专题26 矩形与正方形（知识点串讲）-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型

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专题26 矩形与正方形【知识要点】知识点一 矩形矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。矩形的性质：1）矩形具有平行四边形的所有性质；2）矩形的四个角都是直角；
几何描述：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠ADC=∠BCD=∠ABC=90°3）对角线相等；几何描述：∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD推论：1、在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半。2、直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半。4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心。 矩形的判定：1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形；
2）对角线相等的平行四边形是矩形；3）有三个角是直角的四边形是矩形。矩形的面积公式：  面积=长×宽知识点二 正方形正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
正方形的性质：1、正方形具有平行四边形和菱形的所有性质。2、正方形的四个角都是直角，四条边都相等。3、正方形对边平行且相等。4、正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；
5、正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
6、正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形.正方形的判定：1）有一个角是直角的菱形是正方形；2）对角线相等的菱形是正方形；3）一组邻边相等的矩形是正方形；4）对角线互相垂直的矩形是正方形；5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.正方形的面积公式：面积=边长×边长=对角线×对角线【考查题型】考查题型一 探索矩形的性质典例1．（2020·甘肃兰州市·中考真题）如图，矩形ABCD中，，，且BE与DF之间的距离为3，则AE的长是　　A． B． C． D．变式1-1．（2020·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）如图，将矩形纸条折叠，折痕为，折叠后点C，D分别落在点，处，与交于点G．已知，则的度数是（    ）A．30° B．45° C．74° D．75°变式1-2．（2020·贵州毕节市·中考真题）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，若，，则的长是（    ）A． B． C． D．变式1-3．（2020·海南中考真题）如图，在矩形中，点在边上，和交于点若，则图中阴影部分的面积为（  ）A． B． C． D．考查题型二  考查直角三角形斜边中线计算问题典例2．（2020·江苏盐城市·中考真题）如图，在菱形中，对角线相交于点为中点，．则线段的长为：（  ）A． B． C． D．变式2-1．（2020·浙江宁波市·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（　　）A．2 B．2.5 C．3 D．4变式2-2（2020·四川阿坝藏族羌族自治州·中考真题）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点．若菱形ABCD的周长为32，则OE的长为（    ）A．3 B．4 C．5 D．6变式2-3．（2020·黑龙江鹤岗市·中考真题）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（    ）A． B． C． D．考查题型三 证明四边形是矩形典例3．（2020·四川遂宁市·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：△BDE≌△FAE；（2）求证：四边形ADCF为矩形．变式3-1．（2020·北京中考真题）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．变式3-2．（2020·山东聊城市·中考真题）如图，已知平行四边形ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F，且AF＝AD，连接BF，求证：四边形ABFC是矩形．考查题型四 矩形性质与判定的综合典例4．（2020·河北承德市·九年级二模）如图，在中，对角线、相交于点，且，，则的度数为（    ）A．35° B．40° C．45° D．55°变式4-1（2020·北京模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3．若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（　　）A． B． C． D．变式4-2．如图，在矩形中，，，过对角线交点作交于点，交于点，则的长是(   )A．1 B． C．2 D．变式4-3．（2020·安徽芜湖市模拟）矩形ABCD的边BC上有一动点E，连接AE、DE，以AE、DE为边作▱AEDF．在点E从点B移动到点C的过程中，▱AEDF的面积（     ）A．先变大后变小 B．先变小后变大 C．一直变大 D．保持不变变式4-4．（2020·石家庄市模拟）如图所示，AB⊥AD于点A，CD⊥AD于点D，∠C＝120°．若线段BC与CD的和为12，则四边形ABCD的面积可能是（　　）A．24 B．30 C．45 D．考查题型五 探索正方形的性质典例5．（2020·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，正方形的边长为4，点在上且，为对角线上一动点，则周长的最小值为（    ）．A．5 B．6 C．7 D．8变式5-1．（2020·天津中考真题）如图，四边形是正方形，O，D两点的坐标分别是，，点C在第一象限，则点C的坐标是（    ）A． B． C． D．变式5-2．（2020·山东烟台市·中考真题）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”．在一次数学活动课上，小明用边长为4cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品—“奔跑者”，其中阴影部分的面积为5cm2的是（    ）A．B．C．D．变式5-3．（2020·广东中考真题）如图，在正方形中，，点，分别在边，上，．若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（    ）A．1 B． C． D．2考查题型六 证明四边形是正方形典例6．（2017·上海中考真题）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．变式6-1．（2020·太仓市模拟）如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F，连接BF．(1) 求证：CF＝AD；(2) 若CA＝CB，∠ACB＝90°，试判断四边形CDBF的形状，并说明理由．变式6-2．（2020·山东省青岛模拟）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E是AD上一点，过点B作BF∥EC，交AD的延长线于点F，连接BE，CF．（1）求证：△BDF≌△CDE；（2）当ED与BC满足什么数量关系时，四边形BECF是正方形？请说明理由．考查题型七 正方形性质与判定的综合典例7．（2019·内蒙古九年级一模）如图，在正方形ABCD中，AD＝4，E，F分别是CD，BC上的一点，且∠EAF＝45°，EC＝1，将△ADE绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△ABG重合，连接EF，过点B作BM∥AG，交AF于点M，则以下结论：①DE+BF＝EF②BF＝； ③AF＝；④中正确的是（　　）A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④变式7-1．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为A．1 B． C． D．变式7-2．（2019·广东深圳市·中考模拟）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4等于（　　）A．4 B．5 C．6 D．14