专题15 图形的初步认识（知识点串讲）-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型

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专题15 图形的基本认识
【知识要点】
知识点一 立体图形
n 立体图形概念：有些几何图形的各部分不都在同一个平面内。
常见的立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。
n 平面图形概念：有些几何图形的各部分不都在同一个平面内。
常见的平面图形：线段、角、三角形、长方形、圆等
【立体图形和平面的区别】
1、所含平面数量不同。
平面图形是存在于一个平面上的图形。立体图形是由一个或者多个平面形成的图形，各部分不在同一平面内，且不同的立体图形所含的平面数量不一定相同。
2、性质不同。
根据“点动成线，线动成面，面动成体”的原理可知，平面图形是由不同的点组成的，而立体图形是由不同的平面图形构成的。由构成原理可知平面图形是构成立体图形的基础。
3、观察角度不同。
平面图形只能从一个角度观察，而立体图形可从不同的角度观察，如左视图，正视图、俯视图等，且观察结果不同。
4、具有属性不同。
平面图形只有长宽属性，没有高度；而立体图形具有长宽高的属性。
立方体图形平面展开图

n 三视图及展开图
三视图：从正面，左面，上面观察立体图形，并画出观察界面。

考察点：
（1）会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图。
（2）能根据三视图描述基本几何体或实物原型。
展开图：正方体展开图（难点）。
正方体展开图口诀（共计11种）：
“一四一”“一三二”，“一”在同层可任意,
“三个二”成阶梯,
“二个三”“日”相连,
异层必有“日”，“凹”“田”不能有，掌握此规律，运用定自如。
n 点、线、面、体
几何图形的组成：
点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形。
线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。
面：包围着体的是面，分为平面和曲面。
体：几何体也简称体。
组成几何图形元素的关系：点动成线，线动成面，面动成体。
知识点二 直线、射线、线段
n 直线、射线、线段的区别与联系：

【射线的表示方法】表示射线时端点一定在左边，而且不能度量。
经过若干点画直线数量：
1.经过两点有一条直线，并且只有一条直线（直线公理）。
2.过三个已知点不一定能画出直线。
当三个已知点在一条直线上时，可以画出一条直线；
当三个已知点不在一条直线上时，不能画出直线。
n 比较线段长短
画线段的方法：（1）度量法；（2）用尺规作图法
线段的大小比较方法：
方法一 ：度量法
分别用刻度尺测量线段AB、线段CD的长度，再进行比较
方法二 ：叠加法
让线段某一段端点重合，比较另一边两端点的位置。
线段中点：把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段中点；
n 实际问题
依据：两点之间线段最短。
两点距离的定义：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。
注意：它是线段的长度，是数量，是非负数。
知识点三 角
角的概念：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角（静态）。
角也可以看做由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图（动态）。
角的分类：
∠β
锐角
直角
钝角
平角
周角
范围
0＜∠β＜90°
∠β=90°
90°＜∠β＜180°
∠β=180°
∠β=360°
角的表示法（四种）：
(1)角可以用三个大写字母表示,但表示顶点的字母一定要写在中间.
(2)用一个字母表示角, 必须是以这个字母为顶点的角，而且只有一个.
(3)用一个数字表示角,在靠近顶点处画上弧线,写上数字.
(4)用一个希腊字母表示,在靠近顶点处画上弧线,写上希腊字母.
角的度量：1°=60′；1′=60″；
1直角=90°；1平角=180 °；1周角=360°　
角的大小的比较：
（1）叠合法，使两个角的顶点及一边重合，另一边在重合边的同旁进行比较；
（2）度量法，分别用量角器测量两个角的大小，再进行比较。
角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。

互余与互补：
余角概念：如果两个角的和等于直角，就说这两个角互为余角，即其中一个是另一个的余角；
补角概念：如果两个角的和等于平角，就说这两个角互为补角，即其中一个是另一个的补角；
性质：等角的余角相等，等角的补角相等。
时针和分针所成的角度：钟表一周为360°，每一个大格为30°，每一个小格为6°.（每小时，时针转过30°，即一个大格，分针转过360°，即一周；每分钟，分针转过6°即一个小格）
【考查题型】

