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初中数学苏科版九年级下册第6章 图形的相似综合与测试课后复习题
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这是一份初中数学苏科版九年级下册第6章 图形的相似综合与测试课后复习题，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．若=，则的值为（ ）
A．5B．C．3D．
2．如果C是线段AB的黄金分割点C，并且AC＞CB，AB=1，那么AC的长度为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（ ）
A．1：4B．1：3C．1：2D．1：1
4．如图，两个菱形，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，则下列结论成立的是（ ）
A．△PAB∽△PCAB．△PAB∽△PDAC．△ABC∽△DBAD．△ABC∽△DCA
6．△ABC的三边之比为3：4：5，与其相似的△DEF的最短边是9cm，则其最长边的长是（ ）
A．5 cmB．10 cmC．15 cmD．30 cm
7．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．=B．=C．=D．=
8．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（ ）
A．2：3B．3：2C．4：5D．4：9
9．如图所示，在平面直角坐标系中，有两点A（4，2），B（3，0），以原点为位似中心，A′B′与AB的相似比为，得到线段A′B′.正确的画法是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为（ ）
A．3米B．4米C．4.5米D．6米
11．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边BC上，BE=EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出下列结论：①△DAG≌△DFG；②BG=2AG；③△EBF∽△DEG；④S△BEF=.其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
12．将﹣张正方形纸片ABCD对折，使CD与AB重合，得到折痕MN后展开，E为CN上﹣点，将△CDE沿DE所在的直线折叠，使得点C落在折痕MN上的点F处，连接AF，BF，BD，则得下列结论：
①△ADF是等边三角形；
②tan∠EBF=2﹣；
③S△ADF=S正方形ABCD；
④BF2=DF•EF.
其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
二、填空题
13．如图，直线AlA∥BB1∥CC1，若AB=8，BC=4，A1B1=6，则线段A1C1的长是 .
14．已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF= .
15．如图，若不增加字母与辅助线，要得到△ABC∽△ADE，只需要再添加一个条件是 .
16．在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的四边形，AB∥CD，CD⊥BC于C，且AB、BC、CD边长分别为2，4，3，则原直角三角形纸片的斜边长是 .
17．如图，若将平面直角坐标系中“鱼”以原点O为位似中心，按照相似比缩小，则点A的对应点的坐标是 .
18．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=1，E为直角边AB上任意一点，以线段CE为斜边作等腰Rt△CDE，连接AD，下列说法：①AC⊥ED；②∠BCE=∠ACD；③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四边形ABCD面积的最大值为，其中正确的是 .
三、解答题
19．如图，在△ABC中，D、E分别在AB与AC上，且AD=5，DB=7，AE=6，EC=4，△ADE与△ACB相似吗？请说明理由.
20．如图，△DEF是△ABC经过位似变换得到的，位似中心是点O，请确定点O的位置，如果OC=3.6cm，OF=2.4cm，求它们的相似比.
21．如图，在△ABC中，DE∥BC，△ABC的高AM交DE于点N，BC=15，AM=10，DE=MN，求MN的长.
22．将三角形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图(1)所示的图形，变化前后的两个三角形相似吗？如果把三角形改为正方形、长方形呢？
23．已知线段AB，按照如下的方法作图：以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到F，使EF=EB，以线段AF为边，作正方形AFGH，那么点H是线段AB的黄金分割点吗？请说明理由.
24．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上.
(1)求证：△BDE∽△CEF；
(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.
答案
1．若=，则的值为（ ）
A．5B．C．3D．
【考点】S1：比例的性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据比例的性质，可用b表示a，根据分式的性质，可得答案．
【解答】解：由=，得
4b=a﹣b．，解得a=5b，
==5，
故选：A．
【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出b表示a是解题关键．
2．如果C是线段AB的黄金分割点C，并且AC＞CB，AB=1，那么AC的长度为（ ）
A．B．C．D．
【考点】S3：黄金分割．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据黄金比值是计算即可．
【解答】解：∵C是线段AB的黄金分割点C，AC＞CB，
∴AC=AB=，
故选：C．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念，掌握把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割是解题的关键．
3．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（ ）
A．1：4B．1：3C．1：2D．1：1
【考点】S4：平行线分线段成比例；L5：平行四边形的性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】首先证明△DFE∽△BAE，然后利用对应边成比例，E为OD的中点，求出DF：AB的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，
则△DFE∽△BAE，
∴，
∵O为对角线的交点，
∴DO=BO，
又∵E为OD的中点，
∴DE=DB，
则DE：EB=1：3，
∴DF：AB=1：3，
∵DC=AB，
∴DF：DC=1：3，
∴DF：FC=1：2；
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明△DFE∽△BAE，然后根据对应边成比例求值．
4．如图，两个菱形，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（ ）
A．B．C．D．
【考点】S5：相似图形．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据相似多边形的性质逐一进行判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：由题意得，B中三角形对应角相等，对应边成比例，两三角形相似；
