高一上 函数大题强化

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 函数大题强化一、解答题（共10题；共0分）2.5已知函数 .    （1）当 时，求 在 上的值域；    （2）试求 的零点个数，并证明你的结论.   2.6已知函数f（x）= （1）当x≤0时，解不等式f（x）≥﹣1；    （2）写出该函数的单调区间；    （3）若函数g（x）=f（x）﹣m恰有3个不同零点，求实数m的取值范围．  2.7.已知函数 （ ＞0， ≠1， ≠﹣1），是定义在（﹣1，1）上的奇函数.    （1）求实数 的值；    （2）当 =1时，判断函数 在（﹣1，1）上的单调性，并给出证明；    （3）若 且 ，求实数 的取值范围.     2.8.已知奇函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，当x∈[﹣1，0）时，f（x）=﹣． （1）求函数f（x）在[0，1]上的值域；（2）若x∈（0，1]，f2（x）﹣f（x）+1的最小值为﹣2，求实数λ的值． 2.9设集合 ， .    （1）若 ，求实数 的值;（2）若 ，求实数 的范围.
     2.10.定义：若函数y=f（x）在某一区间D上任取两个实数x1、x2  ， 且x1≠x2  ， 都有 ，则称函数y=f（x）在区间D上具有性质L．    （1）写出一个在其定义域上具有性质L的对数函数（不要求证明）．    （2）对于函数 ，判断其在区间（0，+∞）上是否具有性质L？并用所给定义证明你的结论．    （3）若函数 在区间（0，1）上具有性质L，求实数a的取值范围．     2.11设函数f（x）=|x﹣a|+|2x+2|﹣5（a∈R）．    （1）试比较f（﹣1）与f（a）的大小；    （2）当a=﹣5时，求函数f（x）的图象与轴围成的图形面积．  2.12设f（x）= （m＞0，n＞0）．    （1）当m=n=1时，证明：f（x）不是奇函数；    （2）设f（x）是奇函数，求m与n的值；    （3）在（2）的条件下，求不等式f（f（x））+f（ ）＜0的解集．     2.13.已知函数 ， ．    （1）若函数 是奇函数，求实数 的值；    （2）在在（1）的条件下，判断函数 与函数 的图像公共点个数，并说明理由；    （3）当 时，函数 的图象始终在函数 的图象上方，求实数 的取值范围．     2.14已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（﹣π＜φ＜0，ω＞0）的图象关于直线 对称，且两相邻对称中心之间的距离为 ．    （1）求函数y=f（x）的单调递增区间；    （2）若关于x的方程f（x）+log2k=0在区间 上总有实数解，求实数k的取值范围．       C v答案部分第 1 题:【答案】 （1）解：当 时， ，则 ，而 在 上恒成立，所以 在 上递减，， ，所以 在 上存在唯一的 ，使得 ，而且当 时， ， 递增；当 时 ， 递减；所以，当 时， 取极大值，也是最大值，即 ，，所以， 在 上的值域为
（2）解：令 ，得 ， 显然不是方程的根，那么原方程等价于 实根的个数，令 ， 原命题也等价于 在 上的零点个数；又因为 ，所以 在 和 上都是单调递增的；（I）若 ，则当 时， 恒成立，则没有零点；当 时， ， ，又 在 上单调递增的，所以有唯一的零点。（II）若 ，则当 时， 恒成立，则没有零点；当 时， ， ，又 在 上单调递增的，所以有唯一的零点（III）若 ，则当 时，由 ，则 ，则 取 ，则 ，又 ，所以 在 有唯一的零点，当 时， ，，又 在 上单调递增的，所以有唯一的零点综上所述，当 时， 只有一个零点；当 时， 有两个零点【解析】【分析】(1)当a=1时,求出函数的导函数,对导函数g(x)再求导,研究其单调性,从而得到f(x)的单调性,求出最值得到值域;
