初中数学青岛版九年级下册5.5确定二次函数的表达式教案

这是一份初中数学青岛版九年级下册5.5确定二次函数的表达式教案，共5页。教案主要包含了知识与能力，过程与方法，情感态度价值观，教学重点，教学难点等内容，欢迎下载使用。

教学目标


【知识与能力】


1．能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题．


2．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同侧面对函数性质进行研究．


3．经历用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系与各自不同的特点．


【过程与方法】


1．通过解决用二次函数所表示的问题，培养学生的运用能力．


2．通过对二次函数的三种表示方式的特点进行研究，训练大家的求同求异思维．


【情感态度价值观】


1．通过用二次函数解决实际问题，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史


发展的作 用，同时激发他们学习数学的兴趣．


2．初步学会从数 学的角度提出问题、理解问题， 并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识．


教学重难点


【教学重点】


能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题．


能够根据二次 函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究．


【教学难点】


能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题．


课前准备


无


教学过程


Ⅰ. 创设问题情境，引入新课


[师]函数的三种表示方式，即表格、表达式、图象法，我们都不陌生，比如在商店的广


告牌上这样写着：一种豆子的售价与购买数量之间的关系如下：


这是售货员为了便于计价，常常制作这种表示售价与数量关系的表，即用表格表示函数．用表达式和图象法来表示函数的情形我们更熟悉．这节课我们不仅要掌握三种表示方式，而且要体会三种方式之间的联系与各自不同的特点，在什么情况下用哪一种方式更好?


Ⅱ．新课讲解


一、试一试


长方形的周长为20 cm，设它的一边长为xcm，面积为ycm2．y随x变化而变化的规律是什么?你能分别用函数表达式、表格和图象表示出来吗?


(1)用函数表达式表示：y= .


(2)用表格表示：


(3)用图象表示：


[师]请大家互相交流．


[生](1)一边长为x cm，则另一边长为(10-x)cm，所以面积为：





y＝x(10-x)=-x2+10x


(2)表中第二行从左至


右依次填9、8、7、6、5、


4、3、2、1；第三行从左至


右依次填9、16、21、24、25、


24、21、16、9.


(3)图象如右图．


[师]大家可能注意到了函数的图象在第一象限．可是我们知道开口向下的抛物线可以到达第四象限和第三象限，这是什么原因呢?


[生]因为自变量的取值只取到了1至9，而这些点正好都在第一象限，所以图象只能画在第一象限．


[师]大家同意这种说法吗?


[生]不同意．不是因为列表中自变量的取值的原因，而是由于实际情况．函数值y是面积，而面积是不能为负值的．如果脱离了实际问题，单纯地画函数y=-x2+10x的图象，就不是在第一象限作图象了．


[师]非常棒．


二、议一议


(1)在上述问题中，自变量x的取值范围是什么?


(2)当x取何值时，长方形的面积最大?它的最大面积是多少?你是怎样得到的?请你描述一下y随x的变化而变化的情况．


[师]自变量x的取值范围即是使函数有意义的自变量的取值范围．请大家互相交流．


[生](1)因为x是边长，所以x应取正数，即x>0，又另一边长(10-x)也应大于0，即10-x>0，所以x<10，这两个条件应该同时满足，所以x的取值范围是0

(2)当x取何值时，长方形的面积最大，就是求自变量取何值时，函数有最大值，所以要把二次函数y＝-x2+10x化成顶点式．当x＝-时，函数y有最大值.


∴y=-x2+10x=-x2+10x=-(x2-10x)


=-(x2-10x+25-25)


=-(x-5)2+25．


∴当x=5时，长方形的面积最大，最大面积是25 cm2．


可以通过观察图象得知．


也可以代入顶点坐标公式中求得．


当x=-=5时，y最大==25cm2.


