初中数学人教版八年级下册16.1 二次根式优秀课时训练

这是一份初中数学人教版八年级下册16.1 二次根式优秀课时训练，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列的式子一定是二次根式的是( )
A.eq \r(a) B.eq \r(3,a) C．－eq \r(a) D.eq \r(a2)
2．若二次根式eq \r(x－5)有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是( )
3．下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A.eq \r(25a) B.eq \r(a2＋b2) C.eq \r(\f(a,2)) D.eq \r(0.5)
4．下列计算正确的是( )
A．5eq \r(3)－2eq \r(3)＝3 B．2eq \r(2)×3eq \r(2)＝6eq \r(2) C.eq \r(3)＋2eq \r(3)＝3 D．3eq \r(3)÷eq \r(3)＝3
5．下列根式：①eq \r(18)；②eq \r(2)；③eq \r(\f(3,2))；④eq \r(3)，化为最简二次根式后，被开方数相同的是( )
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④
6.eq \r(11)的整数部分是x，小数部分是y，则y(x＋eq \r(11))的值为( )
A．3－eq \r(11) B．9－3eq \r(11) C．－2 D．2
7．已知a＝3＋2eq \r(2)，b＝3－2eq \r(2)，则a2b－ab2的值为( )
A．1 B．17 C．4eq \r(2) D．－4eq \r(2)
8．已知a，b，c为△ABC的三边长，且eq \r(a2－2ab＋b2)＋|b－c|＝0，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
9．已知x，y为实数，且eq \r(3x＋4)＋y2－6y＋9＝0.若axy－3x＝y，则实数a的值为( )
A.eq \f(1,4) B．－eq \f(1,4) C.eq \f(7,4) D．－eq \f(7,4)
10．已知实数x，y满足：y＝eq \f(\r(x2－16)＋\r(16－x2)＋24,x－4)，则eq \r(xy＋13)的值为( )
A．0 B.eq \r(37) C.eq \r(13) D．5
二、填空题(每题3分，共30分)
11．计算：eq \r(24)－3eq \r(\f(2,3))＝________．
12．若最简二次根式eq \r(3a－1)与eq \r(2a＋3)可以合并，则a的值为________．
13．已知x－eq \f(1,x)＝eq \r(6)，则x2＋eq \f(1,x2)＝________．
14．当x＝eq \r(5)－1时，代数式x2＋2x＋3的值是________．
15．在△ABC中，a，b，c为三角形的三边长，化简eq \r(（a－b＋c）2)－2|c－a－b|＝__________．
16．已知x，y为实数，且y＝eq \r(x2－9)－eq \r(9－x2)＋4，则x－y的值为__________．
17．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简eq \r(a2)－eq \r(b2)＋eq \r(（a－b）2)的结果是________．
18．若实数m满足eq \r(（m－2）2)＝m＋1，且0＜m＜eq \r(3)，则m的值为________．
19．若xy＞0，则式子xeq \r(－\f(y,x2))化简的结果为________．
20．观察下列式子：eq \r(1＋\f(1,12)＋\f(1,22))＝1eq \f(1,2)；eq \r(1＋\f(1,22)＋\f(1,32))＝1eq \f(1,6)；eq \r(1＋\f(1,32)＋\f(1,42))＝1eq \f(1,12)；…根据此规律，若eq \r(1＋\f(1,a2)＋\f(1,b2))＝1eq \f(1,90)，则a2＋b2的值为________．
三、解答题(21题12分，26，27题每题10分，其余每题7分，共60分)
21．计算：
(1)(eq \r(6)＋eq \r(8))×eq \r(3)÷3eq \r(2)；
(2)eq \r(48)÷eq \r(3)－eq \r(\f(1,2))×eq \r(12)＋eq \r(24)；
(3)(3＋2eq \r(5))2－(4＋eq \r(5))(4－eq \r(5))；
(4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(－1)－eq \r(12)＋(1－eq \r(2))0－|eq \r(3)－2|.
22．先化简，再求值：eq \f(a2－b2,a)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(2ab－b2,a)))，其中a＝eq \r(5)＋2，b＝eq \r(5)－2.
23．已知a，b，c是△ABC的三边长，化简：eq \r(（a＋b＋c）2)－eq \r(（b＋c－a）2)＋eq \r(（c－b－a）2).
24．已知a＋b＝－2，ab＝eq \f(1,2)，求eq \r(\f(b,a))＋eq \r(\f(a,b))的值．
25．观察下列各式：
①eq \r(2－\f(2,5))＝eq \r(\f(8,5))＝2eq \r(\f(2,5))；②eq \r(3－\f(3,10))＝eq \r(\f(27,10))＝3eq \r(\f(3,10))；③eq \r(4－\f(4,17))＝eq \r(\f(64,17))＝4eq \r(\f(4,17)).
(1)根据你发现的规律填空：eq \r(5－\f(5,26))＝________＝________；
(2)猜想eq \r(n－\f(n,n2＋1))(n≥2，n为自然数)等于什么？并通过计算证实你的猜想．
26．如图，有一张边长为6eq \r(2) cm的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，且小正方形的边长为eq \r(2) cm.求：
(1)剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积；
(2)长方体盒子的体积．
27．阅读材料：
小明在学习完二次根式后，发现一些式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2eq \r(2)＝(1＋eq \r(2))2.善于思考的小明进行了如下探索：
设a＋beq \r(2)＝(m＋neq \r(2))2(其中a，b，m，n均为正整数)，则有a＋beq \r(2)＝m2＋2n2＋2mneq \r(2)，
故a＝m2＋2n2，b＝2mn.