(2)将函数的零点问题转化为对应方程的实根问题,构造新函数h(x),用导数研究单调性,对a 分类讨论得到函数 的零点个数.第 2 题:【答案】 （1）解：当x≤0时， ，  解得x≥﹣1，综上，﹣1≤x≤0，故解集为[﹣1，0]
（2）解：函数f（x）的图象如右图，  函数f（x）的单调递减区间是（0，1），单调增区间是（﹣∞，0）及（1，+∞）
（3）解：作出直线y=m，  函数g（x）=f（x）﹣m恰有3个不同零点等价于函数y=m与函数f（x）的图象恰有三个不同公共点．由函数 又f（0）=1， ，∴ ．【解析】【分析】（1）由x≤0时的函数表达式，通过指数函数的单调性解出不等式即可；（2）画出函数f（x）的图象，通过图象观察即可；（3）作出直线y=m，函数g（x）=f（x）﹣m恰有3个不同零点等价于函数y=m与函数f（x）的图象恰有三个不同公共点．由图象观察即可得到．第 3 题:【答案】 （1）解：∵函数 是奇函数，∴ ∴ ∴ ；∴  ∴ ，整理得 对定义域内的 都成立．∴ ．所以 或m=-1（舍去）∴m=1
（2）解：由（1）可得 ；令 设 ，则  ∵ ∴ ， ∴ ． 当 时， ，即 ．∴当 时， 在（﹣1，1）上是减函数．当 时， ，即 ．∴当 时， 在（﹣1，1）上是增函数
（3）解：∵ ， ∴ ，由 ，得 ，∵函数 是奇函数，  ∴ ，故由（2）得 在（﹣1，1）上是增函数，∴ 解得 ∴实数 的取值范围是 【解析】【分析】(1)由函数  f ( x )  是奇函数，则  f ( − x ) = − f ( x ),结合解析式求m的值;
(2)由函数的单调性定义判断函数的单调性;
(3)由函数的奇偶性信单调性将函数不等式化为关于b的不等式组,求b的范围.第 4 题:【答案】 解：（1）设x∈（0，1]，则﹣x∈[﹣1，0）时，所以f（﹣x）=﹣=﹣2x ．  又因为f（x）为奇函数，所以有f（﹣x）=﹣f（x），所以当x∈（0，1]时，f（x）=﹣f（﹣x）=2x  ， 所以f（x）∈（1，2]，又f（0）=0．所以，当x∈[0，1]时函数f（x）的值域为（1，2]∪{0}．（2）由（1）知当x∈（0，1]时，f（x）∈（1，2]，所以f（x）∈（， 1]．令t=f（x），则 ＜t≤1，g（t）=f2（x）﹣f（x）+1=t2﹣λt+1=+1﹣， ①当≤， 即λ≤1时，g（t）＞g（），无最小值，②当＜≤1，即1＜λ≤2时，g（t）min=g（）=1﹣=﹣2，解得λ=±2（舍去）．③当＞1，即λ＞2时，g（t）min=g（1）=﹣2，解得λ=4，综上所述，λ=4．【解析】【分析】（1）利用函数的奇偶性、指数函数的单调性求出函数f（x）在[0，1]上的值域．
（2）根据f（x）的范围，利用条件以及二次函数的性质，分类讨论求得实数λ的值．第 5 题:【答案】 （1）解：∵ ∴A⊆B，又B中最多有两个元素，∴A=B，∴x=0，﹣4是方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的两个根，A=1；
（2）解：∵A={x|x2+4x=0，x∈R}∴A={0，﹣4}，∵B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}，且B⊆A．故①B=∅时，△=4（a+1）2﹣4（a2﹣1）＜0，即a＜﹣1，满足B⊆A；②B≠∅时，当a=﹣1，此时B={0}，满足B⊆A；当a＞﹣1时，x=0，﹣4是方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的两个根，A=1；综上所述a=1或a≤﹣1【解析】【分析】（1）先求出集合A，再由已知得到A⊆B  ， 利用一元二次方程的根与系数的关系，即可求出a 的值.
