初中数学16.1 二次根式第1课时导学案

第十六章　二次根式

第1课时　二次根式的概念

1.理解二次根式的概念，弄清其被开方数是非负数这一要求.

2.理解二次根式的非负性，会求二次根式有意义的条件.

3.能初步运用二次根式的概念解决简单实际问题.

二次根式的概念和性质.

二次根式基本性质的灵活运用.

一、情景导入，感受新知

如图是天安门广场前的大型音乐喷泉的图片，非常美丽壮观.仔细观察图片可以发现：水域部分是正方形，外围是圆.

如果该正方形的面积为30 m2，你知道该正方形的边长是多少吗？

如果该圆的面积为S m2，你知道该圆的半径是多少吗？

二、自学互研　生成新知

【自主探究】

阅读教材P2－3内容，完成下列问题.

问题1：思考：，，，分别表示什么意义？它们有什么共同特点？

解：分别表示3，S，65，的算术平方根，它们都是非负数.

归纳：一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式.

问题2：请同学们思考：为什么一定要加上a≥0这一条件？

前一章学过，符号“”叫做二次根号，二次根号下面的数叫被开方数.因为在实数范围内，负数无平方根，所以被开方数只能是非负数.

问题3：想一想下列各式是否为二次根式？

(1)；(2)；(3)；(4)；

(5).

解：(1)∵m2≥0，∴m2＋1＞0，∴是二次根式.

(2)∵a2≥0，∴是二次根式.

(3)∵n2≥0，∴－n2≤0，∴当n＝0时才是二次根式.

(4)当a－2≥0是二次根式，当a－2＜0时不是二次根式，即当a≥2时是二次根式，当a＜2时不是二次根式.

(5)当x－y≥0时是二次根式，当x－y＜0时不是二次根式，即当x≥y时是二次根式，当x＜y时不是二次根式.

【合作探究】

的双重非负性.

请同学们想一想有没有可能小于零？为什么？

由此可得≥0(a≥0).

“的双重非负性”即被开方数a≥0，a的算术平方根≥0.

【师生活动】

①明了学情：关注学生对二次根式的定义和性质的理解.

②差异指导：对学生在探究过程中存在的疑问及时引导与点拨.

③生生互助：学生先独自思考解题，然后小组内交流讨论，运用新知.

三、典例剖析　运用新知

【合作探究】

例1：当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？

(1)；(2)；

(3)；(4)＋.

解析：利用二次根式有意义的条件，可把问题转化为解相应的不等式或不等式组.

解：(1)由题意，得10－3x≥0，所以x≤，即当x≤时，式子在实数范围内有意义.

(2)由题意，得－(x－2)2≥0，即(x－2)2≤0.

又因为(x－2)2≥0，所以x＝2，

即当x＝2时，式子在实数范围内有意义.

(3)由题意，得≥0，且x－2≠0，所以x＞2，

即当x＞2时，式子在实数范围内有意义.

(4)由题意，得所以－3≤x≤3，

即当－3≤x≤3时，式子＋在实数范围内有意义.

例2：已知|x＋3|＋＝0，求xy的值.

解：∵|x＋3|＋＝0，又|x＋3|≥0且≥0.

∴|x＋3|＝0且＝0，即x＋3＝0且y－5＝0，

解得x＝－3，y＝5，∴xy＝－15.

【师生活动】

①明了学情：关注学生对定义和性质的运用和掌握情况.

②差异指导：对学生在解决问题中遇到的困难及时点拨.

③生生互助：学生小组交流、讨论，相互释疑解惑形成共识.

四、课堂小结　回顾新知

小结：教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题.

(1)本节课你学到了哪一类新的式子？

(2)二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？

(3)二次根式与算术平方根有什么关系？

五、检测反馈　落实新知

1.下列结论正确的是(B)

A.2a3b－a2b＝2

B.单项式－x2的系数是－1

C.使式子有意义的x的取值范围是x>－1

D.若分式的值等于0，则a＝±1

2.若与互为相反数，则a＝__3__，b＝__5__.

3.x为何值时，下列各式在实数范围内有意义：

(1)＋2；(2)＋(x－2)0.

解：(1)x－2≥0，2－x≥0，∴x＝2；

(2)∴x≥－1且x≠1，x≠2.

4.已知＋＝0，求a－b的值.

　解：∵≥0，≥0且＋＝0，∴a＝1，b＝－7，∴a－b＝8.　

六、课后作业　巩固新知