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高中数学苏教版 (2019)必修 第二册9.1 向量概念评优课课件ppt
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这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册9.1 向量概念评优课课件ppt，共59页。PPT课件主要包含了必备知识·自主学习，关键能力·合作学习，课堂检测·素养达标等内容，欢迎下载使用。
1.向量与数量的概念(1)既有大小又有_____的量叫作向量.(2)只有大小没有_____的量叫作数量.2.有向线段(1)定义:具有_____的线段叫作有向线段.(2)表示方法:以A为起点、B为终点的有向线段记作 .(3)长度:线段AB的长度也叫作有向线段 的长度,记作_____.(4)三个要素:_____、方向、长度.
【思考】向量与有向线段的联系和区别是什么?提示:(1)有向线段是表示向量的一种图形.(2)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,这两个向量就是相同的向量.(3)有向线段有起点、长度和方向三个要素,起点不同,尽管长度和方向相同,也是不同的有向线段.
3.向量的表示方法(1)用有向线段表示:用有向线段 表示的向量记作___.有向线段的长度| |表示向量的_____,有向线段的方向表示向量的_____.(2)字母表示法:在印刷时,用黑体小写字母a,b,c,…表示向量,手写时,可写成带箭头的小写字母 , , ….
4.向量的模及两个特殊向量(1)向量的模:向量 的大小称为向量 的长度(或称模),记作 .(2)零向量:长度为___的向量叫作零向量,记作__.(3)单位向量:长度等于__个单位长度的向量,叫作单位向量.
【思考】0与0相同吗?0是不是没有方向?提示:0与0不同,0是一个实数,0是一个向量,且|0|=0.0有方向,其方向是任意的.
5.相等向量(1)定义:长度_____且方向_____的向量叫作相等向量.(2)表示方法:向量a与b相等,记作____.
6.平行向量(或共线向量)(1)定义和表示方法
(2)本质:平行向量反映的是两个向量的方向关系,表示两个共线向量的有向线段所在直线可以平行,也可以重合.(3)应用:①证明直线与直线平行;②证明三点共线.
【思考】“向量平行”与“几何中的平行”一样吗?提示:向量平行与几何中的直线平行不同,向量平行包括所在直线重合的情况,故也称向量共线.
7.向量的夹角(1)定义:已知两个_____向量a,b,O是平面上的任意一点,作 =a, =b,则______=θ____________叫作向量a与b的夹角(如图所示).
【思考】(1)等边△ABC中,向量 , 所成的角是60°吗?提示:向量 , 所成的角是120°.(2)向量夹角的范围与异面直线所成的角的范围相同吗?提示:向量的夹角和直线的夹角范围是不同的,它们分别是[0,π]和[0, ] .
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)两个向量能比较大小.( )(2)任意两个单位向量都相等.( )(3)向量 与向量 是相等向量.( )(4)若 ,则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点.( )
提示:(1)×.两个向量不能比较大小.(2)×.任意两个单位向量只是长度相等,方向不一定相同,故不一定相等.(3)×.向量 与向量 方向相反,不是相等向量.(4)×.若 ,则A,B,C,D也可能落在同一条直线上.
2.已知向量a如图所示,下列说法不正确的是( ) A.也可以用 表示B.方向是由M指向NC.起点是MD.终点是M【解析】选D.根据向量的表示方法判断即可.
3.(教材二次开发:例题改编)如图所示,四边形ABCD和BCEF都是平行四边形.(1)写出与 相等的向量:________; (2)写出与 共线的向量:________. 答案:(1) (2)
类型一 向量的概念、零向量与单位向量(数学抽象) 【题组训练】1.下列说法中正确的是( )A.0与0表示的含义相同B.长度为0的向量都是零向量C.单位向量的模等于1 cmD.单位向量的方向都相同
【解析】选B.0与0表示的含义是不同的.0表示数量,但0表示零向量,其中|0|=0.因此A错误;由零向量的定义知B正确;单位向量的模等于1个单位长度,而不是具体的1 cm,因此C错误;单位向量的方向要因具体情况而定,因此D错误.