（2）先求出集合A，再由已知得到A⊆B  ， 分两种情况讨论集合B，利用一元二次方程根的情况列式，即可求出a  的范围.第 6 题:【答案】 （1）解： （或其它底在（0，1）上的对数函数）
（2）解：函数 在区间（0，+∞）上具有性质L．  证明：任取x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x则 = = ∵x1、x2∈（0，+∞）且x1≠x2  ， ∴（x1﹣x2）2＞0，2x1•x2（x1+x2）＞0即 ＞0，∴ 所以函数 在区间（0，+∞）上具有性质L
（3）解：任取x1、x2∈（0，1），且x1≠x2则 = = = ∵x1、x2∈（0，1）且x1≠x2  ， ∴（x1﹣x2）2＞0，4x1•x2（x1+x2）＞0要使上式大于零，必须2﹣a•x1•x2（x1+x2）＞0在x1、x2∈（0，1）上恒成立，即 ，∴a≤1，即实数a的取值范围为（﹣∞，1]【解析】【分析】（1）写出的函数是下凹的函数即可；（2）函数 在区间（0，+∞）上具有性质L．根据定义，任取x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2
只需要证明 ＞0即可；（3）任取x1、x2∈（0，1），且x1≠x2则 ＞0，只需要2﹣a•x1•x2（x1+x2）＞0在x1、x2∈（0，1）上恒成立，即 ，故可求实数a的取值范围．第 7 题:【答案】 （1）解：因为f（a）﹣f（﹣1）=|2a+2|﹣5﹣（|a+1|﹣5）=|a+1|≥0，于是f（a）≥f（﹣1）．  当且仅当a=﹣1时等号成立；
（2）当a=﹣5时， ， 可知函数f（x）的图象和轴围成的图形是一个三角形，其中与轴的两个交点分别为A（﹣2，0）， ，三角形另一顶点坐标为C（﹣1，﹣1），从而△ABC面积为 ．【解析】【分析】（1）f（﹣1）与f（a）作差化简表达式推出结果．（2）去掉绝对值，通过三角形的坐标，推出面积，得到结果．第 8 题:【答案】 （1）证明：当m=n=1时，f（x）= ．  由于f（1）= =﹣ ，f（﹣1）= = ，所以f（﹣1）≠﹣f（1），f（x）不是奇函数
（2）解：f（x）是奇函数时，f（﹣x）=﹣f（x），  即 =﹣ ，对定义域内任意实数x成立．化简整理得（2m﹣n）•22x+（2mn﹣4）•2x+（2m﹣n）=0，这是关于x的恒等式，所以2mn﹣4=0，2m﹣n=0解得n=﹣2或n=2．经检验m=1，n=2符合题意
（3）解：由（2）可知，f（x）= ，  易判断f（x）是R上单调减函数．由f（f（x））+f（ ）＜0，得f（f（x））＜f（ ），f（x）＞﹣ ，2x＜4，得x＜2即f（x）＞0的解集为（﹣∞，2）【解析】【分析】（1）通过当m=n=1时，化简f（x），通过求解f（﹣1）≠﹣f（1），证明f（x）不是奇函数．（2）通过f（﹣x）=﹣f（x），通过待定系数法求解即可．（3）判断f（x）是R上单调减函数．利用单调性转化求解不等式即可．第 9 题:【答案】 （1）解：因为 为奇函数，所以对于定义域内任意 ，都有 ，即 ，∴ ，显然 ，由于奇函数定义域关于原点对称，所以必有 .上面等式左右两边同时乘以 得：，化简得: ，上式对定义域内任意 恒成立，所以必有 ，解得 .
（2）解：由（1）知 ，所以 ，即 ，由 得 或 ，所以函数 定义域 ，由题意，要求方程 解的个数，即求方程：在定义域 上的解的个数.令 ，显然 在区间 和 均单调递增，又 ， 且 ， ，所以函数 在区间 和 上各有一个零点，即方程 在定义域 上有2个解，所以函数 与函数 的图象有2个公共点.
（3）解：要使 时，函数 的图象始终在函数 的图象的上方，必须使 在 上恒成立，令 ，则 ，上式整理得 在 恒成立.令 ， .① 当 ，即 时， 在 上单调递增，所以 ，恒成立；②当 ，即 时， 在 上单调递减，只需 ，解得 与 矛盾；③当 ，即 时，在 上单调递减，在 上单调递增，所以由 ，解得 ，又 ，所以 .综合①②③得 的取值范围是 【解析】【分析】（1）奇函数满足条件, 将函数解析式代入并化简得到,又对任意成立，所以;
（2）要求两函数图像交点个数，可转化为方程在相应区间上的根的个数问题. 题中由得方程， 又, 故方程根的个数为2.
（3）问题转化为在上恒成立，令, 则有在恒成立，最后问题转化为关于t的二次函数在[2,4)上恒大于0，讨论对称轴的位置，最后可得a的取值范围。第 10 题:【答案】 （1）解：周期T=π，所以ω=2，当 时， ，   得 ，又﹣π＜φ＜0，所以取k=﹣1，得 所以 ，由 ，得 ，k∈Z所以函数y=f（x）的单调递增区间是得 （k∈Z）
（2）解：当 时， ，所以 ， 所以log2k=﹣f（x）∈[﹣1，2]，得 【解析】【分析】（1）直接求解函数的周期，利用函数的对称性，列出方程求解φ，然后利用正弦函数的单调增区间求解即可．（2）转化求解函数的值域，利用对数的运算法则，化简求解即可．