初中数学北师大版七年级下册5 利用三角形全等测距离导学案及答案

4.5　利用三角形全等测距离

利用全等三角形测距离

1、利用三角形测距离，实际上是利用已有的全等三角形，或构造出全等三角形，运用全等三角形的性质（对应边相等），把较难测量或者无法测量的距离转化成已知线段或较容易测量的线段的长度，从而得到被测得距离。

2、常用的全等方法

（1）边角边(SAS)的应用:

若有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,那么它们的对应边相等、对应角相等．

（2）角边角(ASA)的应用:

若有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,那么它们的对应边相等、对应角相等．

（3）角角边(AAS)的应用:

若有两角和一角的对边对应相等的两个三角形全等,那么它们的对应边相等、对应角相等．

3、常见的实际应用类型：

4、运用全等三角形解决实际问题步骤：

（1）先明确实际问题中应该用那些几何知识解决；

（2）根据实际问题抽象出几何图形（换句话说，把实际的应用题改编成为一个数学应用题）

（3）结合图形和题意来分析第二步分离出来的已知条件

（4）找到解决问题办法

01　　基础题

知识点　利用三角形全等测距离

1．利用三角形全等测量距离的原理是(B)[来源:Z+xx+k.Com]

  A．全等三角形对应角相等

  B．全等三角形对应边相等

  C．大小和形状相同的两个三角形全等

  D．三边对应相等的两个三角形全等

2．如图，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使AA′，BB′可以绕点O自由转动，就做成了一个测量工件，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是(C)

[来源:Z*xx*k.Com]

  A．边边边

  B．角边角

  C．边角边

  D．角角边

3．如图，测量水池的宽AB，可过点A作直线AC⊥AB，再由点C观测，在BA延长线上找一点B′，使∠ACB′＝∠ACB，这时只要量出AB′的长，就知道AB的长，这个测量用到判定三角形全等的方法是ASA．[来源:学。科。网]

4．如图，小明为了测量河的宽度，他先站在河边的C点面向河对岸，压低帽檐使目光正好落在河对岸的岸边A点，然后他姿势不变原地转了180°，正好看见他所在岸上的一块石头B点，他度量出BC＝30米，于是小明测出河宽为30米．

5．小明想测量一下马戏团中钢丝间的距离，他爸爸帮他想了一个好办法，把两根草绳AB，CD中点O连在一起，将绳子拉直，只要测出BD间的距离，就可以知道钢丝AC间距离了，你能说出其中的道理吗？

解：利用“SAS”说明两个三角形

全等．

在△AOC和△BOD中，

OA＝OB，∠AOC＝∠BOD，

CO＝DO，

所以△AOC≌△BOD(SAS)．

所以AC＝BD.

[来源:学科网ZXXK]

6．(朝阳中考)某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：

①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；

②沿河岸直走20步有一棵树C，继续前行20步到达D处；

③从D处沿与河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；

④测得DE的长就是河宽AB.

请你说明他们做法的正确性．

解：由作法知：在Rt△ABC和Rt△EDC中，

∠ABC＝∠EDC＝90°，BC＝DC，∠ACB＝∠ECD，

所以Rt△ABC≌Rt△EDC(ASA)．

所以AB＝ED，

即他们的做法是正确的．

7．公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图，其中AB∥CD.在AB，BC，CD三段路旁各有一小石凳E，M，F，M恰为BC中点，且E，F，M在同一条直线上，在BE段道路上停放了一排小汽车，从而无法直接测量B，E之间的距离，你能想出解决的方法吗？说明其中的道理．

解：测出CF的长即为BE的长．

由道路AB∥CD可知∠B＝∠C.

又因为M为BC中点，所以BM＝CM.

又因为∠EMB＝∠FMC，

所以△EMB≌△FMC(ASA)．

所以BE＝CF.

　02　　中档题

8．(绍兴中考)如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是(D)[来源:学#科#网Z#X#X#K]

  A．SAS

  B．ASA

  C．AAS

  D．SSS

9．阅读理解题：某校七(1)班学生到野外进行数学活动，为测量一池塘两端A，B的距离，设计了如下两种方案：(Ⅰ)如图1，先在平地上取一个可以直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC＝AC，EC＝BC，最后测出DE的距离即为AB的长；(Ⅱ)如图2，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB的距离．问：

图1　　　　　　　图2

(1)方案(Ⅰ)是否可行？可行，理由是SAS；

(2)方案(Ⅱ)是否可行？可行，理由是ASA；

(3)方案(Ⅱ)中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是构造全等三角形，若仅满足∠ABD＝∠BDE≠90°，方案(Ⅱ)成立(填“成立”或“不成立”)．

10．你一定玩过跷跷板吧！如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点O上下转动，立柱OC与地面垂直．当一方着地时，另一方上升到最高点．问：在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度AA′，BB′有何数量关系？为什么？

解：AA′＝BB′.

