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中考数学全程复习方略 第14讲 二次函数的应用 课件
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这是一份中考数学全程复习方略 第14讲 二次函数的应用 课件，共60页。
考点一 应用二次函数解决抛物线型实际问题 【主干必备】应用二次函数解决抛物线型实际问题的思路1.结合题意,建立恰当的平面直角坐标系.
2.数形结合,根据题中所给的数据转化为点的坐标.3.求出抛物线解析式,应用二次函数性质或点的坐标的意义解决问题.
【核心突破】例1(2018·衢州中考)某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图所示,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系.
(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式.(2)王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内?
(3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.
【思路点拨】(1)根据顶点坐标可设二次函数的顶点式,代入点(8,0),求出系数的值,此题得解.(2)利用二次函数图象上点的坐标特征,求出当y=1.8时x的值,由此即可得出结论.
(3)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标,由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式为y=- x2+bx+ ,代入点(16,0)可求出b值,再利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式,即可得出结论.
【自主解答】(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式为y=a(x-3)2+5(a≠0),将(8,0)代入y=a(x-3)2+5,得:25a+5=0,解得:a=- ,
∴水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式为y=- (x-3)2+5(0(3)当x=0时,y=- (x-3)2+5= .设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式为y=- x2+bx+ ,∵该函数图象过点(16,0),∴0=- ×162+16b+ ,解得:b=3,
∴改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式为y=- x2+3x+ =- (x- )2+ .∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为 米.
【明·技法】抛物线型实际问题解题的关键、技巧及注意问题(1)解题的关键:进行二次函数建模,依据题意,建立合适的平面直角坐标系,并利用抛物线的性质解决问题.
(2)解题技巧:所建立的坐标系能使所设的解析式形式最简.
(3)注意问题:①题意分析不透,不能建立符合题意的函数模型或所建立的函数模型不正确,导致解题错误;②忽视了自变量的取值范围,造成错解;③由几何图形中的线段的长转化为坐标系中点的坐标时,忽视了线段所在的象限,造成符号错误.
【题组过关】1.(2019·临沂中考)从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的函数关系如图所示.下列结论:
①小球在空中经过的路程是40 m;②小球抛出3秒后,速度越来越快;③小球抛出3秒时速度为0;④小球的高度h=30 m时,t=1.5 s.其中正确的是( )A.①④ B.①② C.②③④ D.②③
2.(2019·山西中考)北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1),它由五个高度不同,跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥,拉锁与主梁相连,最高的钢拱如图2所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B两点,拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米),跨径为
90米(即AB=90米),以最高点O为坐标原点,以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系,则此抛物线型钢拱的函数表达式为( )
A.y= x2B.y=- x2C.y= x2D.y=- x2
3.(2019·山东东营区月考)如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是12 m,宽是4 m.按照图中所示的直角坐标系,抛物线最高点D到墙面OB的水平距离为6 m时,隧道最高点D距离地面10 m.
(1)求该抛物线的函数解析式.(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后宽为4 m,高为6 m,如果隧道内设双向行车道,那么这辆货车能否安全通过?
(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等,如果灯离地面的高度不超过8 m,那么两排灯的水平距离最小是多少米?
【解析】(1)根据题意,该抛物线的顶点坐标为D(6,10),设抛物线解析式为y=a(x-6)2+10,将点B(0,4)代入,得:36a+10=4,解得:a=- ,故该抛物线解析式为y=- (x-6)2+10.
(2)由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为(2,0)或(10,0),当x=2或x=10时,y= >6,所以这辆货车能安全通过.
(3)令y=8,则- (x-6)2+10=8,解得x1=6+2 ,x2=6-2 ,则x1-x2=4 ,所以两排灯的水平距离最小是4 m.
考点二 利润最大化问题 【主干必备】应用二次函数性质解决最优化问题思路1.分析题中数量关系,确定变量.2.根据等量关系,构建二次函数模型.3.根据函数性质,确定最值.
【核心突破】例2(2019·成都中考)随着5G技术的发展,人们对各类5G产品的使用充满期待,某公司计划在某地区销售一款5G产品,根据市场分析,该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化.设该产品在第x(x为正整数)个
销售周期每台的销售价格为y元,y与x之间满足如图所示的一次函数关系.
(1)求y与x之间的关系式.(2)设该产品在第x个销售周期的销售数量为p(万台),p与x的关系可以用p= x+ 来描述.根据以上信息,试问:哪个销售周期的销售收入最大?此时该产品每台的销售价格是多少元?
