中考数学专题复习 第十五讲 锐角三角函数及其实际应用测试题(含解析)

这是一份中考数学专题复习 第十五讲 锐角三角函数及其实际应用测试题(含解析)，共18页。试卷主要包含了2sin60°的值等于，计算等内容，欢迎下载使用。
命题点1 特殊角的三角函数值及其相关计算
1．(2019天津)2sin60°的值等于( )
A. 1 B. eq \r(2) C. eq \r(3) D. 2
2．(2019怀化)已知∠α为锐角，且sinα＝eq \f(1,2)，则∠α＝( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
3．(6分)计算：sin45°tan30°＋sin60°cs45°.
命题点2 直角三角形的边角关系及简单应用
4．(2019温州)某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称
图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为( )
A. eq \f(9,5sinα)米 B. eq \f(9,5csα)米 C. eq \f(5,9sinα)米 D. eq \f(5,9csα)米
第4题图
5．(2019广州)如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30 m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝eq \f(2,5)，则此斜坡的水平距离AC为( )
A. 75 m B. 50 m C. 30 m D. 12 m
第5题图

6．(2019宜昌)如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为( )
A. eq \f(4,3) B. eq \f(3,4) C. eq \f(3,5) D. eq \f(4,5)

第6题图
7．(2019乐山)如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，csC＝eq \f(3,5).则AB边的长为________．
第7题图
8．(2019杭州)在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则csC＝____________．
命题点3 锐角三角函数的实际应用
类型一 背靠背型
9．(2019宁波)如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为________米．(精确到1米，参考数据：eq \r(2)≈1.414，eq \r(3)≈1.732)
第9题图
10．(2019呼和浩特7分)如图，已知甲地在乙地的正东方向，因有大山阻隔，由甲地到乙地需要绕行丙地，已知丙地位于甲地北偏西30°方向，距离甲地460 km，丙地位于乙地北偏东66°方向，现要打通穿山隧道，建成甲乙两地直达高速公路，如果将甲、乙、丙三地当作三个点A、B、C，可抽象成如图所示的三角形，求甲乙两地之间直达高速线路的长AB.(结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可)
第10题图
11．(2019天水7分)某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1∶1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处(PB的长)．为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1∶eq \r(3).(参考数据：eq \r(2)≈1.414，eq \r(3)≈1.732)
(1)若新坡面坡角为α，求坡角α度数；
(2)有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．
第11题图
类型二 母子型
12．(2019湘潭6分)我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点M处垂直海面发射，当火箭到达点A处时，海岸边N处的雷达站测得点N到点A的距离为8千米，仰角为30°.火箭继续直线上升到达点B处，此时海岸边N处的雷达测得B处的仰角增加15°，求此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离．(结果精确到0.1千米)(参考数据：eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73)
第12题图
13．(2019黄冈7分)如图，两座建筑物的水平距离BC为40 m，从A点测得D点的俯角α为45°，测得C点的俯角β为60°.求这两座建筑物AB，CD的高度．(结果保留小数点后一位，eq \r(2)≈1.414，eq \r(3)≈1.732.)
第13题图
14．(2019河南9分)数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55 m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21 m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．(精确到1 m．参考数据：sin34°≈0.56，cs34°≈0.83，tan34°≈0.67，eq \r(3)≈1.73)
第14题图
15．(2019南京8分)如图，山顶有一塔AB，塔高33 m，计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF，从与E点相距80 m的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°，从与F点相距50 m的D处测得A的仰角为45 °，求隧道EF的长度．
(参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51.)
第15题图
16．(2019广安8分)如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪AF测得古树顶端H的仰角∠HFE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线FH上，再向前走10米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GED为60°，点A、B、C三点在同一水平线上．
(1)求古树BH的高；
(2)求教学楼CG的高．(参考数据：eq \r(2)≈1.4，eq \r(3)≈1.7)
第16题图
类型三 拥抱型
17．(2018镇江8分)如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB、CD，大楼的底部B、D在同一平地上，两幢楼之间的距离BD长为24米，小明在点E(B、E、D在一条直线上)处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8米来到点G处，测得教学楼CD顶部的仰角为30°，已知小明的两个观测点F、H距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB的高度即AB长．(精确到0.1米)(参考值：eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73)
第17题图
18．(2019衡阳8分)如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°.已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1∶eq \r(3)(坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)，求楼房AB高度．(结果精确到0.1米)(参考数据：eq \r(3)≈1.73，eq \r(2)≈1.41)
第18题图
类型四 实物模型
19．(2019甘肃省卷8分)如图①是放置在水平桌面上的台灯，图②是其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)，其中灯臂AC＝40 cm，灯罩CD＝30 cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°.CD可以绕点C上下调节一定的角度，使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6 cm.请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？(参考数据：eq \r(3) 取1.73)
第19题图
20．(2019泰州10分)某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC的坡度i为1∶2，顶端C离水平地面AB的高度为10 m，从顶棚的D处看E处的仰角α＝18°30′，竖直的立杆上C、D两点间的距离为4 m，E处到观众区底端A处的水平距离AF为3 m．求：
(1)观众区的水平宽度AB；
(2)顶棚的E处离地面的高度EF.