A，D中菱形、正方形四条边均相等，所以对应边成比例，又角也相等，所以正方形，菱形相似；
而C中矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，所以B中矩形不是相似多边形
故选C．
【点评】考查相似多边形的判定问题，其对应角相等，对应边成比例．
5．如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，则下列结论成立的是（ ）
A．△PAB∽△PCAB．△PAB∽△PDAC．△ABC∽△DBAD．△ABC∽△DCA
【考点】S8：相似三角形的判定．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐条分析判断．
【解答】解：∵∠APD=90°，
而∠PAB≠∠PCB，∠PBA≠∠PAC，
∴无法判定△PAB与△PCA相似，故A错误；
同理，无法判定△PAB与△PDA，△ABC与△DCA相似，故B、D错误；
∵∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，
∴AB=PA，AC=PA，AD=PA，BD=2PA，
∴
∴
∴△ABC∽△DBA，故C正确．
故选C．
【点评】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法．
6．△ABC的三边之比为3：4：5，与其相似的△DEF的最短边是9cm，则其最长边的长是（ ）
A．5 cmB．10 cmC．15 cmD．30 cm
【考点】S7：相似三角形的性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】由相似三角形的性质可求得△DEF的最短边和最长边的比为3：5，则可求得答案．
【解答】解：
∵△ABC和△DEF相似，
∴△DEF的三边之比为3：4：5，
∴△DEF的最短边和最长边的比为3：5，
设最长边为x，则3：5=9：x，解得x=15，
∴△DEF的最长边为15cm，
故选C．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的边对应成比例是解题的关键．
7．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．=B．=C．=D．=
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．
【解答】解：（A）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，故A错误；
（B）∵DE∥BC，
∴，故B错误；
（C）∵DE∥BC，
，故C正确；
（D））∵DE∥BC，
∴△AGE∽△AFC，
∴=，故D错误；
故选C
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质，本题属于中等题型
8．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（ ）
A．2：3B．3：2C．4：5D．4：9
【考点】SC：位似变换．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．
【解答】解：由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，
∴△A′B′C′∽△ABC．
∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9，
∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3，
∴=
故选A．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
9．如图所示，在平面直角坐标系中，有两点A（4，2），B（3，0），以原点为位似中心，A′B′与AB的相似比为，得到线段A′B′.正确的画法是（ ）
A．B．C．D．
【考点】SD：作图﹣位似变换．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据题意分两种情况画出满足题意的线段A′B′，即可做出判断．
【解答】解：画出图形，如图所示：
故选D
【点评】此题考查了作图﹣位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
10．如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为（ ）
A．3米B．4米C．4.5米D．6米
【考点】SA：相似三角形的应用．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】标注字母，判断出△ACD和△ABE相似，再利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
【解答】解：如图，由题意得，△ACD∽△ABE，
∴=，
即=，
解得BE=6，
即树的高度为6米．
故选D．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质．
11．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边BC上，BE=EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出下列结论：①△DAG≌△DFG；②BG=2AG；③△EBF∽△DEG；④S△BEF=.其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】SO：相似形综合题．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD=DF，∠A=∠GFD=90°，于是根据“HL”判定Rt△ADG≌Rt△FDG，再由GF+GB=GA+GB=12，EB=EF，△BGE为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出AG=4，BG=8，进而求出△BEF的面积，再抓住△BEF是等腰三角形，而△GED显然不是等腰三角形，判断③是错误的，问题得解．
【解答】解：如图，由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，
∴∠DFG=∠A=90°，
在Rt△ADG和Rt△FDG中，
，
∴Rt△ADG≌Rt△FDG，故①正确；
∵正方形边长是12，
∴BE=EC=EF=6，
设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12﹣x，
由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，
即：（x+6）2=62+（12﹣x）2，
解得：x=4
∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，故②正确；
BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，故③错误；
∵S△GBE=×6×8=24，S△BEF=：S△BGE=EF：EG，
∴S△BEF=×24=，
故④正确．
综上可知正确的结论的是3个．
故选C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、图形的翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．
12．将﹣张正方形纸片ABCD对折，使CD与AB重合，得到折痕MN后展开，E为CN上﹣点，将△CDE沿DE所在的直线折叠，使得点C落在折痕MN上的点F处，连接AF，BF，BD，则得下列结论：
①△ADF是等边三角形；
②tan∠EBF=2﹣；
③S△ADF=S正方形ABCD；
④BF2=DF•EF.
