专题31 点、直线、圆的位置关系（知识点串讲）-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型

这是一份专题31 点、直线、圆的位置关系（知识点串讲）-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型，文件包含专题31点直线圆的位置关系-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型原卷版docx、专题31点直线圆的位置关系-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共58页， 欢迎下载使用。
专题31 点、直线、圆的位置关系【知识要点】知识点一 点和圆的位置关系位置关系图形定义性质及判定点在圆外 点在圆的外部点在的外部.点在圆上点在圆周上点在的圆周上.点在圆内 点在圆的内部点在的内部.知识点二 三点定圆的方法1）  经过点的圆：以点以外的任意一点为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆有无数个．2）  经过两点的圆：以线段中垂线上任意一点作为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆也有无数个．3）经过三点时：情况一：过三点的圆：若这三点共线时，过三点的圆不存在；情况二：若三点不共线时，圆心是线段与的中垂线的交点，而这个交点是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．三点定圆的画法： 1）连接线段AB,BC。2）分别作线段AB,BC的垂直平分线。两条垂直平分线交点为O，此时OA=OB=OC,于是点O为圆心，以OA为半径，便可作出经过A、B、C的圆，这样的圆只能是一个。定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．知识点三 三角形的外接圆1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．2）三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.3）外接圆圆心和三角形位置关系：1.锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；2.直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；3.钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.知识点四 直线与圆的位置关系设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定相离直线与圆没有公共点直线与相离相切直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点直线与相切相交直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线直线与相交知识点五 切线的性质及判定性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．知识点六 三角形内切圆概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心和外心的区别：外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。作法：做三角形三边垂直平分线，取交点即为外接圆圆心。性质：外接圆圆心到三角形三个顶点距离相等。内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。作法：做三角形三角的角平分线，取交点即为内接圆圆心。性质：内接圆圆心到三角形三边距离相离。直角三角形三边和内切圆半径之间的关系： 知识点七 圆内接四边形圆内接四边形概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆叫做这个多边形的外接圆。性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角．知识点八 圆和圆的位置关系（基础）设的半径分别为（其中），两圆圆心距为，则两圆位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定外离两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部．两圆外离外切两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部．两圆外切相交两个圆有两个公共点．两圆相交内切两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部．两圆内切内含两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例．两圆内含【说明】圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．【圆和圆的位置关系小结】【考查题型】考查题型一 判断点与圆的位置关系思路：考查了点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．典例1 若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），那么点P的位置为（　　）A．在⊙A内 B．在⊙A上 C．在⊙A外 D．不能确定变式1-1．（2020·广州市模拟）已知⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（　　）A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断变式1-2．（2020·安徽阜阳市·九年级二模）在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4）．如果以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，那么r的值可以取（　　）A．5 B．4 C．3 D．2变式1-3．（2020·浙江温州市模拟）已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系为 （    ）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定考查题型二 三角形外接圆的相关计算典例2．（2020·河北中考真题）有一题目：“已知；点为的外心，，求．”嘉嘉的解答为：画以及它的外接圆，连接，，如图．由，得．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是（    ）A．淇淇说的对，且的另一个值是115°B．淇淇说的不对，就得65°C．嘉嘉求的结果不对，应得50°D．两人都不对，应有3个不同值变式2-1．（2020·江苏连云港市·中考真题）10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，、、、、、均是正六边形的顶点．则点是下列哪个三角形的外心（    ）．A． B． C． D．变式2-2．（2019·宁县宁模拟）过三点（2，2），（6，2），（4，5）的圆的圆心坐标为（ ）A．（4，） B．（4，3） C．（5，） D．（5，3）变式2-3．（2019·江西宜春市模拟）已知正三角形外接圆半径为2，这个正三角形的边长是（     ）A． B． C．3 D．2变式2-4．若正方形的边长为a，其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r∶R∶a＝…（     ）A． B． C． D．考查题型三 确定圆的条件典例3．（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（    ）A．为等腰三角形 B．与相互垂直平分C．点A、B都在以为直径的圆上 D．为的边上的中线变式3-1．（2020·湖南永州市·中考真题）如图，已知是的两条切线，A，B为切点，线段交于点M．