中考数学专题复习 第十讲 二次函数的实际应用及综合题测试题(含解析)

这是一份中考数学专题复习 第十讲 二次函数的实际应用及综合题测试题(含解析)，共24页。
命题点1 二次函数的实际应用
类型一 抛物线型
1．(2019广安)在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系为y＝－eq \f(1,12)x2＋eq \f(2,3)x＋eq \f(5,3)，由此可知该生此次实心球训练的成绩为________米．
2．(2018衢州 10分)某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
第2题图
(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式；
(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进，在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
类型二 几何图形(面积)型
3．(2019连云港)如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°.若新建墙BC与CD总长为12 m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是( )
A. 18 m2 B. 18eq \r(3) m2 C. 24eq \r(3) m2 D. eq \f(45\r(3),2) m2
第3题图
4．(2019徐州8分)如图，有一块矩形硬纸板，长30 cm，宽20 cm，在其四角各剪去一个同样的正方形，然后在四周用余下材料，可做成一个无盖长方体盒子，当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200 cm2?
第4题图
类型三 最值型
5．(2019武汉10分)某商店销售一种商品，经市场调查发现，该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数，其售价，周销售量，周销售利润w(元)的三组对应值如下表：
注：周销售利润＝周销售量×(售价－进价)
(1)①求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；
②该商品进价是________元/件；当售价是________元/件时，周销售利润最大，最大利润是________元．
(2)由于某种原因，该商品进价提高了m元/件(m>0)，物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值
6．(2019成都8分)随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待．某公司计划在某地区销售一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化，设该产品在第x(x为正整数)个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)求y与x之间的关系式；
(2)设该产品在第x个销售周期的销售数量为p(万台)，p与x的关系可以用p＝eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？
第6题图
7．(2019潍坊10分)扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%.
(1)已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？
(2)某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？(利润计算时，其它费用忽略不计．)
命题点2 二次函数综合题
8．(线段问题)(2019贺州12分)如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为(－1，0)，且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象经过A，B，C三点．
(1)求A，C两点的坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．
第8题图
9．(面积问题)(2019凉山州12分)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象过点A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；
(3)在(2)的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M(不与C点重合)，使得S△PAM＝S△PAC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
第9题图
10．(角度问题)(2019海南15分)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋5经过A(－5，0)、B(－4，－3)两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD.
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点P为该抛物线上一动点(与点B、C不重合)，设点P的横坐标为t.
①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；
②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第10题图
11．(特殊三角形问题)(2019菏泽10分)如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，－2)，点A的坐标是(2，0)，P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝－1.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点P在第二象限内，且PE＝eq \f(1,4)OD，求△PBE的面积；
(3)在(2)的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
第11题图
12．(特殊四边形问题)(2019广安10分)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx＋n与y轴交于点C，与抛物线y＝－x2＋bx＋c的另一个交点为D，已知A(－1，0)，D(5，－6)．P点为抛物线y＝－x2＋bx＋c上一动点(不与A、D重合)．
(1)求抛物线和直线l的解析式；
(2)当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE＋PF的最大值；
(3)设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C、M、P为顶点的四边形为平行四边形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
第12题图
13．(相似三角形问题)(2019娄底10分)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，点B(3，0)，与y轴交于点C，且过点D(2，－3)．点P、Q是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值；
(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．
第13题图
第十讲 二次函数的实际应用及综合题
命题点分类集训
1．10
2．解：(1)由题意可知抛物线顶点为(3，5)，
则设抛物线解析式为y＝a(x－3)2＋5(a≠0)，
将(8，0)代入得a(8－3)2＋5＝0，解得a＝－eq \f(1,5)，
则水柱所在抛物线的函数表达式为y＝－eq \f(1,5)(x－3)2＋5，
即y＝－eq \f(1,5)x2＋eq \f(6,5)x＋eq \f(16,5)(070.
∵抛物线开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，
∴当x＝65时，ymax＝1400，代入解析式解得m＝5.