其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【考点】SO：相似形综合题．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】由正方形的性质得出AB=CD=AD，∠C=∠BAD=∠ADC=90°，∠ABD=∠ADB=45°，由折叠的性质得出MN垂直平分AD，FD=CD，BN=CN，∠FDE=∠CDE，∠DFE=∠C=90°，∠DEF=∠DEC，由线段垂直平分线的性质得出FD=FA，得出△ADF是等边三角形，①正确；
设AB=AD=BC=4a，则MN=4a，BN=AM=2a，由等边三角形的性质得出∠DAF=∠AFD=∠ADF=60°，FA=AD=4a，FM=AM=2a，得出FN=MN﹣FM=（4﹣2）a，由三角函数的定义即可得出②正确；
求出△ADF的面积=AD•FM=4a2，正方形ABCD的面积=16a2，得出③错误；
求出∠BFE=∠DFB，∠BEF=∠DBF，证出△BEF∽△DBF，得出对应边成比例，得出④正确；即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=AD，∠C=∠BAD=∠ADC=90°，∠ABD=∠ADB=45°，
由折叠的性质得：MN垂直平分AD，FD=CD，BN=CN，∠FDE=∠CDE，∠DFE=∠C=90°，∠DEF=∠DEC，
∴FD=FA，
∴AD=FD=FA，
即△ADF是等边三角形，①正确；
设AB=AD=BC=4a，则MN=4a，BN=AM=2a，
∵△ADF是等边三角形，
∴∠DAF=∠AFD=∠ADF=60°，FA=AD=4a，FM=AM=2a，
∴FN=MN﹣FM=（4﹣2）a，
∴tan∠EBF===2﹣，②正确；
∵△ADF的面积=AD•FM=×4a×2a=4a2，正方形ABCD的面积=（4a）2=16a2，
∴==，③错误；
∵AF=AB，∠BAF=90°﹣60°=30°，
∴∠AFB=∠ABF=75°，
∴∠DBF=75°﹣45°=30°，∠BFE=360°﹣90°﹣60°﹣75°=135°=∠DFB，
∵∠BEF=180°﹣75°﹣75°=30°=∠DBF，
∴△BEF∽△DBF，
∴，
∴BF2=DF•EF，④正确；
故选B．
【点评】本题是相似形综合题目，考查了正方形的性质、折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形是等边三角形和证明三角形相似是解决问题的关键．
13．如图，直线AlA∥BB1∥CC1，若AB=8，BC=4，A1B1=6，则线段A1C1的长是 .
【考点】S4：平行线分线段成比例．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，利用比例的基本性质即可得解．
【解答】解：∵AlA∥BB1∥CC1，
∴=，
∵AB=8，BC=4，A1B1=6，
∴B1C1=3，
∴A1C1=6+3=9．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，明确线段之间的对应关系是解决问题的关键．
14．已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF= .
【考点】S4：平行线分线段成比例．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，求出DF，结合图形计算即可．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴=，即=，
解得DF=4.5，
∴BF=BD+DF=3+4.5=7.5，
故答案为：7.5．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
15．如图，若不增加字母与辅助线，要得到△ABC∽△ADE，只需要再添加一个条件是 .
【考点】S8：相似三角形的判定．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】由图可得，两三角形已有一组角对应相等，再加一组角对应相等即可．
【解答】解：由图可得，∠BAC=∠DAE，根据三角形的判定：两角对应相等，两三角形相似．
可添加条件：DE∥BC，则∠ABC=∠ADE，
则△ADE∽△ABC，
故答案为：DE∥BC（答案不唯一）．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，此题为开放性试题，首先要找出已经满足的条件，然后再进一步分析需要添加的条件，熟记相似三角形的各种判定方法是解题关键．
16．在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的四边形，AB∥CD，CD⊥BC于C，且AB、BC、CD边长分别为2，4，3，则原直角三角形纸片的斜边长是 .
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理求出斜边上的中线，最后即可求出斜边的长．
【解答】解：①如图：因为AC==2，
点A是斜边EF的中点，
所以EF=2AC=4，
②如图：
因为BD==5，
点D是斜边EF的中点，
所以EF=2BD=10，
综上所述，原直角三角形纸片的斜边长是4或10，
故答案是：4或10．
【点评】此题考查了图形的剪拼，解题的关键是能够根据题意画出图形，在解题时要注意分两种情况画图，不要漏解．
17．如图，若将平面直角坐标系中“鱼”以原点O为位似中心，按照相似比缩小，则点A的对应点的坐标是 .
【考点】SC：位似变换；D5：坐标与图形性质．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，结合题意即可得出答案．
【解答】解：∵A（6，﹣4）以坐标原点O为位似中心，相似比为缩小，
∴对应点A′的坐标分别是：A′（3，﹣2）或（﹣3，2）．
故答案为：（3，﹣2）或（﹣3，2）．
【点评】此题主要考查了位似图形的性质，根据已知得出对应点之间的关系是解题关键．
18．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=1，E为直角边AB上任意一点，以线段CE为斜边作等腰Rt△CDE，连接AD，下列说法：①AC⊥ED；②∠BCE=∠ACD；③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四边形ABCD面积的最大值为，其中正确的是 .