当x由1至5逐渐增大时，y的值逐渐增大，当x由5至10逐渐增大时，y的值逐渐减小。


[师]回答得棒极了．


这是一个实际问题，面积y为边长x的二次函数，求当x取何值时，长方形的面积最大．实际上就是求二次函数的最值，描述y随x的变化而变化的情况，就是以对称轴为分界线，一边为y随x的增大而减小，另一边是y随x的增大而增大．


三、做一做


两个数相差2，设其中较大的一个数为x，那么它们的积y是如何随x的变化而变化的?你能分别用函数表示式、表格和图象表示这种变化吗?


1．用函数表达式表示：y＝ .


2．用表格表示：


3．用图象表示：


4．根据以上三种表示方式问答下列问题：


(1)白变量x的取值范围是什么?


(2)图象的对称轴和顶点坐标分别是什么?


(3)如何描述y随x的变化而变化的情况?


(4)你是分别通过哪种表示方式回答上面三个问题的?


[师]请大家互相交流．


[生]解：1．因为较大的一个数为x，那么较小的数为(x-2)，则积y=x(x-2)＝x2-2x所以函数的表达式为y＝x2-2x．


2.





3．图象如右图．


4．(1)因为数可以


是正数、负数和零，所


以x的取值范围为任何


实数．


(2)y=x2-2x=(x2-2x


+1)-1＝(x-1)2-1．


因此图象的对称轴为x＝1，顶点坐标为(1．-1)．


(3)因为开口向上，对称轴x=1，所以在对称轴左侧．即x<1时，y的值随x值的增大而减小；在对称轴右侧，即x>1时，y的值随x值的增大而增大．


(4)通过观察图象可知．


四、议一议


二次函数的三种表示方式有什么特点?它们之间有什么联系?与同伴进行交流．[来


[生]表格可以直观地找到对应点，图象就是把一对一对的对应点连接起来的，表达式反映出函数与自变量之间的关系．


它们之间的联系是：根据表达式可以求得一对一对的对应点，用光滑的曲线把对应点连接起来即为图象．


[师]很好．下面我们来更系统地学习它们各自的特点及联系．


函数的表格表示可以清楚、直接地表示出变量之间的数值对应关系；函数的图象表示可以直观地表示出函数的变化过程和变化趋势；函数的表达式可以比较全面、完整、简洁地表示出变量之间的关系．这三种表示方式各自有各自的优点，它们服务于不同的需要．


它们的联系是三种方式可以互化，由表达式可转化为表格和图象表示，每一种方式都可转化为另两种方式表示．


Ⅲ：课堂练习


1．(1)你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗?第6个图形中应该有多少个小圆圈?为什么?





(2)完成下表：


(3)如果用n表示等边三角形边上的小圆圈数，m表示这个三角形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么?


解：(1)观察前5个图形可知，第2个图形比第1个多2个小圆圈，第3个比第2个多3个，第4个比第3个多4个，第5个比第4个多5个，据此第6个应比第5个多6个小圆圈，因此第6个图形应该有21个小圆圈．


(2)从左至右应填1，3，6．10，15．


(3)m=.


Ⅳ．课时小结


本节课我们经历了用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会了三种方式之间的联系与各自不同的特点．根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行了研究．如最值问题和y随x的变化而变化等问题．


Ⅴ．课后作业


习题2．6


Ⅵ. 活动与探究


2．(1)你知道下面每一个图形中各有多少个圆圈吗？为什么?


(2)完成下表；





(3)如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么?


解：(1)第1个图形中有1个小圆圈．


第2个图形中有1+6=7个小圆圈．


第3个图形中有7+2×6=19个小圆圈．


第4个图形中有19+3×6＝37个小圆圈．


(2)从左至右填1．7，19，37，61．


(3)m＝6×+1＝3n2-3n+1．x(千克)
0
0．5
1
1．5
2
2．5
3
y(元)
0
1
2
3
4
5
6
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10-x
y
x
y
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
y
15
8
3
0
-1
0
3
8
15
边上的小圆圈数
1
2
3
4
5
小圆圈的总数
边上的小圆圈数
1
2
3
4
5
小圆圈的总数