6．解：(1)设y关于x的函数关系式为y＝kx＋b，
将点(1，7000)，(5，5000)代入得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＋b＝7000，,5k＋b＝5000，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－500，,b＝7500，))
∴y关于x的函数关系式为y＝－500x＋7500；···········(4分)
(2)设销售收入为w，根据题意得
w＝10000yp＝10000(－500x＋7500)·(eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2))，
整理得w＝－2500000(x－7)2＋160000000，
∵－2500000＜0，
∴w在x＝7时取得最大值，最大值为160000000元，
此时该产品每台的销售价格为－500×7＋7500＝4000元．
∴第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格为4000元．(8分)
7．解：(1)设这种水果今年每千克的平均批发价为a元，则去年的平均批发价为(a＋1)元/千克，去年的产量为eq \f(100000,a＋1)千克，今年的产量为(eq \f(100000,a＋1)＋1000)千克，由题意得
(eq \f(100000,a＋1)＋1000)a＝100000×(1＋20%)，
即a2－19a－120＝0，
解得a＝24或a＝－5(舍去)．
答：这种水果今年每千克的平均批发价为24元；···········(5分)
(2)设每千克的平均售价为x元，由题意得
w＝(300＋eq \f(41－x,3)×180)(x－24)＝－60x2＋4200x－66240(24≤x≤41)
∴当x＝－eq \f(4200,2×（－60）)＝35时，w最大＝－60×352＋4200×35－66240＝7260.
答：当每千克的平均售价为35元时，该水果店一天的利润最大，最大利润为7260元．(10分)
8．解：(1)∵B(－1，0)，
∴OB＝1.
又∵OA＝OC＝4OB，
∴OA＝OC＝4，
∴A(4，0)，C(0，－4)；(2分)
(2)将A、B、C三点坐标代入y＝ax2＋bx＋c得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(16a＋4b＋c＝0，,a－b＋c＝0，,c＝－4.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－3，,c＝－4.))
∴抛物线的解析式为y＝x2－3x－4；···········(5分)
(3)如解图，过点P作PE⊥x轴交AC于点E，
第8题解图
∴PE∥y轴．
∵OA＝OC，
∴∠PED＝∠OCA＝45°，
∴△DEP为等腰直角三角形，
∴PD＝eq \f(\r(2),2)PE，
∴当PE取得最大值时，PD取得最大值，
易得直线AC的解析式为y＝x－4，
设P(x，x2－3x－4)，则E(x，x－4)，
则PE＝(x－4)－(x2－3x－4)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，
∵0＜x＜4，
∴当x＝2时，PE取得最大值，最大值为4，
此时PD取得最大值，最大值为4×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(2)，
∴点P坐标为(2，－6)．···········(12分)
9．解：(1)将A、B、C坐标代入抛物线得，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－b＋c＝0，,9a＋3b＋c＝0，,c＝3，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝2，,c＝3，))
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；···········(3分)
(2)存在. 如解图①，连接BC交抛物线对称轴于点P，此时△PAC的周长最小．
设BC的解析式为y＝kx＋3，则3k＋3＝0，解得k＝－1，
∴BC的解析式为y＝－x＋3.
由抛物线的轴对称性可得其对称轴为直线x＝1，
当x＝1时，y＝－x＋3＝2，
∴P(1，2)．
在Rt△OAC中，AC＝eq \r(12＋32)＝eq \r(10)；
在Rt△OBC中，BC＝eq \r(32＋32)＝3eq \r(2).
∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA＝PB，
∴△PAC的周长＝AC＋PC＋PA＝ AC＋PC＋PB＝AC＋BC＝eq \r(10)＋3eq \r(2).
综上所述，存在符合条件的点P，其坐标为(1，2)，此时△PAC的周长为eq \r(10)＋3eq \r(2)；(5分)
图① 图②
第9题解图
(3)存在．由题知AB＝4，
∴S△PAC＝ S△ABC－ S△PAB＝eq \f(1,2)×4×3－eq \f(1,2)×4×2＝2.
设AP的解析式为y＝mx＋n，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－m＋n＝0，,m＋n＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝1，,n＝1.))
∴AP的解析式为y＝x＋1.