考查题型一 几何体的展开图
【解题思路】考查正方体的展开图，理解和掌握正方体的展开图的11种不同情况，是正确判断的前提．
典例1．（2020·江西中考真题）如图所示，正方体的展开图为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【提示】
根据正方体的展开图的性质判断即可；
【详解】
A中展开图正确；
B中对号面和等号面是对面，与题意不符；
C中对号的方向不正确，故不正确；
D中三个符号的方位不相符，故不正确；
故答案选A．
变式1-1．（2020·四川绵阳市·中考真题）下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【提示】
根据正方体的展开图的11种不同情况进行判断即可．
【详解】
解：正方体展开图的11种情况可分为“1﹣4﹣1型”6种，“2﹣3﹣1型”3种，“2﹣2﹣2型”1种，“3﹣3型”1种，
因此选项D符合题意，
故选：D．
变式1-2．（2020·黑龙江大庆市·中考真题）将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【提示】
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，先判断中间四个面的情况，根据这一特点可得到答案．
【详解】
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
所以：是相对面，是相对面，
所以：是相对面．
故选B．
变式1-3．（2020·甘肃天水市·中考真题）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体中，与“伏”字所在面相对面上的汉字是(　　　)

A．文 B．羲 C．弘 D．化
【答案】D
【提示】
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答即可．
【详解】
解：在原正方体中，与“扬”字所在面相对面上的汉字是“羲”，与“伏”字所在面相对面上的汉字是“化”，与“弘”字所在面相对面上的汉字是“文”．
故选：D．
考查题型二 线段的中点
【解题思路】考查线段之间的关系，解题的关键是熟知线段的和差关系．
典例2．（2020·四川凉山彝族自治州·）点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段，则线段BD的长为（ ）
A．10cm B．8cm C．8cm或10cm D．2cm或4cm
【答案】C
【提示】
根据题意作图，由线段之间的关系即可求解．
【详解】
如图，∵点C是线段AB的中点，
∴AC=BC=AB=6cm
当AD=AC=4cm时，CD=AC-AD=2cm
∴BD=BC+CD=6+2=8cm；
当AD=AC=2cm时，CD=AC-AD=4cm
∴BD=BC+CD=6+4=10cm；
故选C．

变式2-1．（2020·内蒙古赤峰市·中考真题）一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动.第一次从原点O起跳，落点为A1，点A1表示的数为1；第二次从点A1起跳，落点为OA1的中点A2；第三次从A2点起跳，落点为0A2的中点A3；如此跳跃下去……最后落点为OA2019的中点A2020.则点A2020表示的数为__________．

【答案】
【提示】
先根据数轴的定义、线段中点的定义分别求出点表示的数，再归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】
由题意得：点表示的数为
点表示的数为
点表示的数为
点表示的数为
归纳类推得：点表示的数为（n为正整数）
则点表示的数为
故答案为：．
变式2-2．（2019·山东中考真题）如图，已知AB＝8cm，BD＝3cm，C为AB的中点，则线段CD的长为_____cm．

【答案】1
【提示】
先根据中点定义求BC的长，再利用线段的差求CD的长．
【详解】
解：∵C为AB的中点，AB＝8cm，
∴BC＝AB＝×8＝4（cm），
∵BD＝3cm，
∴CD＝BC﹣BD＝4﹣3＝1（cm），
则CD的长为1cm；
故答案为：1．
考查题型三 最短距离问题
典例3．（2020·江苏南京市·中考真题）如图①，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向同侧的A、B两个城镇分别发铺设管道输送燃气，试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．

（1）如图②，作出点A关于的对称点，线与直线的交点C的位置即为所求， 即在点C处建气站， 所得路线ACB是最短的，为了让明点C的位置即为所求，不妨在直线上另外任取一点，连接，， 证明， 请完成这个证明．