2.如图,O为边长为1的正六边形ABCDEF的中心.根据图中标出的向量,回答下列问题:(1) 与 的长度相等吗?它们是相等向量吗?(2) 与 的长度相等吗?它们平行吗?它们是相等向量吗?
【解析】(1) 与 的长度相等,都是1,即| |=| |,但 与 不是相等向量.(2)| |=| |,且 ∥ ,但 与 不是相等向量,因为 与 的方向相反.
3.判断下列各命题是否正确.(1)因为| |=| |,所以 = ;(2)因为|0|=0,所以0=0.【解析】(1)不正确. 表示以A为起点,B为终点,方向从A指向B; 表示以B为起点,A为终点,方向从B指向A;虽然| |=| |,但 与 的方向不同.(2)不正确.向量是既有大小又有方向的量,而数量只有大小没有方向,故0≠0.
【解题策略】1.判断一个量是否为向量的两个关键条件(1)有大小.(2)有方向.两个条件缺一不可.2.理解零向量和单位向量应注意的问题(1)零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等.(2)单位向量不一定相等,易忽略向量的方向.提醒:两个单位向量的模相等,但这两个单位向量不一定相等.
【补偿训练】给出下列说法:①零向量是没有方向的;②零向量的长度为0;③零向量的方向是任意的;④单位向量的模都相等.其中正确的是________(填序号).
【解析】由零向量的方向是任意的,知①错误,③正确;由零向量的定义知②正确;由单位向量的模是1,知④正确.答案:②③④
类型二 相等向量与共线向量(数学抽象、直观想象)【题组训练】 角度1 概念辨析 【典例】有下列说法:①若a≠b,则a一定不与b共线;②在▱ABCD中,一定有 ;③若a=b,b=c,则a=c;④共线向量是在一条直线上的向量.其中,正确的说法是________.(填序号)
【思路导引】依据相等向量和共线向量的定义逐个判断.要特别注意向量共线与平面几何中多点共线的区别.
【解析】对于①,两个向量不相等,可能是长度不相等,但方向相同或相反,所以a与b有共线的可能,故①不正确;对于②,在▱ABCD中,| |=| |, 与 平行且方向相同,所以 = ,故②正确;对于③,a=b,则|a|=|b|,且a与b方向相同;b=c,则|b|=|c|,且b与c方向相同,所以a与c方向相同且模相等,故a=c,故③正确;对于④,共线向量可以是在一条直线上的向量,也可以是所在直线互相平行的向量,故④不正确.答案:②③
【变式探究】将本例③改为若a∥b,b∥c,则a∥c.判断此说法是否正确.【解析】因为当b=0时,a,c可以是任意向量,故a,c不一定平行;只有当b≠0时,才有a∥b,b∥c,则a∥c.
角度2 相等向量、平行向量 【典例】如图所示,O为正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形.在图中所示的向量中:(1)分别写出与 , 相等的向量;(2)写出与 共线的向量.
【思路导引】(1)找与 (或 )长度相等且方向相同的向量;(2)找与 方向相同或相反的向量.
【解析】(1)因为| |=| |=| |,且 , 与 的方向相同,所以与 相等的向量是 , .同理,与 相等的向量是 .(2)因为AO∥DE∥BF,A,O,C三点共线,所以与 共线的向量是 , , , .
【解题策略】1.相等向量的判断方法先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向的.2.共线向量的判断方法先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向或反向的向量.3.共线向量与相等向量的关系相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定是相等向量.若两向量相等,则两向量方向相同,模相等;若两向量共线,则两向量方向相同或相反.
