；P1：生活中的轴对称现象．
【分析】根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解．
【解答】解：如图
根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（6，0），且每次循环它与AB边的碰撞有2次，
∵2019÷6＝336…3，
当点P第2019次碰到矩形的边时为第337个循环组的第3次反弹，点P的坐标为（6，4）
∴它与AB边的碰撞次数是＝336×2+1＝673次
故答案为673
【点评】本题主要考查了矩形的性质，点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）计算：|﹣1|﹣（﹣2）3﹣+（π﹣cs60°）0．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】先取绝对值符号、乘方、二次根式和零指数幂，再计算加减可得．
【解答】解：原式＝﹣1+8﹣+1
＝8．
【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握乘方的定义、绝对值性质、算术平方根的定义及零指数幂的规定．
20．（6分）解方程：﹣＝1．
【考点】B3：解分式方程．
【分析】化简所求方程为＝1，将分式方程转化为整式方程x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+2），解得x＝1，检验方程的根即可求解；
【解答】解：﹣＝＝＝1，
∴x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+2），
∴x＝1，
经检验x＝1是方程的增根，
∴原方程无解；
【点评】本题考查分式方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，验根是关键．
21．（6分）如图，已知等腰△ABC顶角∠A＝36°．
（1）在AC上作一点D，使AD＝BD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨）；
（2）求证：△BCD是等腰三角形．
【考点】KJ：等腰三角形的判定与性质；N3：作图—复杂作图．
【分析】（1）作AB的垂直平分线交AC于D；
（2）利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC＝∠C＝72°，再利用DA＝DB得到∠ABD＝∠A＝36°，所以∠BDC＝72°，从而可判断△BCD是等腰三角形．
【解答】（1）解：如图，点D为所作；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，
∵DA＝DB，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴△BCD是等腰三角形．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的判定与性质．
22．（8分）某校有20名同学参加市举办的“文明环保，从我做起”征文比赛，成绩分别记为60分、70分、80分、90分、100分，为方便奖励，现统计出80分、90分、100分的人数，制成如图不完整的扇形统计图，设70分所对扇形圆心角为α．
（1）若从这20份征文中，随机抽取一份，则抽到试卷的分数为低于80分的概率是 ；
（2）当α＝108°时，求成绩是60分的人数；
（3）设80分为唯一众数，求这20名同学的平均成绩的最大值．
【考点】VB：扇形统计图；W5：众数；X4：概率公式．
【分析】（1）求出低于80分的征文数量，再根据概率公式计算可得；
（2）当α＝180°时，成绩是70分的人数为10人，据此求解可得；
（3）根据题意得出各组人数进而求出平均数．
【解答】解：（1）低于80分的征文数量为20×（1﹣30%﹣20%﹣10%）＝8，
则抽到试卷的分数为低于80分的概率是＝，
故答案为：．
（2）当α＝108°时，成绩是70分的人数为20×＝6人，
则成绩是60分的人数20﹣6﹣20×（10%+20%+30%）＝2（人）；
（3）∵80分的人数为：20×30%＝6（人），且80分为成绩的唯一众数，
所以当70分的人数为5人时，这个班的平均数最大，
∴最大值为：（20×10%×100+20×20%×90+20×30%×80+5×70+3×60）÷20＝78.5（分）．
【点评】此题主要考查了概率公式以及扇形统计图的应用，正确获取信息得出各组人数是解题关键．
23．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以AB为直径作⊙O分别交于AC，BC于点D，E，过点E作⊙O的切线EF交AC于点F，连接BD．
（1）求证：EF是△CDB的中位线；
（2）求EF的长．
【考点】KH：等腰三角形的性质；KQ：勾股定理；KX：三角形中位线定理；M5：圆周角定理；MC：切线的性质．
【分析】（1）连接AE，由圆周角定理得∠ADB＝∠AEB＝90°，由等腰三角形的性质得出BE＝CE＝3，证出OE是△ABC的中位线，得出OE∥AC，得出BD∥EF，即可得出结论；
（2）由勾股定理得出AE＝＝4，由三角形面积得出BD＝＝，由三角形中位线定理即可得出EF＝BD＝．
【解答】（1）证明：连接AE，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠AEB＝90°，
∴AE⊥BC，BD⊥AC，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE＝3，
∵EF是⊙O的切线，
∴OE⊥EF，
∵OA＝OB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AC，
∴OE⊥BD，
∴BD∥EF，
∵BE＝CE，
∴CF＝DF，
∴EF是△CDB的中位线；
（2）解：∵∠AEB＝90°，
∴AE＝＝＝4，
∵△ABC的面积＝AC×BD＝BC×AE，
∴BD＝＝＝，
∵EF是△CDB的中位线，
∴EF＝BD＝．
【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键．
24．（9分）某养殖场为了响应党中央的扶贫政策，今年起采用“场内+农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万kg与3.6万kg，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同．
（1）求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率；
（2）假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万kg．如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点？