理由：因为O是AB′，A′B的中点，所以OA＝OB′，OB＝OA′.

又因为∠A′OA＝∠B′OB，

所以△A′OA≌△BOB′(SAS)．

所以AA′＝BB′.

11．如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上的同一位置A点，另一端分别固定在地面上的两个木桩B，C上(绳结处的误差忽略不计)，现在只有一把卷尺，如何检验旗杆是否垂直于BC？请说明理由．

解：用卷尺测量DB，DC的长，看它们是否相等，若DB＝DC，则AD⊥BC.

理由：因为AB＝AC，BD＝CD，DA是公共边，

所以△ADB≌△ADC(SSS)．

所以∠ADB＝∠ADC.

又因为∠ADB＋∠ADC＝180 °，

所以∠ADB＝∠ADC＝90 °，

即AD⊥BC.

12．(宜昌中考改编)杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语．其具体信息汇集如下：

如图，AB∥OH∥CD，OB＝OD.AC，BD相交于点O，OD⊥CD垂足为D.已知AB＝20米．请根据上述信息求标语CD的长度．

解：因为AB∥CD，所以∠ABO＝∠CDO.

又因为OD⊥CD，所以∠CDO＝90 °.

所以∠ABO＝90 °，即OB⊥AB.

在△ABO和△CDO中，

∠ABO＝∠CDO，OB＝OD，∠AOB＝∠COD，

所以△ABO≌△CDO(ASA)．

所以CD＝AB＝20米．

　03　　中考模拟题

13、如图,小明要测量水池的宽AB,但没有足够长的绳子,聪明的他想了如下办法:先在地上取一个可以直接到达A点
和B点的点C,连接AC并延长到D,使CD=CA,连接BC并延长到E,使CE=CB,连接DE并测量出它的长度,则DE的长度就是AB的长度,理由是根据　边角边(或SAS)  (用简写形式即可),可以得到△ABC≌△DEC,从而由全等三角形的对应边相等得出结论.

14、小强为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=36°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB=36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？

答案：楼高AB是26米．

∵∠CPD=36°，∠APB=54°，∠CDP=∠ABP=90°，

∴∠DCP=∠APB=54°，

在△CPD和△PAB中

∵，

∴△CPD≌△PAB（ASA），

∴DP=AB，

∵DB=36，PB=10，

∴AB=36﹣10=26（m），

答：楼高AB是26米．

15、某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：

①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；

②沿河岸直走20m有一树C，继续前行20m到达D处；

③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；

④测得DE的长为5米．

求：（1）河的宽度是多少米？

（2）请你证明他们做法的正确性．

（1）解：河的宽度是5m；

（2）证明：由作法知，BC=DC，∠ABC=∠EDC=90°，

在Rt△ABC和Rt△EDC中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△EDC（ASA），

∴AB=ED，

即他们的做法是正确的．

【分析】（1）根据全等三角形对应角相等可得AB=DE；

（2）利用“角边角”证明Rt△ABC和Rt△EDC全等，再根据全等三角形对应边相等解答．

16、如图，点D为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，DA，DB为海岸线．一轮船离开码头，计划沿∠ADB的角平分线航行，在航行途中C点处，测得轮船与灯塔A和灯塔B的距离相等．试问：轮船航行是否偏离指定航线？请说明理由．

答案：此时轮船没有偏离航线.

解析：【解答】此时轮船没有偏离航线．

理由：由题意知：DA=DB，AC=BC，

在△ADC和△BDC中，

，

∴△ADC≌△BDC（SSS），

∴∠ADC=∠BDC，

即DC为∠ADB的角平分线，

∴此时轮船没有偏离航线．

【分析】只要证明轮船与D点的连线平分∠ADB就说明轮船没有偏离航线，也就是证明∠ADC=∠BDC，证角相等，常常通过把角放到两个三角形中，利用题目条件证明这两个三角形全等，从而得出对应角相等．