初中数学青岛版九年级下册5.4二次函数的图像与性质教学设计

这是一份初中数学青岛版九年级下册5.4二次函数的图像与性质教学设计，共6页。教案主要包含了知识与能力，过程与方法，情感态度价值观，教学重点，教学难点，3 min反馈，互动探索，互动总结等内容，欢迎下载使用。

教学目标


【知识与能力】


会用描点法画二次函数y＝ax2＋c的图象，并通过图象认识其性质。能利用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2的图象，并能理解它与二次函数y＝ax2的图象的关系，理解a、h对二次函数图象的影响


【过程与方法】


理解a、c对二次函数图象的影响，能正确说出二次函数y＝ax2＋c图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。能够正确说出二次函数y＝a(x－h)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。


【情感态度价值观】


体会数形结合的思想方法。


教学重难点


【教学重点】


理解二次函数y＝ax2＋c的图象与性质，理解抛物线y＝a(x－h)2的图象与性质。


【教学难点】


抛物线的平移规律。


课前准备


多媒体


教学过程


环节1


阅读教材，完成下面练习．


【3 min反馈】


1．认真理解教材P8例2发现：将抛物线y＝eq \f(1,2)x2向上平移1个单位，就得到抛物线y＝eq \f(1,2)x2＋1.


2．将抛物线y＝－eq \f(1,3)x2向下平移1个单位，就得到抛物线y＝－eq \f(1,3)x2－1.


3．函数y＝－x2＋1，当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＝0时，函数y有最大值，最大值是1，其图象与y轴的交点坐标是(0,1)，与x轴的交点坐标是(1,0)，(－1,0).


4．对于函数y＝eq \f(1,2)(x－2)2，当x＜2时，函数值y随x的增大而减小；当x＞2时，函数值y随x的增大而增大；当x＝2时，函数取得最小值0.


5．抛物线y＝eq \f(1,2)(x－2)2的开口方向是向上，对称轴是x＝2，顶点坐标是(2,0)，可以看成是由抛物线y＝eq \f(1,2)x2向右平移2个单位而得到．


6．抛物线y＝－eq \f(1,3)(x＋2)2的开口方向是向下，对称轴是x＝－2，顶点坐标是(－2,0)，可以看成是由抛物线y＝－eq \f(1,3)x2向左平移2个单位而得到．


环节2 合作探究，解决问题


活动1 小组讨论(师生互学)


【例1】抛物线y＝ax2与y＝ax2±c(c>0)有什么关系？


【互动探索】(引发学生思考)画出函数图象，观察这两个抛物线之间的关系．


【解答】(1)抛物线y＝ax2±c的形状与y＝ax2的形状完全相同，只是位置不同；


(2)抛物线y＝ax2eq \(――→,\s\up7(向上平移c个单位))y＝ax2＋c；


抛物线y＝ax2eq \(――→,\s\up7(向下平移c个单位))y＝ax2－c.


【互动总结】(学生总结，老师点评)抛物线y＝ax2的上下平移规律：上加下减常数项的绝对值．


【例2】已知抛物线y＝(a－2)x2＋a2－2的最高点为(0,2)，求a的值．


【互动探索】(引发学生思考)抛物线y＝(a－2)x2＋a2－2的最高点为(0,2)，那么a－2<0，且a2－2＝2.


【解答】∵抛物线y＝(a－2)x2＋a2－2的最高点为(0,2)，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2<0，,a2－2＝2.))


解得a＝－2.


【互动总结】(学生总结，老师点评)如果二次函数y＝ax2＋c的图象有最高点，那么a＜0；最高点的纵坐标为c，即最高点的坐标为(0，c)．


活动2 巩固练习(学生独学)


1．若二次函数y＝(3m－6)x2－1的开口方向向下，则m的取值范围为( B )


A．m＞2B．m＜2


C．m≠2D．m＞－2


2．若二次函数y＝a1x2与二次函数y＝a2x2＋3图象的形状完全相同，则a1与a2的关系为( A )


A．a1＝a2B．a1＝－a2


C．a1＝±a2D．无法判断


3．将二次函数y＝－2x2－1的图象向下平移5个单位得到的抛物线的顶点坐标为( A )


A．(0，－6)B．(0,4)


C．(5，－1)D．(－2，－6)


4．求符合下列条件的抛物线y＝ax2－1的函数关系式：


(1)通过点(－3,2)；


(2)与y＝eq \f(1,2)x2的开口大小相同，方向相反．


解：(1)y＝eq \f(1,3)x2－1.


(2)y＝－eq \f(1,2)x2－1.