【考点】SO：相似形综合题．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】由三角形ABC与三角形ECD都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到AB=AC，CD=DE，且四个锐角为45°，利用等式的性质得到∠BCE=∠ACD，故选项②正确；根据B与E重合时，A与D重合，此时DE与AC垂直；当B，E不重合时，A，D也不重合，根据∠BAC与∠EDC都为直角，判断∠AFE与∠DFC是否锐角，即可对于选项①做出判断；由两边对应成比例且夹角相等的三角形相似得到三角形BEC与三角形ADC相似，利用相似三角形对应角相等及等式的性质得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到AD与BC平行，可得出选项④正确；由④的结论判断选项③即可；根据△ABC的面积为定值，若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大；由高一定，面积最大即为AD最长，故梯形ABCD面积最大时，E、A重合，求出此时面积，即为最大面积，即可对于选项⑤做出判断．
【解答】解：∵△ABC，△ECD都为等腰直角三角形，
∴AB=AC=BC=，CD=DE=CE，∠B=∠ACB=∠DCE=∠DEC=45°，
∴∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE，即∠BCE=∠ACD，故选项②正确；
当B，E重合时，A，D重合，此时DE⊥AC；
当B，E不重合时，A，D也不重合，由∠BAC与∠EDC都为直角，得到∠AFE与∠DFC必为锐角，故①错误；
④∵==，
∴=，
由①知∠ECB=∠DCA，
∴△BEC∽△ADC；
∴∠DAC=∠B=45°；
∴∠DAC=∠BCA=45°，即AD∥BC，故④正确；
③∵由④知∠DAC=45°，
∴∠EAD=135°，∠BEC=∠EAC+∠ECA=90°+∠ECA；
∵∠ECA＜45°，
∴∠BEC＜135°，即∠BEC＜∠EAD；
∴△EAD与△BEC不相似，故③错误；
⑤∵△ABC的面积为定值，
∴若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大；
∵△ACD中，AD边上的高为定值，
∴若△ACD的面积最大，则AD的长最大；
由④的△BEC∽△ADC知：当AD最长时，BE也最长；
故梯形ABCD面积最大时，E、A重合，此时EC=AC=，AD=；
故S梯形ABCD=（1+）×=，故⑤正确．
故答案为：②④⑤．
【点评】此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行线的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
19．如图，在△ABC中，D、E分别在AB与AC上，且AD=5，DB=7，AE=6，EC=4，△ADE与△ACB相似吗？请说明理由.
【考点】S8：相似三角形的判定．
【【专题】解答题
【难度】难
分析】相似，利用计算两边的比相等，夹角是公共角，可得两三角形相似．
【解答】解：△ADE∽△ACB，理由是：
∵AD=5，DB=7，AE=6，EC=4，
∵==，==，
∴，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB．
【点评】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键，利用两边的比相等且夹角相等证明两三角形相似时，注意边的对应关系．
20．如图，△DEF是△ABC经过位似变换得到的，位似中心是点O，请确定点O的位置，如果OC=3.6cm，OF=2.4cm，求它们的相似比.
【考点】SC：位似变换．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】根据位似变换的性质、相似比的概念解答即可．
【解答】解：连接AD，CF交于点O，
则点O即为所求；
∵OC=3.6cm，OF=2.4cm，
∴OC：OF=3：2，
∴△ABC与△DEF的相似比为3：2．
【点评】本题考查的是位似变换的概念，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
21．如图，在△ABC中，DE∥BC，△ABC的高AM交DE于点N，BC=15，AM=10，DE=MN，求MN的长.
【考点】S4：平行线分线段成比例．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】设MN=x，则AN=10﹣x，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出MN的长．
【解答】解：设MN=x，则AN=10﹣x，
∵DE∥BC，
∴，
即，
即MN的长为6．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质；熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．
22．将三角形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图(1)所示的图形，变化前后的两个三角形相似吗？如果把三角形改为正方形、长方形呢？
【考点】S5：相似图形；Q2：平移的性质．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】利用相似图形的判定方法：对应角相等，对应边成比例的图形相似，进而判断即可．
【解答】解：∵三角形、矩形对应边外平移1个单位后，对应边的比值不一定相等，
∴变化前后的两个三角形、矩形都不相似，
∵正方形边长改变后对应比值仍相等，且对应角相等，
∴变化前后的两个正方形相似．
【点评】此题主要考查了相似图形的判定，正确掌握相似图形的判定方法是解题关键．
23．已知线段AB，按照如下的方法作图：以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到F，使EF=EB，以线段AF为边，作正方形AFGH，那么点H是线段AB的黄金分割点吗？请说明理由.
【考点】S3：黄金分割．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】根据黄金分割点的定义，只需证明AH2=AB•HB即可．
【解答】解：设正方形ABCD的边长为2a，
在Rt△AEB中，依题意，得AE=a，AB=2a，
由勾股定理知EB==a，
∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=（﹣1）a，
HB=AB﹣AH=（3﹣）a；
∴AH2=（6﹣2）a2，
AB•HB=2a×（3﹣）a=（6﹣2）a2，
∴AH2=AB•HB，
所以点H是线段AB的黄金分割点．
【点评】本题考查黄金分割的概念，勾股定理，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
24．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上.