(sin18°30′≈0.32，tan18°30′≈0.33，结果精确到0.1 m)
第20题图
第十五讲 锐角三角函数及其实际应用
命题点分类集训
1．C 2.A
3．解：原式＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),3)＋eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)··········(4分)
＝eq \f(\r(6),6)＋eq \f(\r(6),4)··········(5分)
＝eq \f(5\r(6),12).··········(6分)
4．B 5.A 6.D 7.eq \f(16,5) 8.eq \f(\r(3),2)或eq \f(2\r(5),5) 9.566
10．解：如解图，过点C作CD⊥AB于点D，
∵丙地位于甲地北偏西30°方向，距离甲地460 km，
在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，
∴AD＝eq \f(1,2)AC＝230 km.CD＝eq \f(\r(3),2)AC＝230eq \r(3) km.··········(3分)
∵丙地位于乙地北偏东66°方向，
在Rt△BDC中，∠CBD＝24°，
∴BD＝eq \f(CD,tan24°)＝eq \f(230\r(3),tan24°)(km)．
∴AB＝BD＋AD＝230＋eq \f(230\r(3),tan24°)(km)．··········(6分)
答：公路AB的长为(230＋eq \f(230\r(3),tan24°))km.··········(7分)
第10题解图
11．解：(1)∵新坡面的坡度为1∶eq \r(3)，
∴tanα＝tan∠CAB＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，
∴∠α＝30°.
答：新坡面的坡度的坡角α为30°；··········(3分)
第11题解图
(2)文化墙PM不需要拆除．
如解图，过点C作CD⊥AB于点D，则CD＝6，
∵坡面BC的坡度为1∶1，新坡面的坡度为1∶eq \r(3).
∴BD＝CD＝6，AD＝eq \f(CD,tan30°)＝6eq \r(3).
∴AB＝AD－BD＝6eq \r(3)－6.
∴PA＝PB－AB＝8－(6eq \r(3)－6)＝14－6eq \r(3)≈3.608>3.
∴文化墙PM不需要拆除．··········(7分)
12．解：在Rt△AMN中，cs∠ANM＝eq \f(MN,AN)，
∵∠ANM＝30°，AN＝8，
∴MN＝AN·cs∠ANM＝8cs30°＝8×eq \f(\r(3),2)＝4eq \r(3).
在Rt△BMN中，
∵∠BNM＝45°，
∴MB＝MN＝4eq \r(3)≈4×1.73≈6.9(千米)．
答：此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离约为6.9千米．··········(6分)
13．解：如解图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠α＝45°，∠β＝60°，
∴∠DAB＝45°，∠CAB＝30°.
∴△AED为等腰直角三角形，
易得四边形BCDE为矩形．
∴AE＝DE＝BC＝40 m.
在Rt△ABC中，AB＝eq \f(BC,tan∠CAB)＝eq \f(40,tan30°)＝40eq \r(3)≈40×1.732≈69.3 m，
∴CD＝BE＝AB－AE＝69.3－40＝29.3 m.
答：AB的高度约为69.3m，CD的高度约为29.3 m．··········(7分)
第13题解图
14．解：在Rt△ACE中，∵∠A＝34°，CE＝55，
∴AC＝eq \f(CE,tan34°)≈eq \f(55,0.67)≈82.1.
∴BC＝AC－AB≈82.1－21＝61.1.··········(4分)
在Rt△BCD中，∵∠CBD＝60°，
∴CD＝BC·tan60°≈61.1×1.73≈105.7.··········(7分)
∴DE＝CD－CE≈105.7－55≈51 m.
答：炎帝塑像DE的高度是51 m．··········(9分)
15．解：如解图，延长AB交CD于点H，则AH⊥CD.
在Rt△ACH中，∠ACH＝27°，
∵tan27°＝eq \f(AH,CH)，
∴AH＝CH·tan27°.
在Rt△BCH中，∠BCH＝22°，
∵tan22°＝eq \f(BH,CH)，
∴BH＝CH·tan22°.
∵AB＝AH－BH，
∴CH·tan27°－CH·tan22°＝33，
解得CH≈300.
∴AH＝CH·tan27°≈153.
在Rt△ADH中，∠D＝45°，
∵tan45°＝eq \f(AH,HD)，
∴HD＝AH＝153.
