人教版八年级下册17.1 勾股定理第1课时当堂检测题

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第1课时 勾股定理
01 基础题
知识点1 勾股定理的证明
1．利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为 ，该定理结论的数学表达式是 .
2．4个全等的直角三角形的直角边分别为a，b，斜边为c.现把它们适当拼合，可以得到如图所示的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试．

知识点2 利用勾股定理进行计算
3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B＝90°，则下列等式中成立的是( )
A．a2＋b2＝c2 B．b2＋c2＝a2
C．a2＋c2＝b2 D．c2－a2＝b2
4．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，则AB的长为( )
A．4 B.eq \r(5) C.eq \r(13) D．5
5．已知直角三角形中30°角所对的直角的边长是2eq \r(3) cm，则另一条直角边的长是( )
A．4 cm B．4eq \r(3) cm C．6 cm D．6eq \r(3) cm
6．直角三角形斜边的长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为 ．
7．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b.
(1)a＝7，b＝24，求c；
(2)a＝4，c＝7，求b.
8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，∠B＝60°，∠C＝45°.
(1)求∠BAC的度数；
(2)若AC＝2，求AD的长．
02 中档题
9．(2016·荆门)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( )
A．5 B．6 C．8 D．10

第9题图 第10题图
10．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是( )
A．48 B．60 C．76 D．80
11．(2017·陕西)如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为( )
A．3eq \r(3) B．6 C．3eq \r(2) D.eq \r(21)

第11题图 第14题图
12．在△ABC中，AB＝10，AC＝2eq \r(10)，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于( )
A．10 B．8
C．6或10 D．8或10
13．若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝ ．
15．图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长(图乙中的实线)是 .
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15.
(1)求AB的长；
(2)求CD的长．
17．在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
03 综合题
18．如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2 017个等腰直角三角形的斜边长是 ．

第十七章 勾股定理
17．1 勾股定理第1课时 勾股定理
01 基础题
知识点1 勾股定理的证明
1．利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为勾股定理，该定理结论的数学表达式是a2＋b2＝c2.
2．4个全等的直角三角形的直角边分别为a，b，斜边为c.现把它们适当拼合，可以得到如图所示的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试．
解：图形的总面积可以表示为
c2＋2×eq \f(1,2)ab＝c2＋ab，
也可以表示为a2＋b2＋2×eq \f(1,2)ab＝a2＋b2＋ab，
∴c2＋ab＝a2＋b2＋ab.
∴a2＋b2＝c2.
知识点2 利用勾股定理进行计算
3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B＝90°，则下列等式中成立的是(C)
A．a2＋b2＝c2 B．b2＋c2＝a2
C．a2＋c2＝b2 D．c2－a2＝b2
4．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，则AB的长为(C)
A．4 B.eq \r(5)
C.eq \r(13) D．5
5．已知直角三角形中30°角所对的直角的边长是2eq \r(3) cm，则另一条直角边的长是(C)
A．4 cm B．4eq \r(3) cm
C．6 cm D．6eq \r(3) cm
6．(2016·阿坝)直角三角形斜边的长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为6．
7．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b.
(1)a＝7，b＝24，求c；
(2)a＝4，c＝7，求b.
解：(1)∵∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形．
∴a2＋b2＝c2.
∴72＋242＝c2.
∴c2＝49＋576＝625.
∴c＝25.
(2)∵∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形．
∴a2＋b2＝c2.
∴42＋b2＝72.
∴b2＝72－42＝49－16＝33.
∴b＝eq \r(33).
8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，∠B＝60°，∠C＝45°.
(1)求∠BAC的度数；
(2)若AC＝2，求AD的长．
解：(1)∠BAC＝180°－60°－45°
＝75°.
(2)∵AD⊥BC，
∴△ADC是直角三角形．
∵∠C＝45°，
∴∠DAC＝45°.
∴AD＝CD.
根据勾股定理，得AD＝eq \r(2).
02 中档题
9．(2016·荆门)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为(C)
A．5 B．6 C．8 D．10

第9题图 第10题图
10．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是(C)
A．48 B．60 C．76 D．80
11．(2017·陕西)如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(A)
A．3eq \r(3) B．6 C．3eq \r(2) D.eq \r(21)

第11题图 第14题图
12．(2016·东营)在△ABC中，AB＝10，AC＝2eq \r(10)，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于(C)
A．10 B．8
C．6或10 D．8或10
13．若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为13或eq \r(119)．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝3．
15．图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长(图乙中的实线)是76.
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15.
(1)求AB的长；
(2)求CD的长．
解：(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，
∴AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(202＋152)＝25.
(2)∵S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BC＝eq \f(1,2)AB·CD，
∴AC·BC＝AB·CD.
∴20×15＝25CD.∴CD＝12.
17．(2016·益阳)在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
作AD⊥BC于点D，
设BD＝x，用含x
的代数式表示CD.→根据勾股定理，利用
AD作为“桥梁”，建
立方程模型求出x.→eq \x(\a\al(利用勾股定理求,出AD的长，再计,算三角形面积.))
解：在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，
设BD＝x，则CD＝14－x.
由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2.
∴152－x2＝132－(14－x)2.解得x＝9.
∴AD＝12.
∴S△ABC＝eq \f(1,2)BC·AD＝eq \f(1,2)×14×12＝84.
03 综合题
18．如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2 017个等腰直角三角形的斜边长是(eq \r(2))2017．