【自主解答】(1)设函数的关系式为y=kx+b(k≠0),由图象可得, 解得 ∴y与x之间的关系式为y=-500x+7 500.
(2)设销售收入为w万元,根据题意得,w=yp=(-500x+7 500) ,即w=-250(x-7)2+16 000,∴当x=7时,w有最大值为16 000,此时y=-500×7+7 500=4 000(元).
答:第7个销售周期的销售收入最大,此时该产品每台的销售价格是4 000元.
【明·技法】二次函数在销售问题中的应用
【易错提示】在求二次函数最值时,要注意实际问题中自变量的取值的限制对最值的影响.
【题组过关】1.(2019·内蒙古呼和浩特期中)某商品的销售利润与销售单价存在二次函数关系,且二次项系数a=-1,当商品单价为160元和200元时,能获得同样多的利润,要使销售商品利润最大,销售单价应定为__________元.
2.(2019·黑龙江哈尔滨道外区期末)某商场经调研得出某种商品每天的利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系:y=ax2+bx-75,其图象如图所示.
(1)求a与b的值.(2)销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大?最大利润是多少元?(参考公式:当x=- 时,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)有最小(大)值)
(3)销售单价定在多少时,该种商品每天的销售利润为21元?结合图象,直接写出销售单价定在什么范围时,该种商品每天的销售利润不低于21元?
【解析】(1)y=ax2+bx-75图象过点(5,0),(7,16),∴ 解得: (2)∵y=-x2+20x-75=-(x-10)2+25,∴当x=10时,y最大=25.
答:销售单价为10元时,该种商品每天的销售利润最大,最大利润为25元.(3)根据题意,当y=21时,得:-x2+20x-75=21,解得:x1=8,x2=12,∴x=8 或 x=12,即销售单价定在8元或12元时,该种商品每天的销售利润为21元;故销售单价在8≤x≤12时,销售利润不低于21元.
3.(2019·南通二模)A厂一月份产值为16万元,因管理不善,二、三月份产值的月平均下降率为x(0
【解析】(1)根据题意可得:yA=16(1-x)2,yB=12(1-x)(1+2x).(2)由题意得16(1-x)2=12(1-x)(1+2x),解得:x1= ,x2=1.∵0yB,yA-yB=16(1-x)2-12(1-x)(1+2x)=40 ∵x< 时,yA-yB的值随x的增大而减小,且0yA,
yB-yA=12(1-x)(1+2x)-16(1-x)2=4(1-x)(10x-1)=-40 ∵-40<0,
考点三 面积最大化问题【核心突破】例3(2018·福建中考)如图,在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏.
(1)若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米,求所利用旧墙AD的长.(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.
【思路点拨】(1)设AB=x m,则BC=(100-2x)m,利用矩形的面积公式得到x(100-2x)=450,解方程得x1=5,x2=45,然后计算100-2x后与20进行大小比较即可得到AD的长.(2)设AD=y m,利用矩形面积得到S= y(100-y),然后配方,根据二次函数的性质得S的最大值.
【自主解答】(1)设AB=x m,则BC=(100-2x)m,根据题意得x(100-2x)=450,解得x1=5,x2=45,当x=5时,100-2x=90>20,不合题意舍去;当x=45时,100-2x=10,∴AD的长为10m.
(2)设AD=y m,∴S= y(100-y)=- (y-50)2+1 250,当a≥50时,则y=50时,S的最大值为1 250;
当0
【题组过关】1.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10 cm,BC=8 cm,点P从点A沿AC向点C以1 cm/s的速度运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止),在运动过程中,四边形PABQ的面积的最小值为( )
A.19 cm2 B.16 cm2 C.12 cm2 D.15 cm2
2.(2019·连云港中考)如图,利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD,其中∠C=120°.若新建墙BC与CD总长为12 m,则该梯形储料场ABCD的最大面积是( )A.18 m2 B.18 m2C.24 m2D. m2
3.(2019·洛阳期中)为了节省材料,小浪底水库养殖户小李利用水库的岸堤(足够长)为一边,用总长为120 m的网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等.设BC的长度为x m,矩形区域ABCD的面积为y m2.
(1)求y与x之间的函数关系式,并注明自变量x的取值范围.(2)请你帮养殖户小李计算一下BC边多长时,养殖区ABCD面积最大,最大面积为多少?