活动3 拓展延伸(学生对学)


【例3】已知二次函数y＝ax2＋c，当x取x1、x2(x1≠x2，x1、x2分别是A、B两点的横坐标)时，函数值相等，则当x取x1＋x2时，函数值为( )


A．a＋cB．a－c


C．－cD．c


【互动探索】二次函数y＝ax2＋c的图象关于y轴对称．∵当x取x1、x2(x1≠x2，x1、x2分别是A、B两点的横坐标)时(如图)，函数值相等，∴x1＋x2＝0，∴当x＝x1＋x2，即x＝0时，函数值为c，故选项D正确．





【答案】D


【互动总结】(学生总结，老师点评)二次函数y＝ax2＋c的图象关于y轴对称，当x取x1、x2(x1≠x2)时，函数值相等，那么x1与x2互为相反数．


活动4 小组讨论(师生互学)


【例1】顶点为(－2,0)，开口方向、形状与函数y＝－eq \f(1,2)x2的图象相同的抛物线的解析式为( )


A．y＝eq \f(1,2)(x－2)2


B．y＝eq \f(1,2)(x＋2)2


C．y＝－eq \f(1,2)(x＋2)2


D．y＝－eq \f(1,2)(x－2)2


【互动探索】(引发学生思考)因为抛物线的顶点在x轴上，所以可设该抛物线的解析式为y＝a(x＋h)2(a≠0)．而二次函数y＝a(x＋h)2(a≠0)与y＝－eq \f(1,2)x2的图象相同，所以a＝－eq \f(1,2).因为抛物线的顶点为(－2,0)，所以h＝2.把a＝－eq \f(1,2)，h＝2代入y＝a(x＋h)2，得y＝－eq \f(1,2)(x＋2)2.


【答案】C


【互动总结】(学生总结，老师点评)决定抛物线形状的是二次项系数，二次项系数相同的抛物线的形状完全相同．


【例2】向左或向右平移函数y＝－eq \f(1,2)x2的图象，能使得到的新的图象过点(－9，－8)吗？若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由．


【互动探索】(引发学生思考)假设法：设出抛物线y＝－eq \f(1,2)x2平移后的解析式y＝－eq \f(1,2)(x＋h)2→代入点(－9，－8)，求出h→若h存在，则假设成立；反之假设不成立．


【解答】能．理由如下：


设平移后的函数解析式为y＝－eq \f(1,2)(x＋h)2.


将x＝－9，y＝－8代入，得－8＝－eq \f(1,2)(－9＋h)2，


解得h＝5或h＝13.


所以平移后的函数解析式为y＝－eq \f(1,2)(x＋5)2或y＝－eq \f(1,2)(x＋13)2.


即平移后抛物线的顶点为(－5,0)或(－13,0)，


所以应向左平移5或13个单位．


【互动总结】(学生总结，老师点评)二次函数y＝ax2(a≠0)的图象向左(或右)平移h(h>0)个单位长度得到的图象的解析式为y＝a(x±h)2.


活动5 巩固练习(学生独学)


1．对于二次函数y＝9(x－1)2，下列结论正确的是( D )


A．y随x的增大而增大


B．当x＞0时，y随x的增大而增大


C．当x＝－1时，y有最小值0


D．当x＞1时，y随x的增大而增大


2．已知抛物线y＝a(x＋h)2(a≠0)的顶点坐标是(－2,0)，且图象经过点(－4,2)，求a、h的值．


解：∵抛物线y＝a(x＋h)2(a≠0)的顶点坐标为(－2,0)，∴h＝2.又∵抛物线y＝a(x＋2)2经过点(－4,2)，∴a(－4＋2)2＝2，∴a＝eq \f(1,2).


3．抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1,4)，求a的值和平移后的函数关系式．


解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2.把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，解得a＝eq \f(1,4)，∴平移后二次函数关系式为y＝eq \f(1,4)(x－3)2.


活动6 拓展延伸(学生对学)


【例3】把函数y＝eq \f(1,2)x2的图象向右平移4个单位后，其顶点为C，并与直线y＝x分别相交于A、B两点(点A在点B的左边)，求△ABC的面积．


【互动探索】结合已知，求出A、B、C的坐标→根据坐标画出大致图形→求△ABC的面积．


【解答】平移后的函数为y＝eq \f(1,2)(x－4)2，顶点C的坐标为(4,0)．


解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(1,2)x－42，,y＝x，))


得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝8，,y＝8.))


∵点A在点B的左边，


∴A(2,2)，B(8,8)，





∴S△ABC＝S△OBC－S△OAC＝eq \f(1,2)OC×8－eq \f(1,2)OC×2＝12.








环节3 课堂小结，当堂达标


(学生总结，老师点评)