(1)求证：△BDE∽△CEF；
(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KH：等腰三角形的性质．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的内角和和平角的定义得到∠BDE=∠CEF，于是得到结论；
(2)根据相似三角形的性质得到，等量代换得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：(1)∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠BDE=180°﹣∠B﹣∠DEB，
∠CEF=180°﹣∠DEF﹣∠DEB，
∵∠DEF=∠B，
∴∠BDE=∠CEF，
∴△BDE∽△CEF；
(2)∵△BDE∽△CEF，
∴，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE，
∴，
∵∠DEF=∠B=∠C，
∴△DEF∽△ECF，
∴∠DFE=∠CFE，
∴FE平分∠DFC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
一、选择题
1．若=，则的值为（ ）
A．5B．C．3D．
2．如果C是线段AB的黄金分割点C，并且AC＞CB，AB=1，那么AC的长度为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（ ）
A．1：4B．1：3C．1：2D．1：1
4．如图，两个菱形，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，则下列结论成立的是（ ）
A．△PAB∽△PCAB．△PAB∽△PDAC．△ABC∽△DBAD．△ABC∽△DCA
6．△ABC的三边之比为3：4：5，与其相似的△DEF的最短边是9cm，则其最长边的长是（ ）
A．5 cmB．10 cmC．15 cmD．30 cm
7．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．=B．=C．=D．=
8．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（ ）
A．2：3B．3：2C．4：5D．4：9
9．如图所示，在平面直角坐标系中，有两点A（4，2），B（3，0），以原点为位似中心，A′B′与AB的相似比为，得到线段A′B′.正确的画法是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为（ ）
A．3米B．4米C．4.5米D．6米
11．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边BC上，BE=EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出下列结论：①△DAG≌△DFG；②BG=2AG；③△EBF∽△DEG；④S△BEF=.其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
12．将﹣张正方形纸片ABCD对折，使CD与AB重合，得到折痕MN后展开，E为CN上﹣点，将△CDE沿DE所在的直线折叠，使得点C落在折痕MN上的点F处，连接AF，BF，BD，则得下列结论：
①△ADF是等边三角形；
②tan∠EBF=2﹣；
③S△ADF=S正方形ABCD；
④BF2=DF•EF.
其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
二、填空题
13．如图，直线AlA∥BB1∥CC1，若AB=8，BC=4，A1B1=6，则线段A1C1的长是 .
14．已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF= .
15．如图，若不增加字母与辅助线，要得到△ABC∽△ADE，只需要再添加一个条件是 .
16．在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的四边形，AB∥CD，CD⊥BC于C，且AB、BC、CD边长分别为2，4，3，则原直角三角形纸片的斜边长是 .
17．如图，若将平面直角坐标系中“鱼”以原点O为位似中心，按照相似比缩小，则点A的对应点的坐标是 .
18．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=1，E为直角边AB上任意一点，以线段CE为斜边作等腰Rt△CDE，连接AD，下列说法：①AC⊥ED；②∠BCE=∠ACD；③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四边形ABCD面积的最大值为，其中正确的是 .
三、解答题
19．如图，在△ABC中，D、E分别在AB与AC上，且AD=5，DB=7，AE=6，EC=4，△ADE与△ACB相似吗？请说明理由.
20．如图，△DEF是△ABC经过位似变换得到的，位似中心是点O，请确定点O的位置，如果OC=3.6cm，OF=2.4cm，求它们的相似比.
21．如图，在△ABC中，DE∥BC，△ABC的高AM交DE于点N，BC=15，AM=10，DE=MN，求MN的长.
22．将三角形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图(1)所示的图形，变化前后的两个三角形相似吗？如果把三角形改为正方形、长方形呢？
23．已知线段AB，按照如下的方法作图：以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到F，使EF=EB，以线段AF为边，作正方形AFGH，那么点H是线段AB的黄金分割点吗？请说明理由.
24．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上.
(1)求证：△BDE∽△CEF；
(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.
答案
1．若=，则的值为（ ）
A．5B．C．3D．
【考点】S1：比例的性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据比例的性质，可用b表示a，根据分式的性质，可得答案．
【解答】解：由=，得
4b=a﹣b．，解得a=5b，
==5，
故选：A．
【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出b表示a是解题关键．
2．如果C是线段AB的黄金分割点C，并且AC＞CB，AB=1，那么AC的长度为（ ）
A．B．C．D．
【考点】S3：黄金分割．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据黄金比值是计算即可．
【解答】解：∵C是线段AB的黄金分割点C，AC＞CB，
∴AC=AB=，
故选：C．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念，掌握把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割是解题的关键．
3．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（ ）
A．1：4B．1：3C．1：2D．1：1
【考点】S4：平行线分线段成比例；L5：平行四边形的性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】首先证明△DFE∽△BAE，然后利用对应边成比例，E为OD的中点，求出DF：AB的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，
则△DFE∽△BAE，
∴，
∵O为对角线的交点，
∴DO=BO，
又∵E为OD的中点，
∴DE=DB，
则DE：EB=1：3，
∴DF：AB=1：3，
∵DC=AB，
∴DF：DC=1：3，
∴DF：FC=1：2；
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明△DFE∽△BAE，然后根据对应边成比例求值．
4．如图，两个菱形，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（ ）