【解析】(1)∵三个矩形的面积相等,可知2FG=2GE=BC,∴ BC×DF=BC×FC,∴2FC=DF,2BC+8FC=120,∴FC=
考点一 应用二次函数解决抛物线型实际问题 【主干必备】应用二次函数解决抛物线型实际问题的思路1.结合题意,建立恰当的平面直角坐标系.
2.数形结合,根据题中所给的数据转化为点的坐标.3.求出抛物线解析式,应用二次函数性质或点的坐标的意义解决问题.
【核心突破】例1(2018·衢州中考)某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图所示,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系.
(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式.(2)王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内?
(3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.
【思路点拨】(1)根据顶点坐标可设二次函数的顶点式,代入点(8,0),求出系数的值,此题得解.(2)利用二次函数图象上点的坐标特征,求出当y=1.8时x的值,由此即可得出结论.
(3)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标,由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式为y=- x2+bx+ ,代入点(16,0)可求出b值,再利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式,即可得出结论.
【自主解答】(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式为y=a(x-3)2+5(a≠0),将(8,0)代入y=a(x-3)2+5,得:25a+5=0,解得:a=- ,
∴水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式为y=- (x-3)2+5(0
∴改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式为y=- x2+3x+ =- (x- )2+ .∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为 米.
【明·技法】抛物线型实际问题解题的关键、技巧及注意问题(1)解题的关键:进行二次函数建模,依据题意,建立合适的平面直角坐标系,并利用抛物线的性质解决问题.
(2)解题技巧:所建立的坐标系能使所设的解析式形式最简.
(3)注意问题:①题意分析不透,不能建立符合题意的函数模型或所建立的函数模型不正确,导致解题错误;②忽视了自变量的取值范围,造成错解;③由几何图形中的线段的长转化为坐标系中点的坐标时,忽视了线段所在的象限,造成符号错误.
【题组过关】1.(2019·临沂中考)从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的函数关系如图所示.下列结论:
①小球在空中经过的路程是40 m;②小球抛出3秒后,速度越来越快;③小球抛出3秒时速度为0;④小球的高度h=30 m时,t=1.5 s.其中正确的是( )A.①④ B.①② C.②③④ D.②③
2.(2019·山西中考)北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1),它由五个高度不同,跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥,拉锁与主梁相连,最高的钢拱如图2所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B两点,拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米),跨径为
90米(即AB=90米),以最高点O为坐标原点,以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系,则此抛物线型钢拱的函数表达式为( )
A.y= x2B.y=- x2C.y= x2D.y=- x2
3.(2019·山东东营区月考)如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是12 m,宽是4 m.按照图中所示的直角坐标系,抛物线最高点D到墙面OB的水平距离为6 m时,隧道最高点D距离地面10 m.
(1)求该抛物线的函数解析式.(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后宽为4 m,高为6 m,如果隧道内设双向行车道,那么这辆货车能否安全通过?
(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等,如果灯离地面的高度不超过8 m,那么两排灯的水平距离最小是多少米?
【解析】(1)根据题意,该抛物线的顶点坐标为D(6,10),设抛物线解析式为y=a(x-6)2+10,将点B(0,4)代入,得:36a+10=4,解得:a=- ,故该抛物线解析式为y=- (x-6)2+10.
(2)由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为(2,0)或(10,0),当x=2或x=10时,y= >6,所以这辆货车能安全通过.
(3)令y=8,则- (x-6)2+10=8,解得x1=6+2 ,x2=6-2 ,则x1-x2=4 ,所以两排灯的水平距离最小是4 m.
考点二 利润最大化问题 【主干必备】应用二次函数性质解决最优化问题思路1.分析题中数量关系,确定变量.2.根据等量关系,构建二次函数模型.3.根据函数性质,确定最值.
【核心突破】例2(2019·成都中考)随着5G技术的发展,人们对各类5G产品的使用充满期待,某公司计划在某地区销售一款5G产品,根据市场分析,该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化.设该产品在第x(x为正整数)个
销售周期每台的销售价格为y元,y与x之间满足如图所示的一次函数关系.
(1)求y与x之间的关系式.(2)设该产品在第x个销售周期的销售数量为p(万台),p与x的关系可以用p= x+ 来描述.根据以上信息,试问:哪个销售周期的销售收入最大?此时该产品每台的销售价格是多少元?