【题组训练】1.给出以下5个条件:①a=b;②|a|=|b|;③a与b的方向相反;④|a|=0或|b|=0;⑤a与b都是单位向量.其中能使a∥b成立的是________.(填序号) 【解析】相等向量一定是共线向量,①能使a∥b;方向相同或相反的向量一定是共线向量,③能使a∥b;零向量与任一向量平行,④成立.答案:①③④
2.如图,四边形ABCD是平行四边形,四边形ABDE是矩形.(1)找出与 相等的向量.(2)找出与 共线的向量.
【解析】(1)由四边形ABCD是平行四边形,四边形ABDE是矩形知, , 与 的长度相等且方向相同,所以与 相等的向量为 , .(2)由题干图可知, , , 与 方向相同, , , , 与 方向相反,所以与 共线的向量有 , , , , , , .
3.如图,以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中: (1)写出与 相等的向量;(2)写出与 模相等的向量.
【解析】(1)与 相等的向量为 ,与 相等的向量为 .(2)与 模相等的向量为 .
类型三 向量的应用(直观想象、逻辑推理)【典例】一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点,然后改变方向向北偏西40°行驶了200 km到达C点,又改变方向,向东行驶了100 km到达D点.(1)作出向量 ;(2)求| |.
1.准确画出向量的方法和注意事项(1)方法①确定向量的起点.②根据运动方向确定向量的方向,并根据向量的大小确定向量的终点.(2)注意事项用有向线段来表示向量是向量的几何表示,必须确定起点、长度和终点,三者缺一不可.
2.向量的常见应用(1)相等向量的应用利用向量的相等,可以证明线段相等或直线平行,但在证明直线平行时需说明两向量所在的直线无公共点.(2)平行向量的应用用平行向量可以证明直线平行和三点共线,证明直线平行时需说明两向量所在的直线无公共点.
【跟踪训练】如图所示,在四边形ABCD中, ,N,M分别是AD,BC上的点,且 .求证: .
【证明】因为 ,所以| |=| |,且AB∥CD,所以四边形ABCD是平行四边形.所以| |=| |,且DA∥CB.又因为 与 的方向相同,所以 = .同理可证四边形CNAM是平行四边形,所以 .因为| |=| |,| |=| |,所以| |=| |,DN∥MB,即 与 的模相等且方向相同,所以 = .
【补偿训练】如图所示的方格由若干个边长为1的小正方形并在一起组成,方格中有定点A,点C为小正方形的顶点,且| |= ,画出所有可能的向量 .
【解析】画出所有的向量 ,如图:
1.如图,在▱ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,图中与 平行的向量的个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.图中与 平行的向量为 共3个.
2.下列说法中正确的是( )A.若a≠b,则|a|≠|b|B.模为0的向量的方向是不确定的C.向量就是有向线段D.任意两个单位向量的方向相同
【解析】选B.a与b方向不同但模相等时,a≠b,故A错误;模为0的向量为零向量,零向量的方向是不确定的,B正确;有向线段是向量的几何表示,是个图形,而向量是带方向的量,不是有向线段,C错误;任意两个单位向量的长度相等,但方向不一定相同,D错误.
3.如图所示,在△ABC中,点D,E分别是AB和AC边的中点,则下列结论正确的是( )A. 和 共线B. 和 共线C. 和 共线D. 和 共线
【解析】选A.因为点D,E分别是AB和AC边的中点,所以DE∥BC,所以 和 共线;选项B,C,D中的向量不共线.
4.给出下列几种说法:①若A,B,C三点共线,则 ∥ ;②任一非零向量都可以平行移动;③长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量.其中说法正确的是________.(填序号)
【解析】①正确.由A,B,C三点共线可知, 与 方向相同或相反,所以 ∥ ;②正确.方向相同且长度相等的两个向量是相等向量,这说明任一非零向量都可以平行移动;③错误.方向相反的两个向量是共线向量.答案:①②
5.(教材二次开发:习题改编)在如图所示的坐标纸(每个方格的边长均为1)中,用直尺和圆规画出下列向量.(1)| |=3,点A在点O正西方向;(2)| |=3 ,点B在点O北偏西45°方向;(3)| |=2,点C在点O南偏东60°方向.