（2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域请分别始出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由），
①生市保护区是正方形区城，位置如图③所示
②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．

【答案】（1）证明见解析；（2）①见解析，②见解析
【提示】
（1）连接，利用垂直平分线的性质，得到，利用三角形的三边关系，即可得到答案；
（2）由（1）可知，在点C处建燃气站，铺设管道的路线最短．分别对①、②的道路进行设计提示，即可求出最短的路线图．
【详解】

（1）证明：如图，连接

∵点A、关于l对称，点C在l上
∴，
∴，
同理，
在中，有
∴；
（2）解：①在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是AC+CD+DB（如图，其中D是正方形的顶点）．

②在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是（如图，其中CD、BE都与圆相切）．

考查题型四 钟面角
【解题思路】.了解钟面特点是关键.
典例4．（2019·广西梧州市·中考真题）如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【提示】
根据钟面分成12个大格，每格的度数为30°即可解答．
【详解】
解：∵钟面分成12个大格，每格的度数为30°，
∴钟表上10点整时，时针与分针所成的角是60°
故选B．
变式4-1．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）在3：30、6：40、9：00、12：20中，时针和分针所成的角度最大的是（ ）
A．3：30 B．6：40 C．9：00 D．12：20
【答案】D
【提示】
根据时针的旋转角减去分针的旋转角，可得答案．
【详解】
解：
A、3：30时时针与分针的夹角是，
B、6：40时时针与分针的夹角是，
C、9：00时时针与分针的夹角是90°，
D、12：20时时针与分针的夹角是，
所以时针和分针所成的角度最大的是12：20，
故选：D．
【点睛】
本题考查了钟面角，利用了时针与分针的夹角是时针的旋转角减去分针的旋转角．
变式4-2．（2018·山东德州市·中考模拟）在下列时间段内时钟的时针和分针会出现重合的是（    ）
A．5：20-5：26 B．5：26-5：27 C．5：27-5：28 D．5：28-5：29
【答案】C
【解析】
提示：解这个问题的难处在于时针转过多大的角度，这就要弄清楚时针与分针转动速度的关系．每一小时，分针转动360°，而时针转动30°，依据这一关系列出方程，可以求出．
详解：设：从5:20开始，经过x分钟，时针和分针会出现重合。
此时分针指向4，时针与分针之间的夹角是
则：6x−0.5x=40
x≈7.27，
即从5:20开始，经过大约7.27分钟，时针和分针会出现重合，在5:27−5:28时间段内重合.
故选C.
点睛：考查钟面角，钟面角里时针和分针的转动问题本质上就是行程中的追击问题，根据追击问题的解题思路解方程即可.
考查题型五 方向角的表示及计算
【解题思路】考查方位角，解题的关键是画图正确表示出方位角.
典例5．（2019·山东淄博市·中考真题）如图，小明从处沿北偏东方向行走至点处，又从点处沿东偏南方向行走至点处，则等于（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【提示】
根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解．
【详解】
如图：

∵小明从处沿北偏东方向行走至点处，又从点处沿东偏南方向行走至点处，
∴，，
∵向北方向线是平行的，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选C．
变式5-1．（2013·河北中考真题）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处， 它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到 达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的 距离为

A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里
【答案】D
【解析】
提示：依题意，知MN＝40海里/小时×2小时＝80海里，
∵根据方向角的意义和平行的性质，∠M＝70°，∠N＝40°，
∴根据三角形内角和定理得∠MPN＝70°．∴∠M＝∠MPN＝70°．
∴NP＝NM＝80海里．故选D．
变式5-2．（2018·河北中考真题）如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（　　）

A．北偏东30° B．北偏东80° C．北偏西30° D．北偏西50°
【答案】A
【提示】根据平行线的性质，可得∠2，根据角的和差，可得答案．
【详解】如图，AP∥BC，
∴∠2=∠1=50°，
∵∠EBF=80°=∠2+∠3，
∴∠3=∠EBF﹣∠2=80°﹣50°=30°，
∴此时的航行方向为北偏东30°，
故选A．