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④M是外接圆的圆心，其中正确说法的个数是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4考查题型四 判断直线与圆的位置关系典例4．（2020·广东广州市·中考真题）如图，中，，，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是（  ）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定变式4-1．（2020·四川乐山市·九年级二模）如图，已知⊙是以数轴原点为圆心，半径为1的圆，，点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与⊙有公共点，设，则的取值范围是（  ）A．≤≤ B．≤≤C．≤≤ D．＞变式4-2．（2020·河北唐山市·九年级二模）已知的半径为5，直线与有公共点，则圆心到直线的距离不可能为（    ）A．5 B．5.5 C．4.5 D．1变式4-3．（2020·河北九年级零模）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为2cm的P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm，如果P以1cm/s的速度沿直线AB由A向B的方向移动，那么P与直线CD相切时☉P运动的时间是（    ）A．3秒或10秒 B．3秒或8秒 C．2秒或8秒 D．2秒或10秒变式4-4．（2020·四川凉山彝族自治州·九年级零模）如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移(　　)A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm考查题型五 利用切线的性质定理进行计算典例5．（2020·广西中考真题）如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（　　）A．60° B．65° C．70° D．75°变式5-1．（2020·重庆中考真题）如图，AB是的切线，A切点，连接OA，OB，若，则的度数为（    ）A．40° B．50° C．60° D．70°变式5-2．（2020·浙江金华市·中考真题）如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（  ）A．65° B．60° C．58° D．50°变式5-3．（2020·四川雅安市·中考真题）如图，内接于圆，，过点的切线交的延长线于点．则（    ）A． B． C． D．变式5-4．（2020·内蒙古通辽市·中考真题）如图，分别与相切于两点，，则(　　　)A． B． C． D．考查题型六 切线性质与判定的综合典例6．（2020·山东济南市·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．变式6-1．（2020·山东菏泽市·中考真题）如图，在中，，以为直径的⊙O与相交于点，过点作⊙O的切线交于点．（1）求证：；（2）若⊙O的半径为，，求的长．变式6-2．（2020·甘肃天水市·中考真题）如图，在中，，平分交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，分别交、于点、．（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；（2）若，，求阴影部分的面积(结果保留)．考查题型七 利用切线长定理进行计算典例7．（2019·浙江杭州市·中考真题）如图，P为⊙外一点，PA、PB分别切⊙于A、B两点，若，则（    ）A．2 B．3 C．4 D．5变式7-1．（2019·湖南益阳市·中考真题）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是(     )A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD变式7-2．（2019·台湾中考真题）如图，直角三角形的内切圆分别与、相切于点、点，根据图中标示的长度与角度，求的长度为何？（　　）A． B． C． D．考查题型八 三角形内切圆的相关计算典例8．（2019·云南中考真题）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是(    )A．4 B．6.25 C．7.5 D．9变式8-1．（2019·湖北荆门市·中考真题）如图，内心为，连接并延长交的外接圆于，则线段与的关系是（    ）A． B． C． D．不确定变式8-2．（2020·山东德州市·九年级二模）如图，是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃.已知，，，阴影部分是的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（    ）.A． B．C． D．变式8-3．（2020·乌兰浩特市二模）已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为（　　）A． B． C． D．变式8-4．（2020·遵义市模拟）如图，△ABC中，AB＝7cm，AC＝8cm，BC＝6cm，点O是△ABC的内心，过点O作EF//AB，与AC、BC分别交于点E、F，则△CEF的周长为（　　）A．14cm B．15cm C．13cm D．10.5cm考查题型九 圆内接四边形的相关计算典例9．（2020·福建中考真题）如图，四边形内接于，，为中点，，则等于（  ）A． B． C． D．变式9-1．（2020·辽宁营口市·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（　　）A．110° B．130° C．140° D．160°变式9-2．（2020·浙江中考真题）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是（　　）A．70° B．110° C．130° D．140°变式9-3．（2020·四川广安市·中考真题）如图，点A，B，C，D四点均在圆O上，∠AOD=68°，AO//DC，则∠B的度数为（　　　）A．40° B．60° C．56° D．68°考查题型十 判断圆与圆的位置关系典例10．（2019·上海中考真题）已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长是（      ）A．11 B．10 C．9 D．8变式10-1．（2020·上海闵行区·九年级一模）如果两个圆的圆心距为3，其中一个圆的半径长为4，另一个圆的半径长大于1，那么这两个圆的位置关系不可能是（　　）A．内含 B．内切 C．外切 D．相交变式10-2．（2020·黄石市一模）两圆的圆心坐标分别为（3，0）、（0，4），直径分别为4和6，则这两圆的位置关系是（ ）A．外离 B．相交 C．外切 D．内切变式10-3．（2020·广西九年级其他模拟）在一个V字形支架上摆放了两种口径不同的试管，如图，是它的轴截面，已知的半径是1，的半径是3，则图中阴影部分的面积是（ ）A． B． C． D．考查题型十一 圆的综合典例11．（2020·新疆中考真题）如图，在⨀中，AB为⨀的直径，C为⨀上一点，P是的中点，过点P作AC的垂线，交AC的延长线于点D．（1）求证：DP是⨀的切线；（2）若AC=5，,求AP的长．变式11-1．（2020·湖南长沙市·中考真题）如图，半径为4的中，弦AB的长度为，点C是劣弧上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE，OD，OE．（1）求的度数；（2）当点C沿着劣弧从点A开始，逆时针运动到点B时，求的外心P所经过的路径的长度；（3）分别记的面积为，当时，求弦AC的长度．变式11-2．（2020·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）如图，已知是⊙O的直径，⊙O经过的直角边上的点，交边于点，点是弧的中点，，连接．（1）求证：直线是⊙O切线．（2）若，，求的值．