①如解图②，过点C作AP的平行线交x轴上方的抛物线于点M，易得CM：y＝x＋3，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x＋3，,y＝－x2＋2x＋3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝0，,y1＝3，))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝1，,y2＝4，))
∴M(1，4)；
第9题解图③
②设抛物线对称轴交x轴于点E(1，0)，如解图③，过点E作AP的平行线交x轴上方的抛物线于点M，
设EM：y＝x＋t，则1＋t＝0，
∴t＝－1，
∴EM：y＝x－1.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x－1，,y＝－x2＋2x＋3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝\f(1－\r(17),2)，,y1＝\f(－1－\r(17),2)，))(舍)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝\f(1＋\r(17),2)，,y2＝\f(－1＋\r(17),2)，))
∴M(eq \f(1＋\r(17),2)，eq \f(－1＋\r(17),2))．
综上所述，存在符合条件的点M，其坐标为(1，4)或(eq \f(1＋\r(17),2)，eq \f(－1＋\r(17),2))．(12分)
10．解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋5经过点A(－5，0)，
B(－4，－3)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(25a－5b＋5＝0，,16a－4b＋5＝－3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝6.))
∴该抛物线的表达式为y＝x2＋6x＋5；···········(4分)
(2)①如解图①，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F.
在抛物线y＝x2＋6x＋5中，
令y＝0，则x2＋6x＋5＝0，
解得x1＝－5，x2＝－1.
∴点C的坐标为(－1，0)．
由点B(－4，－3)和C(－1，0)，可得直线BC的表达式为y＝x＋1.
设点P的坐标为(t，t2＋6t＋5)，由题意知－4＜t＜－1，
则点F(t，t＋1)．
∴FP＝(t＋1)－(t2＋6t＋5)＝－t2－5t－4.
∴S△PBC＝S△FPB＋S△FPC
＝eq \f(1,2)FP·BP＋eq \f(1,2)FP·CE＝eq \f(1,2)·FP·3
＝eq \f(3,2)(－t2－5t－4)＝－eq \f(3,2)t2－eq \f(15,2)t－6
＝－eq \f(3,2)(t＋eq \f(5,2))2＋eq \f(27,8).
∵－4＜－eq \f(5,2)＜－1，
∴当t＝－eq \f(5,2)时，△PBC的面积的最大值为eq \f(27,8).··········(10分)

图① 图②
第10题解图
②存在．
∵y＝x2＋6x＋5＝(x＋3)2－4，
∴抛物线的顶点D的坐标为(－3，－4)．
由点C(－1，0)和D(－3，－4)，可得直线CD的表达式为y＝2x＋2.
分两种情况讨论：
Ⅰ. 当点P在直线BC上方时，有∠PBC＝∠BCD，如解图②.
若∠PBC＝∠BCD，
则PB∥CD.
∴设直线PB的表达式为y＝2x＋b.
把B(－4，－3)代入y＝2x＋b，
得b＝5，
∴直线PB的表达式为y＝2x＋5.
由x2＋6x＋5＝2x＋5，
解得x1＝0，x2＝－4(舍去)．
∴点P的坐标为(0，5)；
Ⅱ. 当点P在直线BC下方时，有∠PBC＝∠BCD，如解图③.
设直线BP与CD交于点M，则MB＝MC.
第10题解图③
过点B作BN⊥x轴交于点N，则点N(－4，0)，
∴NB＝NC＝3.
∴MN垂直平分线段BC.
设直线MN与BC交于点G，
则线段BC的中点G的坐标为
(－eq \f(5,2)，－eq \f(3,2))．
由点N(－4，0)和G(－eq \f(5,2)，－eq \f(3,2))，
得直线NG的表达式为y＝－x－4.
∵直线CD：y＝2x＋2与直线NG：y＝－x－4交于点M，
∴2x＋2＝－x－4，
解得x＝－2.