【自主解答】(1)设函数的关系式为y=kx+b(k≠0),由图象可得, 解得 ∴y与x之间的关系式为y=-500x+7 500.
(2)设销售收入为w万元,根据题意得,w=yp=(-500x+7 500) ,即w=-250(x-7)2+16 000,∴当x=7时,w有最大值为16 000,此时y=-500×7+7 500=4 000(元).
答:第7个销售周期的销售收入最大,此时该产品每台的销售价格是4 000元.
【明·技法】二次函数在销售问题中的应用
【易错提示】在求二次函数最值时,要注意实际问题中自变量的取值的限制对最值的影响.
【题组过关】1.(2019·内蒙古呼和浩特期中)某商品的销售利润与销售单价存在二次函数关系,且二次项系数a=-1,当商品单价为160元和200元时,能获得同样多的利润,要使销售商品利润最大,销售单价应定为__________元.
2.(2019·黑龙江哈尔滨道外区期末)某商场经调研得出某种商品每天的利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系:y=ax2+bx-75,其图象如图所示.
(1)求a与b的值.(2)销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大?最大利润是多少元?(参考公式:当x=- 时,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)有最小(大)值)
(3)销售单价定在多少时,该种商品每天的销售利润为21元?结合图象,直接写出销售单价定在什么范围时,该种商品每天的销售利润不低于21元?
【解析】(1)y=ax2+bx-75图象过点(5,0),(7,16),∴ 解得: (2)∵y=-x2+20x-75=-(x-10)2+25,∴当x=10时,y最大=25.
答:销售单价为10元时,该种商品每天的销售利润最大,最大利润为25元.(3)根据题意,当y=21时,得:-x2+20x-75=21,解得:x1=8,x2=12,∴x=8 或 x=12,即销售单价定在8元或12元时,该种商品每天的销售利润为21元;故销售单价在8≤x≤12时,销售利润不低于21元.
3.(2019·南通二模)A厂一月份产值为16万元,因管理不善,二、三月份产值的月平均下降率为x(0
【解析】(1)根据题意可得:yA=16(1-x)2,yB=12(1-x)(1+2x).(2)由题意得16(1-x)2=12(1-x)(1+2x),解得:x1= ,x2=1.∵0
yB-yA=12(1-x)(1+2x)-16(1-x)2=4(1-x)(10x-1)=-40 ∵-40<0,
考点三 面积最大化问题【核心突破】例3(2018·福建中考)如图,在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏.
(1)若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米,求所利用旧墙AD的长.(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.
【思路点拨】(1)设AB=x m,则BC=(100-2x)m,利用矩形的面积公式得到x(100-2x)=450,解方程得x1=5,x2=45,然后计算100-2x后与20进行大小比较即可得到AD的长.(2)设AD=y m,利用矩形面积得到S= y(100-y),然后配方,根据二次函数的性质得S的最大值.
【自主解答】(1)设AB=x m,则BC=(100-2x)m,根据题意得x(100-2x)=450,解得x1=5,x2=45,当x=5时,100-2x=90>20,不合题意舍去;当x=45时,100-2x=10,∴AD的长为10m.
(2)设AD=y m,∴S= y(100-y)=- (y-50)2+1 250,当a≥50时,则y=50时,S的最大值为1 250;
当0
【题组过关】1.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10 cm,BC=8 cm,点P从点A沿AC向点C以1 cm/s的速度运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止),在运动过程中,四边形PABQ的面积的最小值为( )
A.19 cm2 B.16 cm2 C.12 cm2 D.15 cm2
2.(2019·连云港中考)如图,利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD,其中∠C=120°.若新建墙BC与CD总长为12 m,则该梯形储料场ABCD的最大面积是( )A.18 m2 B.18 m2C.24 m2D. m2
3.(2019·洛阳期中)为了节省材料,小浪底水库养殖户小李利用水库的岸堤(足够长)为一边,用总长为120 m的网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等.设BC的长度为x m,矩形区域ABCD的面积为y m2.
(1)求y与x之间的函数关系式,并注明自变量x的取值范围.(2)请你帮养殖户小李计算一下BC边多长时,养殖区ABCD面积最大,最大面积为多少?
【解析】(1)∵三个矩形的面积相等,可知2FG=2GE=BC,∴ BC×DF=BC×FC,∴2FC=DF,2BC+8FC=120,∴FC=
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