数学北师大版3 探索三角形全等的条件学案

一、作业检查

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二、内容回顾

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三、知识整理

知识点一、全等形

1.（1）定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形。

 要点：图形的全等与他们的位置无关，只要满足能够完全重合即可；而完全重合包含两层意思：图形的形状相同，大小相等；全等形的周长、面积分别相等，但周长或面积相等的两个图形不一定全等。

（2）几种常用全等变换的方式：平移、翻折、旋转。

2.全等三角形及相关的概念

（1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

（2）全等三角形对应元素：把两个全等的三角形重合到一起，①对应顶点：重合的顶点；②对应边：重合的边；③对应角：重合的角。

（3）全等三角形的表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，如图所示△ABC≌△DEF。符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等。

（4）全等三角形的书写：

         ①字母顺序确定法：根据书写规范，按照对应顶点确定对应边，对应角，如△CAB≌FDE,则AB与DE、AC与DF、BC与EF是对应边，∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F时对应角；

         ②图形位置确定法：公共边一定是对应边，公共角一定是对应角，对顶角一定是对应角；

         ③图形大小确定法：两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。

（5）对应边（角）与对边（角）的区别：对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边，两个角的关系；而对边、对角是指一个三角形的边和角的对应边（角）位置关系。对边是与对角相对的边，对角是与边相对的角。

易错提示：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，字母顺序不能随意书写。

3.全等三角形的性质

性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。还具备：全等三角形的对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角平分线相等；全等三角形的周长相等,面积也相等。

易错提示：周长相等的两个三角形不一定全等，面积相等的两个三角形也不一定全等。

练习：

1、如图，△ABC≌△BAD，A、C的对应点分别是B、D，若AB=9，BC=12，AC=7，则BD=（　　）

2、下列图形中是全等图形的有（　　）

3、如图，△ABC≌△DEF，BE=4，AE=1，则DE的长是（　　）

4、如图，若△ABC≌△DEF，则∠E等于（　　）
 

知识点二、三角形全等的判定

判定1、三边对应相等的两个三角形全等.简写成“边边边”或“”

几何符号语言：在和中

∵

∴≌（）

例1、如图，AB=AD，BC=CD求证：∠BAC=∠DAC。

判定2、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.简写为“边角边”或“”

几何符号语言：在和中   

∵

∴≌（）

例2、如图，是中边的中点，，且.

求证：⑴≌  ⑵

判定3、有两角和其夹边对应相等的两个三角形全等.简写成“角边角”或“”

几何符号语言：在和中   

∵

∴≌（）

判定4：有两角和其一角对边对应相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“”

或：在和中   

∵   ∴≌（）

例3、如图，，，

求证：

判定5、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，

简写为“斜边、直角边”或“”

几何符号语言：∵

∴在和中

∵     ∴≌

例4、如图，于，于，且

求证：

四、          例题分析

专项训练

1.如图，在中,M在BC上，D在AM上，AB=AC , DB=DC 。

求证：MB=MC

2.如图,AD与BC相交于O,OC=OD,OA=OB,求证：

3.如图，梯形ABCD中，AB//CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于F

求证：≌

4.如图，在中，AB=AC，D、E分别在BC、AC边上。且,AD=DE

求证：≌.

5、如图，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E；
求证：BC=DC．

6、如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF．

7、如图，已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC与BD交于点O，AC=BD。

   求证：（1）BC=AD；（2）△OAB是等腰三角形

8、如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．求证：BE=CD．

五、课堂检测

1、如图是“人”字形屋梁，AB＝AC．现在要在水平横梁BC上立一根垂直的支柱支撑屋梁，工人师傅取BC的中点D，然后在A，D之间竖支柱AD．那么这根AD符合“垂直”的要求吗？为什么？

2、如图所示，已知：A，C，F，D四点在同一直线上，AB＝DE，BC＝EF，AF＝DC，求证：AB∥DE.

3、已知：如图所示，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD，求证：∠C＝∠A.

 4、如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，求证：∠A＋∠D＝180°.

A．40° B．35°        C．30°        D．25°

6、如图，若△ABC≌△AEF，则对于结论：（1）AC=AF；（2）∠FAB=∠EAB；（3）EF=BC；（4）∠EAB=∠FAC．其中正确的个数是（　　）

A．1个         B．2个         C．3个        D．4个

7、如果△ABC≌△ADC，AB=AD，∠B=70°，BC=3cm，那么∠D=______，DC=________．

8、如图，如果△ABC≌△DEF，△DEF周长是32cm，DE=9cm，EF=13cm，∠E=∠B，则AC=____cm.