这样小明就找到了把类似a＋beq \r(2)的式子化为完全平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a，b，m，n均为正整数时，若a＋beq \r(3)＝(m＋neq \r(3))2，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a＝________，b＝________；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：________＋________eq \r(3)＝(________＋________eq \r(3))2；
(3)若a＋4eq \r(3)＝(m＋neq \r(3))2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
答案
一、1.D 2.B 3.B 4.D 5.A 6.D
7．C
8．B 点拨：原等式可化为|a－b|＋|b－c|＝0，∴a－b＝0且b－c＝0，∴a＝b＝c，即△ABC是等边三角形．
9．A 10.D
二、11.eq \r(6)
12．4 点拨：∵最简二次根式eq \r(3a－1)与eq \r(2a＋3)可以合并，∴它们的被开方数相同，即3a－1＝2a＋3，解得a＝4.
13．8 点拨：x2＋eq \f(1,x2)＝x2＋eq \f(1,x2)－2＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))eq \s\up12(2)＋2＝(eq \r(6))2＋2＝6＋2＝8.
14．7
15．－a－3b＋3c 点拨：∵a，b，c为三角形的三边长，∴a＋c＞b，a＋b＞c，即a－b＋c＞0，c－a－b＜0.∴eq \r(（a－b＋c）2)－2|c－a－b|＝(a－b＋c)＋2(c－a－b)＝－a－3b＋3c.
16．－1或－7 点拨：由二次根式有意义，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－9≥0，,9－x2≥0，))解得x2＝9，∴x＝±3，∴y＝4，∴x－y＝－1或－7.
17．－2a 点拨：由题中数轴可以看出，a＜0，b＞0，所以a－b＜0，所以eq \r(a2)－eq \r(b2)＋eq \r(（a－b）2)＝－a－b＋[－(a－b)]＝－a－b－a＋b＝－2a.
18.eq \f(1,2)
19．－eq \r(－y) 点拨：由题意知x＜0，y＜0，所以xeq \r(－\f(y,x2))＝－eq \r(－y).解此类题要注意二次根式的隐含条件：被开方数是非负数．
20．181
三、21.解：(1)原式＝(3eq \r(2)＋2eq \r(6))÷3eq \r(2)＝1＋eq \f(2,3) eq \r(3)；
(2)原式＝4eq \r(3)÷eq \r(3)－eq \r(\f(1,2)×12)＋2eq \r(6)＝4－eq \r(6)＋2eq \r(6)＝4＋eq \r(6)；
(3)原式＝9＋12eq \r(5)＋20－(16－5)＝29＋12eq \r(5)－11＝18＋12eq \r(5)；
(4)原式＝－2－2eq \r(3)＋1－(2－eq \r(3))＝－2－2eq \r(3)＋1－2＋eq \r(3)＝－3－eq \r(3).
22．解：原式＝eq \f(（a＋b）（a－b）,a)÷eq \f(a2－2ab＋b2,a)＝eq \f(（a＋b）（a－b）,a)·eq \f(a,（a－b）2)＝eq \f(a＋b,a－b).
当a＝eq \r(5)＋2，b＝eq \r(5)－2时，
原式＝eq \f(\r(5)＋2＋\r(5)－2,\r(5)＋2－\r(5)＋2)＝eq \f(2\r(5),4)＝eq \f(\r(5),2).
23．解：∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴a＋b＋c＞0，b＋c－a＞0，c－b－a＜0.
∴原式＝a＋b＋c－(b＋c－a)＋(a＋b－c)＝3a＋b－c.
24．解：由题意知a＜0，b＜0，
所以原式＝eq \r(\f(ab,a2))＋eq \r(\f(ab,b2))＝eq \f(\r(ab),\r(a2))＋eq \f(\r(ab),\r(b2))＝eq \f(\r(ab),－a)＋eq \f(\r(ab),－b)＝－eq \f(（a＋b）\r(ab),ab)＝－eq \f(（－2）×\r(\f(1,2)),\f(1,2))＝2eq \r(2).
点拨：此题易出现以下错误：
原式＝eq \f(\r(b),\r(a))＋eq \f(\r(a),\r(b))＝eq \f(a＋b,\r(ab))＝eq \f(－2,\r(\f(1,2)))＝－2eq \r(2).
出错的原因在于忽视了隐含条件，进而导致在解答过程中进行了非等价变形．事实上，由a＋b＝－2，ab＝eq \f(1,2)，可知a＜0，b＜0，所以将eq \r(\f(b,a))＋eq \r(\f(a,b))变形成eq \f(\r(b),\r(a))＋eq \f(\r(a),\r(b))是不成立的．
25．解：(1)eq \r(\f(125,26))；5eq \r(\f(5,26))
(2)猜想：eq \r(n－\f(n,n2＋1))＝neq \r(\f(n,n2＋1)).
验证：当n≥2，n为自然数时，eq \r(n－\f(n,n2＋1))＝eq \r(\f(n3＋n,n2＋1)－\f(n,n2＋1))＝eq \r(\f(n3,n2＋1))＝neq \r(\f(n,n2＋1)).
26．解：(1)纸板的面积为：(6eq \r(2))2－4×(eq \r(2))2＝64(cm2)．
(2)长方体盒子的体积为：(6eq \r(2)－2eq \r(2))(6eq \r(2)－2eq \r(2))×eq \r(2)＝32eq \r(2)(cm3)．
27．解：(1)m2＋3n2；2mn
(2)12；6；3；1(答案不唯一)
(3)由b＝2mn，得4＝2mn，
则mn＝2.
因为a，m，n均为正整数，
所以mn＝1×2或mn＝2×1，
即m＝1，n＝2或m＝2，n＝1.
当m＝1，n＝2时，a＝m2＋3n2＝12＋3×22＝13；
当m＝2，n＝1时，a＝m2＋3n2＝22＋3×12＝7.
因此a的值为13或7.