1.向量与数量的概念(1)既有大小又有_____的量叫作向量.(2)只有大小没有_____的量叫作数量.2.有向线段(1)定义:具有_____的线段叫作有向线段.(2)表示方法:以A为起点、B为终点的有向线段记作 .(3)长度:线段AB的长度也叫作有向线段 的长度,记作_____.(4)三个要素:_____、方向、长度.
【思考】向量与有向线段的联系和区别是什么?提示:(1)有向线段是表示向量的一种图形.(2)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,这两个向量就是相同的向量.(3)有向线段有起点、长度和方向三个要素,起点不同,尽管长度和方向相同,也是不同的有向线段.
3.向量的表示方法(1)用有向线段表示:用有向线段 表示的向量记作___.有向线段的长度| |表示向量的_____,有向线段的方向表示向量的_____.(2)字母表示法:在印刷时,用黑体小写字母a,b,c,…表示向量,手写时,可写成带箭头的小写字母 , , ….
4.向量的模及两个特殊向量(1)向量的模:向量 的大小称为向量 的长度(或称模),记作 .(2)零向量:长度为___的向量叫作零向量,记作__.(3)单位向量:长度等于__个单位长度的向量,叫作单位向量.
【思考】0与0相同吗?0是不是没有方向?提示:0与0不同,0是一个实数,0是一个向量,且|0|=0.0有方向,其方向是任意的.
5.相等向量(1)定义:长度_____且方向_____的向量叫作相等向量.(2)表示方法:向量a与b相等,记作____.
6.平行向量(或共线向量)(1)定义和表示方法
(2)本质:平行向量反映的是两个向量的方向关系,表示两个共线向量的有向线段所在直线可以平行,也可以重合.(3)应用:①证明直线与直线平行;②证明三点共线.
【思考】“向量平行”与“几何中的平行”一样吗?提示:向量平行与几何中的直线平行不同,向量平行包括所在直线重合的情况,故也称向量共线.
7.向量的夹角(1)定义:已知两个_____向量a,b,O是平面上的任意一点,作 =a, =b,则______=θ____________叫作向量a与b的夹角(如图所示).
【思考】(1)等边△ABC中,向量 , 所成的角是60°吗?提示:向量 , 所成的角是120°.(2)向量夹角的范围与异面直线所成的角的范围相同吗?提示:向量的夹角和直线的夹角范围是不同的,它们分别是[0,π]和[0, ] .
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)两个向量能比较大小.( )(2)任意两个单位向量都相等.( )(3)向量 与向量 是相等向量.( )(4)若 ,则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点.( )
提示:(1)×.两个向量不能比较大小.(2)×.任意两个单位向量只是长度相等,方向不一定相同,故不一定相等.(3)×.向量 与向量 方向相反,不是相等向量.(4)×.若 ,则A,B,C,D也可能落在同一条直线上.
2.已知向量a如图所示,下列说法不正确的是( ) A.也可以用 表示B.方向是由M指向NC.起点是MD.终点是M【解析】选D.根据向量的表示方法判断即可.
3.(教材二次开发:例题改编)如图所示,四边形ABCD和BCEF都是平行四边形.(1)写出与 相等的向量:________; (2)写出与 共线的向量:________. 答案:(1) (2)
类型一 向量的概念、零向量与单位向量(数学抽象) 【题组训练】1.下列说法中正确的是( )A.0与0表示的含义相同B.长度为0的向量都是零向量C.单位向量的模等于1 cmD.单位向量的方向都相同
【解析】选B.0与0表示的含义是不同的.0表示数量,但0表示零向量,其中|0|=0.因此A错误;由零向量的定义知B正确;单位向量的模等于1个单位长度,而不是具体的1 cm,因此C错误;单位向量的方向要因具体情况而定,因此D错误.