A．B．C．D．
【考点】S5：相似图形．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据相似多边形的性质逐一进行判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：由题意得，B中三角形对应角相等，对应边成比例，两三角形相似；
A，D中菱形、正方形四条边均相等，所以对应边成比例，又角也相等，所以正方形，菱形相似；
而C中矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，所以B中矩形不是相似多边形
故选C．
【点评】考查相似多边形的判定问题，其对应角相等，对应边成比例．
5．如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，则下列结论成立的是（ ）
A．△PAB∽△PCAB．△PAB∽△PDAC．△ABC∽△DBAD．△ABC∽△DCA
【考点】S8：相似三角形的判定．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐条分析判断．
【解答】解：∵∠APD=90°，
而∠PAB≠∠PCB，∠PBA≠∠PAC，
∴无法判定△PAB与△PCA相似，故A错误；
同理，无法判定△PAB与△PDA，△ABC与△DCA相似，故B、D错误；
∵∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，
∴AB=PA，AC=PA，AD=PA，BD=2PA，
∴
∴
∴△ABC∽△DBA，故C正确．
故选C．
【点评】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法．
6．△ABC的三边之比为3：4：5，与其相似的△DEF的最短边是9cm，则其最长边的长是（ ）
A．5 cmB．10 cmC．15 cmD．30 cm
【考点】S7：相似三角形的性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】由相似三角形的性质可求得△DEF的最短边和最长边的比为3：5，则可求得答案．
【解答】解：
∵△ABC和△DEF相似，
∴△DEF的三边之比为3：4：5，
∴△DEF的最短边和最长边的比为3：5，
设最长边为x，则3：5=9：x，解得x=15，
∴△DEF的最长边为15cm，
故选C．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的边对应成比例是解题的关键．
7．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．=B．=C．=D．=
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．
【解答】解：（A）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，故A错误；
（B）∵DE∥BC，
∴，故B错误；
（C）∵DE∥BC，
，故C正确；
（D））∵DE∥BC，
∴△AGE∽△AFC，
∴=，故D错误；
故选C
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质，本题属于中等题型
8．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（ ）
A．2：3B．3：2C．4：5D．4：9
【考点】SC：位似变换．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．
【解答】解：由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，
∴△A′B′C′∽△ABC．
∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9，
∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3，
∴=
故选A．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
9．如图所示，在平面直角坐标系中，有两点A（4，2），B（3，0），以原点为位似中心，A′B′与AB的相似比为，得到线段A′B′.正确的画法是（ ）
A．B．C．D．
【考点】SD：作图﹣位似变换．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据题意分两种情况画出满足题意的线段A′B′，即可做出判断．
【解答】解：画出图形，如图所示：
故选D
【点评】此题考查了作图﹣位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
10．如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为（ ）
A．3米B．4米C．4.5米D．6米
【考点】SA：相似三角形的应用．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】标注字母，判断出△ACD和△ABE相似，再利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
【解答】解：如图，由题意得，△ACD∽△ABE，
∴=，
即=，
解得BE=6，
即树的高度为6米．
故选D．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质．
11．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边BC上，BE=EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出下列结论：①△DAG≌△DFG；②BG=2AG；③△EBF∽△DEG；④S△BEF=.其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】SO：相似形综合题．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD=DF，∠A=∠GFD=90°，于是根据“HL”判定Rt△ADG≌Rt△FDG，再由GF+GB=GA+GB=12，EB=EF，△BGE为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出AG=4，BG=8，进而求出△BEF的面积，再抓住△BEF是等腰三角形，而△GED显然不是等腰三角形，判断③是错误的，问题得解．
【解答】解：如图，由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，
∴∠DFG=∠A=90°，
在Rt△ADG和Rt△FDG中，
，
∴Rt△ADG≌Rt△FDG，故①正确；
∵正方形边长是12，
∴BE=EC=EF=6，
设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12﹣x，
由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，
即：（x+6）2=62+（12﹣x）2，
解得：x=4
∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，故②正确；
BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，故③错误；
∵S△GBE=×6×8=24，S△BEF=：S△BGE=EF：EG，
∴S△BEF=×24=，
故④正确．
综上可知正确的结论的是3个．
故选C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、图形的翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．
12．将﹣张正方形纸片ABCD对折，使CD与AB重合，得到折痕MN后展开，E为CN上﹣点，将△CDE沿DE所在的直线折叠，使得点C落在折痕MN上的点F处，连接AF，BF，BD，则得下列结论：
①△ADF是等边三角形；
②tan∠EBF=2﹣；
③S△ADF=S正方形ABCD；
④BF2=DF•EF.