∴EF＝CD－CE－FD
＝CH＋HD－CE－FD
＝300＋153－80－50
＝323.
因此，隧道EF的长度约为323 m．··········(8分)
第15题解图
16．解：(1)在Rt△EFH中，∠HEF＝90°，∠HFE＝45°，··········(1分)
∴HE＝EF＝10.
∴BH＝BE＋HE＝1.5＋10＝11.5.··········(2分)
∴古树的高为11.5米；
(2)在Rt△EDG中，∠GED＝60°，
∴DG＝tan60°·ED＝eq \r(3)ED，设ED＝x米，则DG＝eq \r(3)x米．··········(4分)
在Rt△GFD中，∠GDF＝90°，∠GFD＝45°，
∴GD＝FD＝EF＋ED.··········(5分)
∴eq \r(3)x＝10＋x，解得x＝5eq \r(3)＋5.··········(7分)
∴CG＝DG＋DC＝eq \r(3)x＋1.5＝eq \r(3)×(5eq \r(3)＋5)＋1.5＝16.5＋5eq \r(3)≈16.5＋5×1.7≈25.
∴教学楼的高为25米．··········(8分)
17．解：如解图，延长HF与AB、CD分别交于点M、N.由题意知MB＝HG＝FE＝ND＝1.6 m．HF＝GE＝8 m，MF＝BE，HN＝GD，MN＝BD＝24 m.
设AM＝x m，则CN＝x m.
在Rt△AFM中，MF＝eq \f(AM,tan45°)＝x，··········(4分)
在Rt△CHN中，HN＝eq \f(CN,tan30°)＝eq \r(3) x，
∴HF＝MF＋HN－MN.
即8＝(1＋eq \r(3))x－24，解得x≈11.7，
∴AB＝AM＋BM≈11.7＋1.6＝13.3 m.
答：教学楼的高度为13.3米．··········(8分)
第17题解图
18．解：如解图，过点D作BC的垂线，交直线BC于点F，过点D作AB的垂线，交AB于点G，则四边形DGBF为矩形，DF＝GB，DG＝FB.
∵山坡的坡度i＝1 ∶eq \r(3)，
∴DF ∶FC＝1 ∶eq \r(3).
∴DF ∶FC ∶CD＝1 ∶eq \r(3) ∶2.
∵CD＝10，
∴DF＝5，FC＝5eq \r(3).··········(3分)
∵CE＝10，
∴BE＝DG－FC－CE＝DG－5eq \r(3)－10.
∵∠ADG＝30°，
∴DG＝eq \f(AG,tan30°)＝eq \r(3)AG.
∵∠AEB＝60°，
∴tan∠AEB＝tan60°＝eq \f(AB,EB).··········(5分)
∵AB＝AG＋GB＝AG＋DF＝AG＋5，
∴eq \r(3)＝eq \f(AG＋5,EB)＝eq \f(AG＋5,DG－5\r(3)－10)＝eq \f(AG＋5,\r(3)AG－5\r(3)－10).
解得AG＝5eq \r(3)＋10.
∴AB＝AG＋GB＝5eq \r(3)＋10＋5≈23.7(米)．
答：楼房AB的高度是23.7米．··········(8分)
第18题解图
19．解：如解图，分别过点C、D作CE⊥AB交AB于点E、DF⊥AB交AB延长线于点F，作CM⊥DF于点M，
则四边形CMFE为矩形，
∴MF＝CE，CM＝EF.··········(1分)
在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∠CAE＝60°，CA＝40，
∴CE＝CA·sin60°＝40×eq \f(\r(3),2)＝20eq \r(3).
∴DM＝DF－MF＝DF－CE＝49.6－20eq \r(3).··········(3分)
在Rt△CDM中，∠CMD＝90°，CD＝30，
∴sin∠DCM＝eq \f(DM,CD)＝eq \f(49.6－20\r(3),30)≈eq \f(1,2).··········(6分)
∴∠DCM≈30°，··········(7分)
∴此时台灯光线最佳．··········(8分)
第19题解图
20.解：(1)∵AC的坡比为1∶2，BC＝10，
∴AB＝2BC＝20，即观众区的水平宽度AB为20米；··········(4分)
(2)如解图，过点D作DG⊥EF，垂足为点G，
易得四边形DGFB为矩形，
∴DG＝BF＝AB＋AF＝20＋3＝23.··········(6分)
在Rt△DEG中，
EG＝DG·tan∠EDG≈23×0.33＝7.59，
∴EF＝EG＋FG＝EG＋CD＋BC＝7.59＋4＋10＝21.59≈21.6(米)
∴顶棚的E处离地面的高度EF约为21.6米．··········(10分)
第20题解图