9、如图，AB与CD交于点O，OA=OC，OD=OB，∠A=50°，∠B=30°，则∠D的度数为（    ）

A．50°        B.30°        C．80°        D．100°

10、如图，若△OAD≌△OBC，且∠0=65°，∠BEA=135°，求∠C的度数。

11、如图，已知△ABC≌△DEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE的度数和EC的长．

12、若△ABC≌△DEF，△ABC的周长为100，AB=30，EF=25，则AC=（  ）

A、55           B、45          C、30           D、25

13、如图，△ABC≌△ADE，且∠EAB＝120°，∠B＝30°，∠CAD＝10°，∠CFD=______°

A.160°            B．110°             C．140°             D．120°

15、 如图：△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x=___________．

16、如图，已知△ABC≌△DEF,∠A=55°，∠E=50°，BC=10，CE=7，则∠D=      ；∠2=       ；CF=       .

六、当堂检测

1．如图,已知△ABC的六个元素,则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（　　 ）

A．甲和乙         B．乙和丙             C．只有乙            D．只有丙

2.如图所示，a,b,c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（　　）

3.如图，△ABC≌△CDA，∠BAC＝85°，∠B＝65°，则∠CAD度数为（    ）

A.30°        B.65°        C.40°         D.85°

4.如图所示，△AOB≌△COD，∠AOB=∠COD，∠A=∠C，则∠D的对应角是_______，图中相等的线段有___________．

5.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是A（-3，0），B（0，2），△OA′B′≌△OAB，A′在x轴上，则点B′的坐标是__________．

6.已知△ABC≌△DEF，BC=EF=6cm，△ABC的面积为18cm2，则EF边上的高的长是____cm．

7.在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在点E，使△ACE和△ACB全等，写出所有满足条件的E点的坐标___________．

8.如图，△ABC≌△DCB，AC与BD相交于点E，若∠A=∠D=80°，∠ABC=60°，则∠BEC等于___________.

七、课后作业

选择题

1.如图1，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（　　）

A.20°              B．30°              C．35°              D．40°

2．如图2，△ABC≌△DEF，BE=4，AE=1，则DE的长是（   ）

A.5                 B.4                  C.3                  D.2

A.15°              B．20°              C．25°              D．30°

图1             图2                   图3

4.已知：如图，ΔABD≌CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是 （    ）

A．DB           B．BC C．CD             D．AD

     图4               图5

5．已知：如图，ΔABD ≌CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是 （    ）

A．DB   B．BC            C．CD D．AD

填空题

6．如图6，已知△ABE≌△DCE，AE＝2 cm，BE＝1.5 cm，∠A＝25°，∠B＝48°；那么DE＝_____cm，EC＝_____cm，∠C＝_____°；∠D＝_____°

图6

7.全等三角形的对应边_____，对应角_____，这是全等三角形的重要性质．

8．如果ΔABC≌ΔDEF，则AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠C的对应角是_____，∠DEF的对应角是_____．

图9

9．如图9所示，ΔABC≌ΔDCB．

（1）若∠D＝74°∠DBC＝38°，则∠A＝_____，∠ABC＝_____

（2）如果AC＝DB，请指出其他的对应边_____；

（3）如果ΔAOB≌ΔDOC，请指出所有的对应边_____，对应角_____．

图10

10．如图10，已知△ABE≌△DCE，AE＝2 cm，BE＝1.5 cm，∠A＝25°，∠B＝48°；那么DE＝_____cm，EC＝_____cm，∠C＝_____°；∠D＝_____°．

11．一个图形经过平移、翻折、旋转后，_____变化了，但__________都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形。

12．下列命题中，真命题的个数是 （    ）

①全等三角形的周长相等    ②全等三角形的对应角相等

③全等三角形的面积相等    ④面积相等的两个三角形全等

A．4     B．3 C．2 D．1

13．如图13，△ABC≌△BAD，A和B、C和D是对应顶点，如果AB＝5，BD＝6，AD＝4，那么BC等于 （    ）

A．6 B．5 C．4 D．无法确定

图13                  图14                图15

14．如图14，△ABC≌△AEF，若∠ABC和∠AEF是对应角，则∠EAC等于 （    ）

A．∠ACB B．∠CAF C．∠BAF D．∠BAC

15．如图15，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为 （    ）

A．40° B．35° C．30° D．25°

二、填空题

16．如图16，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，则∠α的度数为______．

17．已知：如图17所示，以B为中心，将Rt△EBC绕B点逆时针旋转90°得到△ABD，若∠E＝35°，求∠ADB的度数．

图17                  图16                图18

18．已知：如图18，△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2．

（1）求∠F的度数与DH的长；

（2）求证：AB∥DE．