其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【考点】SO：相似形综合题．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】由正方形的性质得出AB=CD=AD，∠C=∠BAD=∠ADC=90°，∠ABD=∠ADB=45°，由折叠的性质得出MN垂直平分AD，FD=CD，BN=CN，∠FDE=∠CDE，∠DFE=∠C=90°，∠DEF=∠DEC，由线段垂直平分线的性质得出FD=FA，得出△ADF是等边三角形，①正确；
设AB=AD=BC=4a，则MN=4a，BN=AM=2a，由等边三角形的性质得出∠DAF=∠AFD=∠ADF=60°，FA=AD=4a，FM=AM=2a，得出FN=MN﹣FM=（4﹣2）a，由三角函数的定义即可得出②正确；
求出△ADF的面积=AD•FM=4a2，正方形ABCD的面积=16a2，得出③错误；
求出∠BFE=∠DFB，∠BEF=∠DBF，证出△BEF∽△DBF，得出对应边成比例，得出④正确；即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=AD，∠C=∠BAD=∠ADC=90°，∠ABD=∠ADB=45°，
由折叠的性质得：MN垂直平分AD，FD=CD，BN=CN，∠FDE=∠CDE，∠DFE=∠C=90°，∠DEF=∠DEC，
∴FD=FA，
∴AD=FD=FA，
即△ADF是等边三角形，①正确；
设AB=AD=BC=4a，则MN=4a，BN=AM=2a，
∵△ADF是等边三角形，
∴∠DAF=∠AFD=∠ADF=60°，FA=AD=4a，FM=AM=2a，
∴FN=MN﹣FM=（4﹣2）a，
∴tan∠EBF===2﹣，②正确；
∵△ADF的面积=AD•FM=×4a×2a=4a2，正方形ABCD的面积=（4a）2=16a2，
∴==，③错误；
∵AF=AB，∠BAF=90°﹣60°=30°，
∴∠AFB=∠ABF=75°，
∴∠DBF=75°﹣45°=30°，∠BFE=360°﹣90°﹣60°﹣75°=135°=∠DFB，
∵∠BEF=180°﹣75°﹣75°=30°=∠DBF，
∴△BEF∽△DBF，
∴，
∴BF2=DF•EF，④正确；
故选B．
【点评】本题是相似形综合题目，考查了正方形的性质、折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形是等边三角形和证明三角形相似是解决问题的关键．
13．如图，直线AlA∥BB1∥CC1，若AB=8，BC=4，A1B1=6，则线段A1C1的长是 .
【考点】S4：平行线分线段成比例．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，利用比例的基本性质即可得解．
【解答】解：∵AlA∥BB1∥CC1，
∴=，
∵AB=8，BC=4，A1B1=6，
∴B1C1=3，
∴A1C1=6+3=9．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，明确线段之间的对应关系是解决问题的关键．
14．已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF= .
【考点】S4：平行线分线段成比例．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，求出DF，结合图形计算即可．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴=，即=，
解得DF=4.5，
∴BF=BD+DF=3+4.5=7.5，
故答案为：7.5．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
15．如图，若不增加字母与辅助线，要得到△ABC∽△ADE，只需要再添加一个条件是 .
【考点】S8：相似三角形的判定．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】由图可得，两三角形已有一组角对应相等，再加一组角对应相等即可．
【解答】解：由图可得，∠BAC=∠DAE，根据三角形的判定：两角对应相等，两三角形相似．
可添加条件：DE∥BC，则∠ABC=∠ADE，
则△ADE∽△ABC，
故答案为：DE∥BC（答案不唯一）．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，此题为开放性试题，首先要找出已经满足的条件，然后再进一步分析需要添加的条件，熟记相似三角形的各种判定方法是解题关键．
16．在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的四边形，AB∥CD，CD⊥BC于C，且AB、BC、CD边长分别为2，4，3，则原直角三角形纸片的斜边长是 .
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理求出斜边上的中线，最后即可求出斜边的长．
【解答】解：①如图：因为AC==2，
点A是斜边EF的中点，
所以EF=2AC=4，
②如图：
因为BD==5，
点D是斜边EF的中点，
所以EF=2BD=10，
综上所述，原直角三角形纸片的斜边长是4或10，
故答案是：4或10．
【点评】此题考查了图形的剪拼，解题的关键是能够根据题意画出图形，在解题时要注意分两种情况画图，不要漏解．
17．如图，若将平面直角坐标系中“鱼”以原点O为位似中心，按照相似比缩小，则点A的对应点的坐标是 .
【考点】SC：位似变换；D5：坐标与图形性质．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，结合题意即可得出答案．
【解答】解：∵A（6，﹣4）以坐标原点O为位似中心，相似比为缩小，
∴对应点A′的坐标分别是：A′（3，﹣2）或（﹣3，2）．
故答案为：（3，﹣2）或（﹣3，2）．
【点评】此题主要考查了位似图形的性质，根据已知得出对应点之间的关系是解题关键．
18．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=1，E为直角边AB上任意一点，以线段CE为斜边作等腰Rt△CDE，连接AD，下列说法：①AC⊥ED；②∠BCE=∠ACD；③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四边形ABCD面积的最大值为，其中正确的是 .