【考点】AD：一元二次方程的应用；CE：一元一次不等式组的应用．
【分析】（1）设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x，根据题意列方程即可得到结论；
（2）设至少再增加y个销售点，根据题意列不等式即可得到结论．
【解答】解：（1）设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x，
根据题意得，2.5（1+x）2＝3.6，
解得：x＝0.2，x＝﹣2.2（不合题意舍去），
答：该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为20%；
（2）设再增加y个销售点，
根据题意得，3.6+0.32y≥3.6×（1+20%），
解得：y≥，
答：至少再增加3个销售点．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．
25．（10分）如图，在正方形ABCD中，分别过顶点B，D作BE∥DF交对角线AC所在直线于E，F点，并分别延长EB，FD到点H，G，使BH＝DG，连接EG，FH．
（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；
（2）已知：AB＝2，EB＝4，tan∠GEH＝2，求四边形EHFG的周长．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L7：平行四边形的判定与性质；LE：正方形的性质；T7：解直角三角形．
【分析】（1）证明△ABE≌△CDF（AAS），得BE＝DF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；
（2）如图，连接BD，交EF于O，计算EO和BO的长，得∠OEB＝30°，根据三角函数可得HM的长，从而得EM和EH的长，利用勾股定理计算FH的长，最后根据四边的和计算结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠DCA＝∠BAC，
∵DF∥BE，
∴∠CFD＝∠BEA，
∵∠BAC＝∠BEA+∠ABE，∠DCA＝∠CFD+∠CDF，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
∵，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF，
∵BH＝DG，
∴BE+BH＝DF+DG，
即EH＝GF，
∵EH∥GF，
∴四边形EHFG是平行四边形；
（2）如图，连接BD，交EF于O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
∴∠AOB＝90°，
∵AB＝2，
∴OA＝OB＝2，
Rt△BOE中，EB＝4，
∴∠OEB＝30°，
∴EO＝2，
∵OD＝OB，∠EOB＝∠DOF，
∵DF∥EB，
∴∠DFC＝∠BEA，
∴△DOF≌△BOE（AAS），
∴OF＝OE＝2，
∴EF＝4，
∴FM＝2，EM＝6，
过F作FM⊥EH于M，交EH的延长线于M，
∵EG∥FH，
∴∠FHM＝∠GEH，
∵tan∠GEH＝tan∠FHM＝＝2，
∴，
∴HM＝1，
∴EH＝EM﹣HM＝6﹣1＝5，FH＝＝＝，
∴四边形EHFG的周长＝2EH+2FH＝2×5+2＝10+2．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，三角函数和全等三角形的判定等知识．充分利用正方形的特殊性质来找到全等的条件从而判定全等后利用全等三角形的性质解题，第二问有难度，恰当地作出辅助线是关键．
26．（12分）已知二次函数：y＝ax2+（2a+1）x+2（a＜0）．
（1）求证：二次函数的图象与x轴有两个交点；
（2）当二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数时，求a的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与x轴的两个交点A，B（A在B的左侧），与y轴的交点C及其顶点D这四点画出二次函数的大致图象，同时标出A，B，C，D的位置）；
（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点P使∠PCA＝75°？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）将解析式右边因式分解得抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）、（﹣，0），结合a＜0即可得证；
（2）结合（1）中一个交点坐标（﹣，0）及横坐标均为整数，且a为负整数可得a的值，从而得出抛物线解析式，继而求出点C、D坐标，从而画出函数图象；
（3）分点P在AC上方和下方两种情况，结合∠ACO＝45°得出直线PC与x轴所夹锐角度数，从而求出直线PC解析式，继而联立方程组，解之可得答案．
【解答】解：（1）∵y＝ax2+（2a+1）x+2＝（x+2）（ax+1），且a＜0，
∴抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）、（﹣，0），
则二次函数的图象与x轴有两个交点；
（2）∵两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数，
∴a＝﹣1，
则抛物线与x轴的交点A的坐标为（﹣2，0）、B的坐标为（1，0），
∴抛物线解析式为y＝（x+2）（﹣x+1）
＝﹣x2﹣x+2
＝﹣（x+）2+，
当x＝0时，y＝2，即C（0，2），
函数图象如图1所示：
（3）存在这样的点P，
∵OA＝OC＝2，
∴∠ACO＝45°，
如图2，当点P在直线AC上方时，记直线PC与x轴的交点为E，
∵∠PCA＝75°，
∴∠PCO＝120°，∠OCB＝60°，
则∠OEC＝30°，
∴OE＝＝＝2，
则E（2，0），
求得直线CE解析式为y＝﹣x+2，
联立，
解得或，
∴P（，）；
如图3，当点P在直线AC下方时，记直线PC与x轴的交点为F，
∵∠ACP＝75°，∠ACO＝45°，
∴∠OCF＝30°，
则OF＝OCtan∠OCF＝2×＝，
∴F（，0），
求得直线PC解析式为y＝﹣x+2，
联立，
解得：或，
∴P（﹣1，﹣1），
综上，点P的坐标为（，）或（﹣1，﹣1）．
【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的图象和性质、直线与抛物线相交的问题等．
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