初中数学青岛版九年级下册5.4二次函数的图像与性质教案

这是一份初中数学青岛版九年级下册5.4二次函数的图像与性质教案，共4页。教案主要包含了知识与能力，过程与方法，情感态度价值观，教学重点，教学难点，3 min反馈，互动探索，互动总结等内容，欢迎下载使用。

教学目标


【知识与能力】


能通过配方把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成y＝a(x－h)2＋k的形式。


【过程与方法】


能正确求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴和顶点坐标。掌握利用二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)解决函数增减性问题的方法；会利用对称性画出二次函数的图象


【情感态度价值观】


体会数形结合的思想方法。


教学重难点


【教学重点】


二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质。


【教学难点】


用配方法确定抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标和对称轴。


课前准备


无


教学过程


环节1


阅读教材，完成下面练习．


【3 min反馈】


1．二次函数y＝a(x－h)2＋k的顶点坐标是(h，k)，对称轴是x＝h，当a>0时，开口向上，此时二次函数有最小值，当x＞h时，y随x的增大而增大，当x

2．一般地，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)可以通过配方法化成y＝a(x－h)2＋k的形式，即y＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(b,2a)))2＋eq \f(4ac－b2,4a).因此，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－eq \f(b,2a)，顶点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a))).


3．从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可以看出：如果a>0，当x<－eq \f(b,2a)，y随x的增大而减小，当x>－eq \f(b,2a)，y随x的增大而增大；如果a<0，当x<－eq \f(b,2a)，y随x的增大而增大，当x>－eq \f(b,2a)，y随x的增大而减小.


4．将二次函数y＝－x2＋4x＋5化为y＝a(x－h)2＋k的形式为y＝－(x－2)2＋9，对称轴是x＝2，顶点坐标是(2,9).


环节2 合作探究，解决问题


活动1 小组讨论(师生互学)


【例1】画出函数y＝－eq \f(1,2)x2＋x－eq \f(5,2)的图象，并说明这个函数具有哪些性质．


【解答】见教材第16～17页例4.


【例2】求抛物线y＝2x2－x－1的开口方向、对称轴及顶点坐标．


【互动探索】(引发学生思考)用配方法将y＝2x2－x－1转化为y＝a(x－h)2＋k的形式→得出开口方向与顶点坐标．


【解答】配方，得y＝2x2－x－1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,4)))2－eq \f(9,8)，


∴抛物线的对称轴是直线x＝eq \f(1,4)，顶点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，－\f(9,8))).


【互动总结】(学生总结，老师点评)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)可以通过配方法化成y＝a(x－h)2＋k的形式，即y＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(b,2a)))2＋eq \f(4ac－b2,4a)，其对称轴是x＝－eq \f(b,2a)，顶点是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a))).


活动2 巩固练习(学生独学)


1．当a<0时，则抛物线y＝x2＋2ax＋1＋2a2的顶点在第一象限．


2．利用配方法，把下列函数写成y＝a(x－h)2＋k的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．


(1)y＝－x2＋6x＋1； (2)y＝2x2－3x＋4；


(3)y＝－x2＋nx； (4)y＝x2＋px＋q.


解：(1)∵y＝－x2＋6x＋1＝－(x－3)2＋10，∴对称轴为直线x＝3，顶点坐标为(3,10)，开口向下．


(2)∵y＝2x2－3x＋4＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))2＋eq \f(23,8)，∴对称轴为直线x＝eq \f(3,4)，顶点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，\f(23,8)))，开口向上．


(3)∵y＝－x2＋nx＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(n,2)))2＋eq \f(n2,4)，∴对称轴为直线x＝eq \f(n,2)，顶点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,2)，\f(n2,4)))，开口向下．


(4)∵y＝x2＋px＋q＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(p,2)))2＋eq \f(4q－p2,4)，∴对称轴为直线x＝－eq \f(p,2)，顶点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，\f(4q－p2,4)))，开口向上．


3．已知抛物线y＝x2－4x＋h的顶点A在直线y＝－4x－1上，求抛物线的顶点坐标．


解：A(2，－9)．


4．已知二次函数y＝－eq \f(1,2)x2－2x＋6.


(1)求函数图象的顶点坐标和对称轴．


(2)自变量x在什么范围内时，函数值y＞0？y随x的增大而减小？


解：(1)配方，得y＝－eq \f(1,2)(x＋2)2＋8，∴顶点坐标为(－2,8)，对称轴为直线x＝－2.


(2)当－6＜x＜2时，y＞0，当x＞－2时，y随x的增大而减小．


活动3 拓展延伸(学生对学)


【例3】已知抛物线y＝x2－(a＋2)x＋9的顶点在坐标轴上，求a的值．


【互动探索】已知抛物线的顶点在坐标轴上→分两种情况讨论：顶点在x轴上，顶点在y轴上．


【解答】∵y＝x2－(a＋2)x＋9＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a＋2,2)))2＋9－eq \f(a＋22,4)，


∴抛物线的顶点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋2,2)，9－\f(a＋22,4))).


当顶点在y轴上时，有eq \f(a＋2,2)＝0，


解得a＝－2.


当顶点在x轴上时，有9－eq \f(a＋22,4)＝0，


解得a＝4或a＝－8.


∴当抛物线y＝x2－(a＋2)x＋9的顶点在坐标轴上时，a的值可以是－8，－2,4.


【互动总结】(学生总结，老师点评)由于抛物线的顶点在坐标轴上，故应分在x轴上与y轴上两种情况进行讨论，不要漏解．


环节3 课堂小结，当堂达标


(学生总结，老师点评)


二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质：


(1)开口方向：当a>0时，向上；当a<0时，向下．


(2)对称轴：直线x＝－eq \f(b,2a).


(3)顶点坐标：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a))).


(4)增减性：如果a>0，当x<－eq \f(b,2a)，y随x的增大而减小，当x>－eq \f(b,2a)，y随x的增大而增大；如果a<0，当x<－eq \f(b,2a)，y随x的增大而增大，当x>－eq \f(b,2a)，y随x的增大而减小．