∴点M的坐标为(－2，－2)，
由B(－4，－3)和M(－2，－2)，
得直线BM的表达式为y＝eq \f(1,2)x－1，
由x2＋6x＋5＝eq \f(1,2)x－1，
解得x1＝－eq \f(3,2)，x2＝－4(舍去)，
∴点P的坐标为(－eq \f(3,2)，－eq \f(7,4))．
综上所述，存在满足条件的点P的坐标为(0，5)和(－eq \f(3,2)，－eq \f(7,4))．(15分)
11．解：(1)∵抛物线与x轴交于A，B两点，
点A的坐标为(2，0)，抛物线的对称轴为直线x＝－1，
∴点B的坐标为(－4，0)．
∴设抛物线的表达式为y＝a(x＋4)(x－2)，将点C(0，－2)代入得－8a＝－2，解得a＝eq \f(1,4).
∴抛物线的表达式为y＝eq \f(1,4)(x＋4)(x－2)＝eq \f(1,4)x2＋eq \f(1,2)x－2；(3分)
(2)设点P的坐标为(x，eq \f(1,4)x2＋eq \f(1,2)x－2)，则点D的坐标为(x，0)．
第11题解图①
设BC所在直线解析为y＝kx＋b，
将B(－4，0)，C(0，－2)代入得，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－4k＋b＝0，,b＝－2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－\f(1,2)，,b＝－2.))
∴BC所在直线解析式为y＝－eq \f(1,2)x－2.
∴点E坐标为(x，－eq \f(1,2)x－2)．
∴PE＝eq \f(1,4)x2＋x.
∵PE＝eq \f(1,4)OD，
∴eq \f(1,4)x2＋x＝eq \f(1,4)(－x)，即eq \f(1,4)x2＋eq \f(5,4)x＝0，解得x＝－5或x＝0(舍)．
∴PE＝eq \f(5,4)，BD＝1，
∴S△PBE＝eq \f(1,2)PE·BD＝eq \f(1,2)×eq \f(5,4)×1＝eq \f(5,8)；···········(6分)
(3)存在．
①当DM＝DB＝1时，如解图①，过点M作MF⊥x轴于点F，
设M(m，－eq \f(1,2)m－2)，则MF＝－eq \f(1,2)m－2，DF＝－m－5，
MD＝DB＝1.
∵MF2＋DF2＝DM2，
∴(－eq \f(1,2)m－2)2＋(－m－5)2＝1.解得m＝－eq \f(28,5)或－4(舍去)．
∴点M的坐标为(－eq \f(28,5)，eq \f(4,5))；
②当BD＝BM＝1时，如解图②，过点M作x轴的垂线，垂足为N，
第11题解图②
∵DE⊥x轴，
∴DE∥MN，
∴BN∶BD＝BM∶BE，∴BN∶1＝1∶BE.
∵E(－5，eq \f(1,2))，
∴DE＝eq \f(1,2)，∴BE＝eq \f(\r(5),2)，
∴BN∶1＝1∶eq \f(\r(5),2)，解得BN＝eq \f(2\r(5),5).
∴M点的横坐标为－4－eq \f(2\r(5),5)，将x＝－4－eq \f(2\r(5),5)代入y＝
－eq \f(1,2)x－2，得y＝eq \f(\r(5),5)，即点M的坐标为(－4－eq \f(2\r(5),5)，eq \f(\r(5),5))．
综上所述，点M的坐标为(－eq \f(28,5)，eq \f(4,5))或(－4－eq \f(2\r(5),5)，eq \f(\r(5),5))．······(10分)
12．解：(1)把A(－1，0)，D(5，－6)分别代入y＝kx＋n中，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－k＋n＝0，,5k＋n＝－6，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－1，,n＝－1，))
∴直线l的解析式为y＝－x－1.(1分)
把A(－1，0)，D(5，－6)分别代入y＝－x2＋bx＋c中，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1－b＋c＝0，,－25＋5b＋c＝－6，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝3，,c＝4，))
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4；······(3分)
(2)设P(m，－m2＋3m＋4)，则F(m，－m－1)，
∴PF＝(yP－yF)＝－m2＋4m＋5.······(4分)
由题意易得OA＝OC，从而∠OAC＝∠OCA＝45°.
∵PE∥x轴，PF∥y轴，
∴∠PEF＝∠PFE＝45°，∴PE＝PF.
∴PE＋PF＝2PF＝2(－m2＋4m＋5)＝－2m2＋8m＋10＝－2(m－2)2＋18······(6分)
∵－2