初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理第2课时课时练习

这是一份初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理第2课时课时练习，共8页。
01 基础题
知识点1 勾股定理在平面图形中的应用

1．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5 m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处，旗杆折断之前的高度是( )
A．5 m B．12 m C．13 m D．18 m

第1题图 第2题图
2．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行 米．
3．八(2)班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝的高度CE，他们进行了如下操作：
①测得BD的长度为15米；(注：BD⊥CE)
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；
③牵线放风筝的小明身高1.6米．
求风筝的高度CE.


4．如图，甲船以16海里/时的速度离开码头向东北方向航行，乙船同时由码头向西北方向航行，已知两船离开码头1.5 h后相距30海里，问乙船每小时航行多少海里？


知识点2 勾股定理与方程的应用
5．印度数学家什迦逻(1141～1225年)曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题．

6．如图，在一棵树(AD)的10 m高处(B)有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20 m(C)的池塘，而另一只则爬到树顶(D)后直扑池塘，如果两只猴子经过的路程相等，那么这棵树有多高？

知识点3 两次勾股定理的应用
7．(2017·绍兴)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为( )
A．0.7米 B．1.5米
C．2.2米 D．2.4米

第7题图 第8题图
8．如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑 .米．
02 中档题
9．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了__________步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草 ( )
A．4 B．6
C．7 D．8

第9题图 第10题图
10．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为( )
A．4米 B．8米
C．9米 D．7米
11．如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm到点D，则橡皮筋被拉长了 cm.

第11题图 第12题图
12．将一根24 cm的筷子，置于底面直径为15 cm，高8 cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是 ．
13．如图是一面长方形彩旗完全展平时的尺寸图(单位：cm)．其中长方形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为长方形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为220 cm.在无风的天气里，彩旗自然下垂．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度 h.

14．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？

03 综合题
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s.
(1)求BC边的长；
(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PA＝3，PB＝1，CD＝PC＝2，CD⊥CP，求∠BPC的度数．

第2课时 勾股定理的应用
01 基础题
知识点1 勾股定理在平面图形中的应用

1．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5 m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处，旗杆折断之前的高度是(D)
A．5 m B．12 m C．13 m D．18 m

第1题图 第2题图
2．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行10米．
3．八(2)班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝的高度CE，他们进行了如下操作：
①测得BD的长度为15米；(注：BD⊥CE)
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；
③牵线放风筝的小明身高1.6米．
求风筝的高度CE.
解：在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD＝eq \r(CB2－BD2)＝eq \r(252－152)＝20(米)．
∴CE＝CD＋DE＝20＋1.6＝21.6(米)．
答：风筝的高度CE为21.6米．
4．如图，甲船以16海里/时的速度离开码头向东北方向航行，乙船同时由码头向西北方向航行，已知两船离开码头1.5 h后相距30海里，问乙船每小时航行多少海里？
解：设码头所在的位置为C，1.5 h后甲船所在位置为A，乙船所在位置为B，则
AC与正北方向的夹角为45°，BC与正北方向的夹角为45°，
∴∠ACB＝90°.
在Rt△ABC中，∵AC＝16×eq \f(3,2)＝24(海里)，AB＝30海里．
由勾股定理，得 BC2＝AB2－AC2＝302－242＝324.解得BC＝18.
∴18÷eq \f(3,2)＝12(海里/小时)．
答：乙船每小时航行12海里．
知识点2 勾股定理与方程的应用
5．印度数学家什迦逻(1141～1225年)曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题．

解：如图，由题意可知AC＝0.5，AB＝2，OB＝OC.
设OA＝x，则OB＝OA＋AC＝x＋0.5.
在Rt△OAB中，OA2＋AB2＝OB2，
∴x2＋22＝(x＋0.5)2.
解得x＝3.75.
∴水深3.75尺．
6．如图，在一棵树(AD)的10 m高处(B)有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20 m(C)的池塘，而另一只则爬到树顶(D)后直扑池塘，如果两只猴子经过的路程相等，那么这棵树有多高？
解：B为猴子的初始位置，则AB＝10 m，C为池塘，则AC＝20 m.
设BD＝x m，则树高AD＝(10＋x)m.
由题意知BD＋CD＝AB＋AC，∴x＋CD＝20＋10.
∴CD＝(30－x)m.
在Rt△ACD中，∠A＝90°，
由勾股定理得AC2＋AD2＝CD2，
∴202＋(10＋x)2＝(30－x)2.∴x＝5.
∴AD＝10＋5＝15(m)．
故这棵树有15 m高．
知识点3 两次勾股定理的应用
7．(2017·绍兴)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为(C)
A．0.7米 B．1.5米
C．2.2米 D．2.4米

第7题图 第8题图
8．如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑0.5米．
02 中档题
9．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了__________步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草 (D)
A．4 B．6 C．7 D．8

第9题图 第10题图
10．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为(D)
A．4米 B．8米 C．9米 D．7米
11．如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm到点D，则橡皮筋被拉长了2cm.

第11题图 第12题图
12．将一根24 cm的筷子，置于底面直径为15 cm，高8 cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是7≤h≤16．
13．如图是一面长方形彩旗完全展平时的尺寸图(单位：cm)．其中长方形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为长方形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为220 cm.在无风的天气里，彩旗自然下垂．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度 h.
解：彩旗自然下垂的长度就是长方形DCEF的对角线DE的长度，连接DE，
在Rt△DEF中，根据勾股定理，得
DE＝eq \r(DF2＋EF2)＝eq \r(1202＋902)＝150.
h＝220－150＝70(cm)．
∴彩旗下垂时的最低处离地面的最小高度h为70 cm.
14．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？
解：在Rt△APO中，∠APO＝60°，则∠PAO＝30°.
∴AP＝2OP＝200 m，
AO＝eq \r(AP2－OP2)＝eq \r(2002－1002)＝100eq \r(3)(m)．
在Rt△BOP中，∠BPO＝45°，则BO＝OP＝100 m.
∴AB＝AO－BO＝100eq \r(3)－100≈73(m)．
∴从A到B小车行驶的速度为73÷3≈24.3(m/s)＝87.48 km/h>80 km/h.
∴此车超过每小时80千米的限制速度．
03 综合题
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s.
(1)求BC边的长；
(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值．
解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16.
∴BC＝4 cm.
(2)由题意，知BP＝t cm，
①当∠APB为直角时，如图1，点P与点C重合，BP＝BC＝4 cm，
∴t＝4；
②当∠BAP为直角时，如图2，BP＝t cm，CP＝(t－4)cm，AC＝3 cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2＋CP2＝32＋(t－4)2.
在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2，
即52＋[32＋(t－4)2]＝t2.
解得t＝eq \f(25,4).
∴当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝eq \f(25,4).
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PA＝3，PB＝1，CD＝PC＝2，CD⊥CP，求∠BPC的度数．
解：连接BD.
∵CD⊥CP，CP＝CD＝2，
∴△CPD为等腰直角三角形．
∴∠CPD＝45°.
∵∠ACP＋∠BCP＝∠BCP＋∠BCD＝90°，
∴∠ACP＝∠BCD.
∵CA＝CB，
∴△CAP≌△CBD(SAS)．
∴DB＝PA＝3.
在Rt△CPD中，DP2＝CP2＋CD2＝22＋22＝8.
又∵PB＝1，DB2＝9，
∴DB2＝DP2＋PB2＝8＋1＝9.
∴∠DPB＝90°.
∴∠CPB＝∠CPD＋∠DPB＝45°＋90°＝135°.