变式5-3．（2011·山东济宁市·中考真题）在一次夏令营活动中，小霞同学从营地点出发，要到距离点的地去，先沿北偏东方向到达地，然后再沿北偏西方向走了到达目的地,此时小霞在营地的（ ）

A．北偏东方向上 B．北偏东方向上
C．北偏东方向上 D．北偏西方向上
【答案】C
【详解】
根据方位角的概念及已知转向的角度结合三角函数的知识求解．
解：A点沿北偏东70°的方向走到B，则∠BAD=70°，

B点沿北偏西20°的方向走到C，则∠EBC=20°，
又∵∠BAF=90°-∠DAB=90°-70°=20°，
∴∠1=90°-20°=70°，
∴∠ABC=180°-∠1-∠CBE=180°-70°-20°=90°．
∵AC=1000m，BC=500m，
∴sin∠CAB=500÷1000=1/2，
∴∠CAB=30°，
∴∠DAC=∠BAD-∠CAB=40°．
故小霞在营地A的北偏东40°方向上．
故选C．
考查题型六 角的比较大小
典例6．（2018·北京平谷区·中考模拟）下面四幅图中，用量角器测得∠AOB度数是40°的图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【提示】
根据量角器量角的使用方法：把量角器放在角的上面,使量角器的中心与角的顶点重合,0刻度线与角的一条边重合,角的另一条边所指的量角器上的刻度就是这个角的度数.即：中心对顶点，零线对一边，它边数度数，内外要分清.
【详解】
解：A.量角器所量角的度数是40°，故本选项正确；
B.量角器使用方法错误，故本选项错误；
C.量角器所量角的度数是140°，故本选项错误；
D. 量角器使用方法错误，故本选项错误.
故选A.
变式6-1．（2019·浙江金华市·中考真题）足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB的张角大小时，张角越大，射门越好．如图的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，球员带球沿CD方向进攻，最好的射点在（ ）

A．点C B．点D或点E
C．线段DE(异于端点) 上一点 D．线段CD(异于端点) 上一点
【答案】C
【详解】
解：如图，记过测量可以发现当设点在DE上时，张角最大．
故选C．

变式6-2．（2018·河北唐山市·中考模拟）如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为（　　）

A．45° B．55° C．135° D．145°
【答案】C
【详解】
解：由生活知识可知这个角大于90度，排除A、B，又OB边在130与140之间，
所以度数应为135°．
故选C．
变式6-3．（2019·北京市模拟）如图，在的方格纸上，记，，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【提示】
根据题意作GM∥EF,BN∥GH,根据平行线的性质即可作出判断这三个角的大上关系.
【详解】
解：如图所示，过点G，B分别作GM∥EF,BN∥GH,设EF与GH相交 于点P，BN与DG相交于点Q.
∵GH∥CE，
∴∠GPF=∠,
∵GM∥EF,
∴∠MGP=∠GPF=,
∵∠DGP>∠MGP,
∴.
同理可证得：>
∴.
故选C.

考查题型七 角的相关运算
典例7．（2020·四川眉山市·中考真题）一副三角板如图所示摆放，则与的数量关系为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【提示】
先根据对顶角相等得出，，再根据四边形的内角和即可得出结论
【详解】
解： ∵；
∴；
∵，；
∴
故选：B

变式7-1．（2020·吉林中考真题）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【提示】
先根据直角三角板的性质得出∠ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】
解：如图所示，