2.如图,O为边长为1的正六边形ABCDEF的中心.根据图中标出的向量,回答下列问题:(1) 与 的长度相等吗?它们是相等向量吗?(2) 与 的长度相等吗?它们平行吗?它们是相等向量吗?
【解析】(1) 与 的长度相等,都是1,即| |=| |,但 与 不是相等向量.(2)| |=| |,且 ∥ ,但 与 不是相等向量,因为 与 的方向相反.
3.判断下列各命题是否正确.(1)因为| |=| |,所以 = ;(2)因为|0|=0,所以0=0.【解析】(1)不正确. 表示以A为起点,B为终点,方向从A指向B; 表示以B为起点,A为终点,方向从B指向A;虽然| |=| |,但 与 的方向不同.(2)不正确.向量是既有大小又有方向的量,而数量只有大小没有方向,故0≠0.
【解题策略】1.判断一个量是否为向量的两个关键条件(1)有大小.(2)有方向.两个条件缺一不可.2.理解零向量和单位向量应注意的问题(1)零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等.(2)单位向量不一定相等,易忽略向量的方向.提醒:两个单位向量的模相等,但这两个单位向量不一定相等.
【补偿训练】给出下列说法:①零向量是没有方向的;②零向量的长度为0;③零向量的方向是任意的;④单位向量的模都相等.其中正确的是________(填序号).
【解析】由零向量的方向是任意的,知①错误,③正确;由零向量的定义知②正确;由单位向量的模是1,知④正确.答案:②③④
类型二 相等向量与共线向量(数学抽象、直观想象)【题组训练】 角度1 概念辨析 【典例】有下列说法:①若a≠b,则a一定不与b共线;②在▱ABCD中,一定有 ;③若a=b,b=c,则a=c;④共线向量是在一条直线上的向量.其中,正确的说法是________.(填序号)
【思路导引】依据相等向量和共线向量的定义逐个判断.要特别注意向量共线与平面几何中多点共线的区别.
【解析】对于①,两个向量不相等,可能是长度不相等,但方向相同或相反,所以a与b有共线的可能,故①不正确;对于②,在▱ABCD中,| |=| |, 与 平行且方向相同,所以 = ,故②正确;对于③,a=b,则|a|=|b|,且a与b方向相同;b=c,则|b|=|c|,且b与c方向相同,所以a与c方向相同且模相等,故a=c,故③正确;对于④,共线向量可以是在一条直线上的向量,也可以是所在直线互相平行的向量,故④不正确.答案:②③
【变式探究】将本例③改为若a∥b,b∥c,则a∥c.判断此说法是否正确.【解析】因为当b=0时,a,c可以是任意向量,故a,c不一定平行;只有当b≠0时,才有a∥b,b∥c,则a∥c.
角度2 相等向量、平行向量 【典例】如图所示,O为正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形.在图中所示的向量中:(1)分别写出与 , 相等的向量;(2)写出与 共线的向量.
【思路导引】(1)找与 (或 )长度相等且方向相同的向量;(2)找与 方向相同或相反的向量.
【解析】(1)因为| |=| |=| |,且 , 与 的方向相同,所以与 相等的向量是 , .同理,与 相等的向量是 .(2)因为AO∥DE∥BF,A,O,C三点共线,所以与 共线的向量是 , , , .
【解题策略】1.相等向量的判断方法先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向的.2.共线向量的判断方法先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向或反向的向量.3.共线向量与相等向量的关系相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定是相等向量.若两向量相等,则两向量方向相同,模相等;若两向量共线,则两向量方向相同或相反.
【题组训练】1.给出以下5个条件:①a=b;②|a|=|b|;③a与b的方向相反;④|a|=0或|b|=0;⑤a与b都是单位向量.其中能使a∥b成立的是________.(填序号) 【解析】相等向量一定是共线向量,①能使a∥b;方向相同或相反的向量一定是共线向量,③能使a∥b;零向量与任一向量平行,④成立.答案:①③④
2.如图,四边形ABCD是平行四边形,四边形ABDE是矩形.(1)找出与 相等的向量.(2)找出与 共线的向量.
