初中数学人教版八年级下册18.1.1 平行四边形的性质第2课时学案设计

第2课时　平行四边形的性质(二)

1.理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质.

2.能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明问题.

平行四边形对角线的性质探究与应用.

平行四边形对角线性质的运用.

一、情景导入，感受新知

一位饱经沧桑的老人经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块呈平行四边形形状的土地.由于年迈体弱，他决定把这块土地平分给他的四个孩子，他是按图那样分的.

当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己分的地少，同学们：老人这样分地合理吗？

师：合理不合理关键看平行四边形的对角线有什么性质.这节课我们就来继续研究平行四边形的性质.

二、自学互研　生成新知

【自主探究】

阅读教材P43～44内容，回答下列问题.

问题1：探索平行四边形对角线的性质

请你动手在▱ABCD中画出它的对角线，你能够发现什么？

平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，线段OA与OC，OB与OD的长度有何关系？

结论：平行四边形的对角线互相平分.

【合作探究】

问题2：平行四边形对角线性质的证明.

已知：如图，▱ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O.

求证：OA＝OC，OB＝OD.

证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC(平行四边形对边相等)，

AD∥BC(平行四边形的定义)，

∴∠ADO＝∠CBO，∠DAO＝∠BCO，

∴△AOD≌△COB，

∴OA＝OC，OB＝OD.

即平行四边形的对角线互相平分.

几何语言：如上图，

∵四边形ABCD是平行四边形(已知)，

∴OA＝OC，OB＝OD(平行四边形的对角线互相平分).

【师生活动】

①明了学情：关注学生对“平行四边形对角线互相平分”这一性质的理解与掌握.

②差异指导：对学有困难的学生及时给予引导、点拨.

③生生互助：学生小组内合作交流、相互解疑释难.

三、典例剖析　运用新知

【合作探究】

例1：[教材P44例2]如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC.求BC，CD，AC，OA的长，以及▱ABCD的面积.

分析：先应用平行四边形的性质求边长，再用勾股定理求得平行四边形一边上的高，然后才能应用公式计算.

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD＝10，AD＝BC＝8.

又∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形.

则有AC＝＝＝6.

又∵OA＝OC，∴OA＝AC＝3，

∴S▱ABCD＝BC·AC＝8×6＝48.

例2：教材P44例2变式训练

变式1　如下图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，且与AB，CD分别交于点E，F.求证：OE＝OF.

变式2：　在上题中，若直线EF是过点O的任意直线(即直线EF绕着点O旋转)，与平行四边形的边所在直线相交，图中还有哪些量相等？你还能得出哪些结论？

归纳：过平行四边形对角线的交点作直线与对边或对边的延长线相交，所得的对应线段相等；过平行四边形对角线的交点任意作一直线，都能将平行四边形分割成面积相等的两部分等.

【师生活动】

学生独立思考后，独立完成，然后在小组内交流、讨论、互评，教师适当给学有困难的学生引导与点拨，最后学生代表展示，师生共同点评，形成共识.

四、课堂小结　回顾新知

1.本节课你有哪些收获？你能将平行四边形的性质进行归纳吗？

2.利用平行四边形可以解决哪些问题？

3.你能就本节课给自己和同伴一个评价吗？

五、检测反馈　落实新知

1.如图①，在平行四边形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是__1__cm＜OA＜4__cm__.

2.如图②，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB＝6，△OCD的周长为16，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是__20__.

3.在▱ABCD中，如图①，O为对角线BD，AC的交点.

(1)求证：S△ABO＝S△CBO；

(2)如图②，设P为对角线BD上任一点(点P与点B，D不重合)，S△ABP与S△CBP仍然相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由.

解：(1)在▱ABCD中，AO＝CO.设点B到AC的距离为h，则S△ABO＝AO·h，S△CBO＝CO·h，∴S△ABO＝S△CBO；

(2)S△ABP＝S△CBP.理由如下：在▱ABCD中，点A、C到BD的距离相等，设为h，则S△ABP＝BP·h，S△BCP＝BP·h.∴S△ABP＝S△BCP.

六、课后作业　巩固新知