湘教版九年级下册第2章 圆2.2 圆心角、圆周角教学设计

2.2.2  圆周角（1）

教学目标[

1.理解圆周角的概念及圆周角与它所对应的圆心角之间的关系。

2.经历探索圆周角与圆心角之间关系的过程，加深对分类讨论和由特殊到一般的转化等数学思想方法的理解。

3.会运用圆周角定理解决简单的几何问题。

教学重点、难点[来源:学。科。网]

重点：圆周角定理。

难点：圆周角定理的证明过程（分类讨论，由特殊到一般的转化）。

教学设计

一．预习导学

自主学习课本49--52页，了解下列问题：

1.                                                           叫作圆周角。

生活中哪些地方有圆周角的例子？

圆周角不像圆心角那样容易识别，教学中应强调作为圆周角的两个必须具备的条件：一是一个角的顶点在圆上；二是角的两边必须与圆相交，这里的“相交”是指角边与圆除了顶点外还有公共点。教学中还应举一些反例来说明。

2.圆周角、弧、圆心角的对应关系：

3.圆周角与圆心的位置关系的三种情形：

二．探究展示

（一） 合作探究

分别测量图中弧BC所对的圆周角∠BAC和圆心角∠BOC的度数，它们之间有什么关系？

每位同学任画一个圆，并在圆上任取一条弧，作出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量出它们的度数.你能得出同样的结论吗？由此你能发现什么规律？

通过度量，我发现圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的        。

下面我们来证明这个猜测是否为真命题

已知： 在⊙O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC。

求证： ∠BAC =∠BOC

分析：圆心O与圆周角的位置关系有三种情形：圆周角的一边通过圆心、圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部，所以要分三种情况进行讨论证明。

情形一  圆周角的一边通过圆心

如右图所示，圆O中，圆心O在∠BAC的一边AB上。

由于OA=OC，因此∠C=∠BAC，

从而∠BOC=∠C+∠BAC=2∠BAC，

即 ∠BAC= ∠BOC。

情形二  圆心在圆周角的内部

如右图，圆心O在∠BAC的内部。作直径AD，[来源:Zxxk.Com]

根据情形一的结果得∠BAD =               ，

                  ∠DAC =                。

从而∠BAC =∠BAD+∠DAC=        +          =          =  ∠BOC      

情形三  圆心在圆周角的外部

如图，圆心O在∠BAC的外部。作直径AD，

∠BAD =               ，  ∠DAC =                。

从而∠BAC =∠BAD—∠DAC=        —          [来源

          =          =  ∠BOC [来

由此得到圆周角定理：

圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。

圆周角定理的证明，分三种情况进行讨论，这对学生来说是一个难点，在教学中应加强引导和分析。在这三种情况中，第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其它两种情况都可以转化为第一种情况来解决。转化的条件是添加以角的顶点为端点的直径为辅助线。这里渗透了分类讨论和从特殊到一般的思想方法，应当让学生注意和掌握。

（二）展示提升

１．如图，∠C1，∠C2，∠C3都是弧AB所对的圆周角，　

那么∠C1 = ∠C2 =∠C3吗？

分析：∠C1、∠C2、∠C3都是圆周角，所对弧上的圆心角均为∠AOB。

由圆周角定理，可知：∠C1 = ∠AOB、∠C2 =      、∠C3=            。

因此C1 = ∠C2 =∠C3

由此得到以下结论：

在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。

２．如图所示，OA，OB，OC都是⊙O的半径， ∠AOB=50°，∠BOC=70°.求∠ACB和

∠BAC的度数。

解：∵　圆心角∠AOB与圆周角∠ACB所对的弧为弧AB，

∴　∠ACB＝　　　　　　＝　　　　　０  

同理∠BAC＝　　　　　　＝　　　　　０   

设计意图：圆周角定理的简单运用，帮助学生理解并记住圆周角定理

三．知识梳理

１．顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫作圆周角。

２．圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。

３．在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。

四．当堂检测

1.下图中各角是不是圆周角？请说明理由。

设计意图：检验学生对圆周角概念的理解和掌握情况。

2.如图，在圆O中，弦AB与CD相交于点M。若∠CAB = 25°，   ∠ABD=95°， 试求∠CDB 和∠ACD 的度数。

设计意图：这是圆周角定理的推论简单运用，帮助学生理解并记住圆周角定理的推论，并会在实际的解题过程中加以运用。

3.如图， 点A，B，C 在⊙O 上， AC∥OB。若∠OBA=25°， 求∠BOC的度数。

设计意图：这是圆周角定理的综合运用，既要用到两直线平行，内错角相等，又要用到圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。让学生在应用中加深对圆周角定理的理解。

五．教学反思

圆周角定理的证明实际上使用了完全归纳法。完全归纳法是把要研究的某类事物的所有情况，逐一加以讨论，再概括出一般结论。有时也可以把所有情况分成几类，对每类加以讨论，再概括出一般情况。

圆周角定理及它的推论都很重要，在今后的证明和计算中经常要用到，需让学生理解和掌握。