【考点】SO：相似形综合题．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】由三角形ABC与三角形ECD都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到AB=AC，CD=DE，且四个锐角为45°，利用等式的性质得到∠BCE=∠ACD，故选项②正确；根据B与E重合时，A与D重合，此时DE与AC垂直；当B，E不重合时，A，D也不重合，根据∠BAC与∠EDC都为直角，判断∠AFE与∠DFC是否锐角，即可对于选项①做出判断；由两边对应成比例且夹角相等的三角形相似得到三角形BEC与三角形ADC相似，利用相似三角形对应角相等及等式的性质得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到AD与BC平行，可得出选项④正确；由④的结论判断选项③即可；根据△ABC的面积为定值，若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大；由高一定，面积最大即为AD最长，故梯形ABCD面积最大时，E、A重合，求出此时面积，即为最大面积，即可对于选项⑤做出判断．
【解答】解：∵△ABC，△ECD都为等腰直角三角形，
∴AB=AC=BC=，CD=DE=CE，∠B=∠ACB=∠DCE=∠DEC=45°，
∴∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE，即∠BCE=∠ACD，故选项②正确；
当B，E重合时，A，D重合，此时DE⊥AC；
当B，E不重合时，A，D也不重合，由∠BAC与∠EDC都为直角，得到∠AFE与∠DFC必为锐角，故①错误；
④∵==，
∴=，
由①知∠ECB=∠DCA，
∴△BEC∽△ADC；
∴∠DAC=∠B=45°；
∴∠DAC=∠BCA=45°，即AD∥BC，故④正确；
③∵由④知∠DAC=45°，
∴∠EAD=135°，∠BEC=∠EAC+∠ECA=90°+∠ECA；
∵∠ECA＜45°，
∴∠BEC＜135°，即∠BEC＜∠EAD；
∴△EAD与△BEC不相似，故③错误；
⑤∵△ABC的面积为定值，
∴若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大；
∵△ACD中，AD边上的高为定值，
∴若△ACD的面积最大，则AD的长最大；
由④的△BEC∽△ADC知：当AD最长时，BE也最长；
故梯形ABCD面积最大时，E、A重合，此时EC=AC=，AD=；
故S梯形ABCD=（1+）×=，故⑤正确．
故答案为：②④⑤．
【点评】此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行线的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
19．如图，在△ABC中，D、E分别在AB与AC上，且AD=5，DB=7，AE=6，EC=4，△ADE与△ACB相似吗？请说明理由.
【考点】S8：相似三角形的判定．
【【专题】解答题
【难度】难
分析】相似，利用计算两边的比相等，夹角是公共角，可得两三角形相似．
【解答】解：△ADE∽△ACB，理由是：
∵AD=5，DB=7，AE=6，EC=4，
∵==，==，
∴，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB．
【点评】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键，利用两边的比相等且夹角相等证明两三角形相似时，注意边的对应关系．
20．如图，△DEF是△ABC经过位似变换得到的，位似中心是点O，请确定点O的位置，如果OC=3.6cm，OF=2.4cm，求它们的相似比.
【考点】SC：位似变换．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】根据位似变换的性质、相似比的概念解答即可．
【解答】解：连接AD，CF交于点O，
则点O即为所求；
∵OC=3.6cm，OF=2.4cm，
∴OC：OF=3：2，
∴△ABC与△DEF的相似比为3：2．
【点评】本题考查的是位似变换的概念，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
21．如图，在△ABC中，DE∥BC，△ABC的高AM交DE于点N，BC=15，AM=10，DE=MN，求MN的长.
【考点】S4：平行线分线段成比例．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】设MN=x，则AN=10﹣x，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出MN的长．
【解答】解：设MN=x，则AN=10﹣x，
∵DE∥BC，
∴，
即，
即MN的长为6．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质；熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．
22．将三角形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图(1)所示的图形，变化前后的两个三角形相似吗？如果把三角形改为正方形、长方形呢？
【考点】S5：相似图形；Q2：平移的性质．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】利用相似图形的判定方法：对应角相等，对应边成比例的图形相似，进而判断即可．
【解答】解：∵三角形、矩形对应边外平移1个单位后，对应边的比值不一定相等，
∴变化前后的两个三角形、矩形都不相似，
∵正方形边长改变后对应比值仍相等，且对应角相等，
∴变化前后的两个正方形相似．
【点评】此题主要考查了相似图形的判定，正确掌握相似图形的判定方法是解题关键．
23．已知线段AB，按照如下的方法作图：以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到F，使EF=EB，以线段AF为边，作正方形AFGH，那么点H是线段AB的黄金分割点吗？请说明理由.
【考点】S3：黄金分割．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】根据黄金分割点的定义，只需证明AH2=AB•HB即可．
【解答】解：设正方形ABCD的边长为2a，
在Rt△AEB中，依题意，得AE=a，AB=2a，
由勾股定理知EB==a，
∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=（﹣1）a，
HB=AB﹣AH=（3﹣）a；
∴AH2=（6﹣2）a2，
AB•HB=2a×（3﹣）a=（6﹣2）a2，
∴AH2=AB•HB，
所以点H是线段AB的黄金分割点．
【点评】本题考查黄金分割的概念，勾股定理，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
24．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上.
(1)求证：△BDE∽△CEF；
(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KH：等腰三角形的性质．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的内角和和平角的定义得到∠BDE=∠CEF，于是得到结论；
(2)根据相似三角形的性质得到，等量代换得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：(1)∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠BDE=180°﹣∠B﹣∠DEB，
∠CEF=180°﹣∠DEF﹣∠DEB，
∵∠DEF=∠B，
∴∠BDE=∠CEF，
∴△BDE∽△CEF；
(2)∵△BDE∽△CEF，
∴，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE，
∴，
∵∠DEF=∠B=∠C，
∴△DEF∽△ECF，
∴∠DFE=∠CFE，
∴FE平分∠DFC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
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