由一副三角板的性质可知：∠ECD=60°，∠BCA=45°，∠D=90°，
∴∠ACD=∠ECD－∠BCA=60°－45°=15°，
∴∠α=180°－∠D－∠ACD=180°－90°－15°=75°，
故选：B．
变式7-2．（2020·内蒙古通辽市·中考真题）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使和互余的摆放方式是(　　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【提示】
根据图形，结合互余的定义判断即可．
【详解】
解：A、∠α与∠β互余，故本选项正确；
B、∠α+∠β＞90°，即不互余，故本选项错误；
C、∠α+∠β=270°，即不互余，故本选项错误；
D、∠α+∠β=180°，即互补，故本选项错误；
故选A.
变式7-3．（2020·山东东营市·中考真题）如图，直线相交于点射线平分若，则等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【提示】
先求出∠AOD=180°-∠AOC，再求出∠BOD=180°-∠AOD，最后根据角平分线平分角即可求解．
【详解】
解：由题意可知：∠AOD=180°-∠AOC=180°-42°=138°，
∴∠BOD=180°-∠AOD=42°，
又OM是∠BOD的角平分线，
∴∠DOM=∠BOD=21°，
∴∠AOM=∠DOM+∠AOD=21°+138°=159°．
故选：A．
考查题型八 与角平分线有关的相关计算
典例8．（2020·山东滨州市·中考真题）如图，AB//CD，点P为CD上一点，PF是∠EPC的平分线，若∠1＝55°，则∠EPD的大小为（ ）

A．60° B．70° C．80° D．100°
【答案】B
【提示】
根据平行线和角平分线的定义即可得到结论．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠1=∠CPF=55°，
∵PF是∠EPC的平分线，
∴∠CPE=2∠CPF=110°，
∴∠EPD=180°-110°=70°，
故选：B．
变式8-1．（2020·辽宁锦州市·中考真题）如图，在中，，，平分，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【提示】
在中，利用三角形内角和为求，再利用平分，求出的度数，再在利用三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】
∵在中，，．
∴．　
∵平分．　
∴．　
∴．　
故选C．
变式8-2．（2020·辽宁营口市·中考真题）如图，AB∥CD，∠EFD＝64°，∠FEB的角平分线EG交CD于点G，则∠GEB的度数为（　　）

A．66° B．56° C．68° D．58°
【答案】D
【提示】
根据平行线的性质求得∠BEF，再根据角平分线的定义求得∠GEB．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∴∠BEF＝180°﹣64°＝116°；
∵EG平分∠BEF，
∴∠GEB＝58°．
故选：D．
变式8-3．（2020·广西中考真题）如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【提示】
先由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠BCA，进而求得∠ACD，由作图痕迹可知CE为∠ACD的平分线，利用角平分线定义求解即可．
【详解】
∵在中，，
∴，
∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-50°=130°，
由作图痕迹可知CE为∠ACD的平分线，
∴，
故选：B．
考查题型九 余角与补角的相关计算
典例9 （2020·陕西中考真题）若∠A＝23°，则∠A余角的大小是（　　）
A．57° B．67° C．77° D．157°
【答案】B
【提示】
根据∠A的余角是90°﹣∠A，代入求出即可．
【详解】
解：∵∠A＝23°，
∴∠A的余角是90°﹣23°＝67°．
故选：B．
变式9-1．（2020·甘肃金昌市·中考真题）若，则的补角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】
直接根据补角的定义即可得．
【详解】

的补角的度数是
故选：B．
变式9-2（2020·四川乐山市·中考真题）如图，是直线上一点，，射线平分，．则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【提示】
先根据射线平分，得出∠CEB=∠BEF=70°，再根据，可得∠GEB=∠GEF-∠BEF即可得出答案．
【详解】
∵，
∴∠CEF=140°，
∵射线平分，
∴∠CEB=∠BEF=70°，
∵，
∴∠GEB=∠GEF-∠BEF=90°-70°=20°，
故选：B．
变式9-3．（2020·四川自贡市·中考真题）如果一个角的度数比它的补角的度数2倍多30°，那么这个角的度数是（ ）
A．50° B．70° C．130° D．160°
【答案】C
【提示】
根据互为补角的定义结合已知条件列方程求解即可．
【详解】
解：设这个角是，则它的补角是：，
根据题意，得：
，
解得：，
即这个角的度数为．
故选：C．