初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理第3课时学案设计

第3课时　勾股定理的计算、作图

1.会用勾股定理在数轴上表示无理数.

2.理解感受数轴上的点与实数一一对应.

3.了解利用勾股定理证明HL定理.

运用勾股定理在数轴上标出表示无理数的点.运用勾股定理解决实际问题.

无理数也能在数轴上表示出来，理解数轴上的点与实数是一一对应的.

一、情景导入，感受新知

如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面圆的周长等于18 cm.在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，则沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？

(1)尝试从点A到B沿圆柱侧面可以画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？

(2)将圆柱侧面剪开并展开成一个长方形，从点A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？

(3)蚂蚁从点A出发，想吃到点B处的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？

二、自学互研　生成新知

【自主探究】

阅读教材P26～27内容，完成下列问题：

问题1：根据图填空：

x＝____，y＝____，z＝__2__，w＝____.

问题2：按照图中的规律一直作下去，你能说出第n个小直角三角形的各边长吗？

第n个小直角三角形的两直角边长分别为1和，斜边长为.

问题3：利用勾股定理，是否可以在数轴上画出表示，，，，…的点？试一试.

【合作探究】

问题4：怎样在数轴上画出表示的点？

设斜边c＝，两直角边分别为a，b，根据勾股定理有a2＋b2＝13，若a，b为正整数，则13必须分解为两个平方数的和，即13＝4＋9，a2＝4，b2＝9，则a＝2，b＝3，所以长为的线段是直角边长为正整数2和3的直角三角形的斜边.

追问：在数轴上怎样作出这个三角形呢？

解：①在数轴上找到点A，使OA＝3；

②过点A作直线l垂直于OA，在l上截取AB＝2；

③以点O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴正半轴于点C，点C即为表示的点.你知道OC为什么等于吗？

【师生活动】

①明了学情：关注学生对在数轴上表示无理数方法的掌握.

②差异指导：巡视全班，对学有困难的学生及时点拨.

③生生互助：先独立思考，然后小组交流，讨论，合作完成.

三、典例剖析　运用新知

【合作探究】

例1：已知，如图在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.

求证：△ABC≌△A′B′C′.

证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，根据勾股定理，得

BC＝，B′C′＝.

又AB＝A′B′，AC＝A′C′，

∴BC＝B′C′.

∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).

例2：细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：

()2＋1＝2，S1＝；

()2＋1＝3，S2＝；

()2＋1＝4，S3＝；

…　　　　…

(1)用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；

(2)推算出OA10的长；

(3)求出S＋S＋…＋S的值.

解：(1)()2＋1＝n＋1，Sn＝；(2)OA10＝；(3).

例3：我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图①所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是__25__尺.

解析：这种问题可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化为图②，所以这个是直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出，一条直角边长(即枯木的高)20尺，另一条直角边长为5×3＝15(尺)，因此葛藤长＝25(尺).

四、课堂小结　回顾新知

今天我们学了哪些内容？

让学生充分讨论交流，说出自己的体会，最后师生共同归纳.

五、检测反馈　落实新知

1.一三角形的三边长分别是，，，a，b均是正数，它的面积是__ab__.(提示：构造如图所示)

2.如图，圆柱形容器的高为1.2 m，底面周长为1 m，在容器内壁离容器底部0.3 m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3 m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为__1.3__m(容器厚度忽略不计).

3.已知，Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥BC于点D，∠A＝60°，CD＝，求线段AB的长.

解：学生先自己画出图形，分析：欲求AB，可由AB＝BD＋AD，分别在两个直角三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD＝3和AD＝1.或欲求AB，可由AB＝，分别在两个直角三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC＝2和BC＝2.

六、课后作业　巩固新知