初中数学人教版八年级下册17.2 勾股定理的逆定理第4课时导学案及答案

第4课时　勾股定理的逆定理

1.了解互逆命题和互逆定理的概念.

2.理解勾股定理的逆定理的证明方法并能证明勾股定理的逆定理.

3.掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形.

勾股定理的逆定理及其应用

灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.

一、情景导入，感受新知

播放相声《反正话》

表演者：马季、于世猷

马：你别吹，今天当着各位老师和同学的面我来考考你，咱们来一段反正话.

于：什么叫做反正话呢？

马：就是我说一句话，你把这句话反过来再说一遍，能说上来就算你聪明！

于：咱们可以试试.

……

马：我脑门子.　　　　　于：我门(没)脑子！

马：我眼珠.  于：我猪眼，不像话啊！

…  …

听了上面这段相声大家都非常开心，其实在我们数学上也有很多命题可以反过来说，这在数学上称为逆命题，比如我们刚刚学过的勾股定理，如果把勾股定理反过来说，大家说它的逆命题还成立吗？

二、自学互研　生成新知

【自主探究】

阅读教材P31～33，完成下列问题.

问题1：三边长度分别为3 cm、4 cm、5 cm的三角形与以3 cm、4 cm为直角边的直角三角形之间有什么关系？你是怎样得到的？

问题2：你能证明以2.5 cm、6 cm、6.5 cm为三边长的三角形是直角三角形吗？

问题3：如图，若△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，试证明△ABC是直角三角形，请简要地写出证明过程.

问题4：此定理与勾股定理之间有怎样的关系？

归纳：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形.

【合作探究】

勾股定理与其逆定理的区别与联系：

【师生活动】

①明了学情：关注学生对勾股定理逆定理的理解与掌握.

②差异指导：对有困难的学生及时给予引导与点拨.

③生生互助：小组交流、讨论，相互释疑.

三、典例剖析　运用新知

【合作探究】

例1：判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：

(1)a＝15，b＝8，c＝17；

(2)a＝13，b＝14，c＝15.

分析：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.

解：(1)因为152＋82＝225＋64＝289，

172＝289，

所以152＋82＝172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形.

(2)因为132＋142＝169＋196＝365，

152＝225，

所以132＋142≠152，根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形.

例2：如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了.

解：根据题意，

PQ＝16×1.5＝24，

PR＝12×1.5＝18，

QR＝30.

因为242＋182＝302，即PQ2＋PR2＝QR2，所以∠QPR＝90°.

由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1＝45°.因此∠2＝45°，即“海天”号沿西北方向航行.

【师生活动】

学生小组内合作，交流，讨论，展示，对于有困难的学生，教师适时引导、点拨.

四、课堂小结　回顾新知

今天我们学了哪些内容？

学生活动：1.通过本节课的学习，你知道一个三角形的三边在数量上满足怎样的关系时，这个三角形才是直角三角形吗？

2.请你总结一下，判断一个三角形是否是直角三角形都有哪些方法？

3.通过此次实验活动，你学到了什么？你感受最深的是什么？

五、检测反馈　落实新知

1.以下列各组数为三边长的三角形中，是直角三角形的有(B)

①3，4，5；②1，2，4；③32，42，52；④6，8，10.

A.1个　　　B.2个　　　C.3个　　　D.4个

2.三角形的三边长分别是a，b，c，且满足等式(a＋b)2－c2＝2ab，则此三角形是(A)

A.直角三角形  B.锐角三角形

C.钝角三角形  D.等腰直角三角形

3.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是(A)

A.直角三角形  B.锐角三角形

C.钝角三角形  D.不能确定

4.如果△ABC三边长a，b，c满足关系式|a＋2b－60|＋(b－18)2＋|c－30|＝0，则△ABC是__直角__三角形.

5.如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，CD＝24，AD＝26.求四边形ABCD的面积.

解：连接AC，∵∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形.∴AC2＝AB2＋BC2＝82＋62＝102，∴AC＝10.在△ACD中，∵AC2＋CD2＝102＋242＝676，AD2＝262＝676，∴AC2＋CD2＝AD2，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝×6×8＋×10×24＝144.

六、课后作业　巩固新知