【解析】(1)由四边形ABCD是平行四边形,四边形ABDE是矩形知, , 与 的长度相等且方向相同,所以与 相等的向量为 , .(2)由题干图可知, , , 与 方向相同, , , , 与 方向相反,所以与 共线的向量有 , , , , , , .
3.如图,以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中: (1)写出与 相等的向量;(2)写出与 模相等的向量.
【解析】(1)与 相等的向量为 ,与 相等的向量为 .(2)与 模相等的向量为 .
类型三 向量的应用(直观想象、逻辑推理)【典例】一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点,然后改变方向向北偏西40°行驶了200 km到达C点,又改变方向,向东行驶了100 km到达D点.(1)作出向量 ;(2)求| |.
1.准确画出向量的方法和注意事项(1)方法①确定向量的起点.②根据运动方向确定向量的方向,并根据向量的大小确定向量的终点.(2)注意事项用有向线段来表示向量是向量的几何表示,必须确定起点、长度和终点,三者缺一不可.
2.向量的常见应用(1)相等向量的应用利用向量的相等,可以证明线段相等或直线平行,但在证明直线平行时需说明两向量所在的直线无公共点.(2)平行向量的应用用平行向量可以证明直线平行和三点共线,证明直线平行时需说明两向量所在的直线无公共点.
【跟踪训练】如图所示,在四边形ABCD中, ,N,M分别是AD,BC上的点,且 .求证: .
【证明】因为 ,所以| |=| |,且AB∥CD,所以四边形ABCD是平行四边形.所以| |=| |,且DA∥CB.又因为 与 的方向相同,所以 = .同理可证四边形CNAM是平行四边形,所以 .因为| |=| |,| |=| |,所以| |=| |,DN∥MB,即 与 的模相等且方向相同,所以 = .
【补偿训练】如图所示的方格由若干个边长为1的小正方形并在一起组成,方格中有定点A,点C为小正方形的顶点,且| |= ,画出所有可能的向量 .
【解析】画出所有的向量 ,如图:
1.如图,在▱ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,图中与 平行的向量的个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.图中与 平行的向量为 共3个.
2.下列说法中正确的是( )A.若a≠b,则|a|≠|b|B.模为0的向量的方向是不确定的C.向量就是有向线段D.任意两个单位向量的方向相同
【解析】选B.a与b方向不同但模相等时,a≠b,故A错误;模为0的向量为零向量,零向量的方向是不确定的,B正确;有向线段是向量的几何表示,是个图形,而向量是带方向的量,不是有向线段,C错误;任意两个单位向量的长度相等,但方向不一定相同,D错误.
3.如图所示,在△ABC中,点D,E分别是AB和AC边的中点,则下列结论正确的是( )A. 和 共线B. 和 共线C. 和 共线D. 和 共线
【解析】选A.因为点D,E分别是AB和AC边的中点,所以DE∥BC,所以 和 共线;选项B,C,D中的向量不共线.
4.给出下列几种说法:①若A,B,C三点共线,则 ∥ ;②任一非零向量都可以平行移动;③长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量.其中说法正确的是________.(填序号)
【解析】①正确.由A,B,C三点共线可知, 与 方向相同或相反,所以 ∥ ;②正确.方向相同且长度相等的两个向量是相等向量,这说明任一非零向量都可以平行移动;③错误.方向相反的两个向量是共线向量.答案:①②
5.(教材二次开发:习题改编)在如图所示的坐标纸(每个方格的边长均为1)中,用直尺和圆规画出下列向量.(1)| |=3,点A在点O正西方向;(2)| |=3 ,点B在点O北偏西45°方向;(3)| |=2,点C在点O南偏东60°方向.
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