苏教版 (2019)必修 第二册9.3 向量基本定理及坐标表示评优课ppt课件

这是一份苏教版 (2019)必修 第二册9.3 向量基本定理及坐标表示评优课ppt课件，共54页。PPT课件主要包含了必备知识·自主学习，x1x2+y1y2，乘积的和，关键能力·合作学习，课堂检测·素养达标等内容，欢迎下载使用。

1.平面向量数量积的坐标表示
2.平面向量数量积的坐标表示的结论(1)结论
x1x2+y1y2=0
(2)本质:平面向量数量积的坐标表示及其结论实现了向量运算的完全代数化,并将数与形紧密结合起来.(3)应用:①求向量的模;②求向量的夹角;③判断两个向量垂直.
【思考】　已知向量a= ,则与a共线和垂直的单位向量的坐标分别是什么? 提示:与a共线的单位向量是a0,则a0=± a=其中正号、负号分别表示与a同向和反向;易知b= 和a= 垂直,所以与a垂直的单位向量b0的坐标是
【基础小测】(1)向量的模等于向量坐标的平方和.(　　)(2)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1y2-x2y1=0.(　　)(3)若两个非零向量的夹角θ满足cs θ<0,则两向量的夹角θ一定是钝角.(　　)
提示: (1)×.向量的模等于向量坐标的平方和的算术平方根.(2) ×.a⊥b⇔ x1x2+y1y2=0.(3)×.当两个向量方向相反时,它们的夹角θ=180°满足cs θ=-1<0.
2.若向量a=(-3,m),b=(1,-2),且a⊥b,则实数m的值为________. 【解析】因为a⊥b,所以a·b=(-3,m)·(1,-2)=-3-2m=0,解得m=- .答案:-
3.(教材二次开发:练习改编)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),a与b的夹角为θ,则cs θ=______. 【解析】cs θ=cs= = 答案:
类型一　数量积的坐标运算(数学运算) 【题组训练】1.若a=(2,-3),b=(x,2x)且3a·b=4,则x等于(　　)A.3　　　B. 　　　C.- 　　　D .-3
2.(2020·西安高一检测)如图,在等腰直角三角形ABC中,AB=AC= ,D,E是线段BC上的点,且DE= BC,则 的取值范围是(　　)
3.若a=(2,3),b=(-1,-2),c=(2,1),则(a·b)·c=________;a·(b·c)=________. 【解析】1.选C.因为3a·b=3(2,-3)·(x,2x)=(6,-9)·(x,2x)=6x-18x=-12x=4,所以x=- .
2.选A.如图所示,以BC所在直线为x轴,以BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(0,1),B(-1,0),C(1,0),设D(x,0),则E 据此有 则 据此可知当x=- 时, 取得最小值 ;当x=-1或 时 取得最大值 ,所以 的取值范围是
3.因为a·b=2×(-1)+3×(-2)=-8,所以(a·b)·c=-8×(2,1)=(-16,-8).因为b·c=(-1)×2+(-2)×1=-4,所以a·(b·c)=(2,3)×(-4)=(-8,-12).答案:(-16,-8)　(-8,-12)
【解题策略】　关于向量数量积的运算(1)进行数量积运算时,要正确使用公式a·b=x1x2+y1y2及向量的坐标运算,并注意与函数、方程等知识的联系.(2)向量数量积的运算有两种思路:一种是基向量法,另一种是坐标法,两者相互补充.如果题目中的图形是等腰三角形、矩形、正方形等特殊图形时,一般选择坐标法.
【补偿训练】1.已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k=(　　)A.-12B.-6C.6D.12【解析】选D.2a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k),由a·(2a-b)=0,得(2,1)·(5,2-k)=0,所以10+2-k=0,解得k=12.
2.已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则 的最小值是(　　)A.-2　　　B.- 　　　C.- 　　　D.-1
【解析】选B.以BC所在的直线为x轴,BC的垂直平分线AD为y轴,D为坐标原点建立平面直角坐标系,如图,可知A(0, ),B(-1,0),C(1,0).设P(x,y),则
所以 所以 当点P的坐标为 时, 取得最小值为- .
类型二　向量模的问题(数学运算) 【典例】已知向量a=(3,5),b=(-2,1).(1)求a-2b的坐标及模;(2)若c=a-(a·b)b,求|c|.
【解题策略】　向量模的问题(1)字母表示下的运算,利用|a|2=a2将向量模的运算转化为向量的数量积的运算.(2)坐标表示下的运算,若a=(x,y),则|a|=
【跟踪训练】(2020·牡丹江高一检测)在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线, =(2,4), =(1,3),则| |=________. 【解析】因为在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线, =(2,4), =(1,3),所以 =(1,3)-(2,4)=(-1,-1),所以 =(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5),则| |= 答案:
【补偿训练】　　　已知|a|=2 ,b=(3,-2),若a∥b,求a+b的坐标及|a+b|.
【解析】设a=(x,y),则由|a|=2 ,得x2+y2=52.由a∥b,可知2x+3y=0,解方程组 得 或 所以a=(-6,4)或a=(6,-4),所以a+b=(-3,2)或a+b=(9,-6),
所以|a+b|=或|a+b|=
类型三　向量夹角、垂直问题(数学运算) 　角度1　平面向量的夹角问题 【典例】已知a=(1,-1),b=(λ,1),若a与b的夹角θ为钝角,求实数λ的取值范围.【思路导引】a,b的夹角θ为钝角等价于a·b<0且θ≠180°.
【解析】因为a=(1,-1),b=(λ,1),所以|a|= ,|b|= a·b=λ-1.因为a,b的夹角θ为钝角,所以 即 所以λ<1且λ≠-1.所以λ的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,1).
【变式探究】　将本例条件改为“已知a=(1,2),b=(1,λ), a与b的夹角θ为锐角”,求实数λ的取值范围.【解析】由已知得,a·b=(1,2)·(1,λ)=1+2λ.因为a与b的夹角为锐角,所以cs θ>0且cs θ≠1,所以a·b>0且a,b不同向.由a·b>0,得λ>- ,由a与b同向得λ=2.所以实数λ的取值范围为 ∪(2,+∞).
　角度2　平面向量的垂直问题 【典例】(2020·张家界高一检测)已知向量a= ,b= ,向量x=ka+b,y=a-3b.(1)求向量x,y的坐标;(2)若x⊥y,求实数k的值.【思路导引】(1)根据向量的坐标运算可得出答案;(2)根据向量垂直的坐标表示列方程,解方程得出答案.
【解析】(1)因为a= ,b= ,所以x=ka+b=k + = y=a-3b= -3 = (2)因为x⊥y,所以x·y=0,即10 解得k= .
【解题策略】1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤(1)求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积.(2)求模.利用|a|= 计算两向量的模.(3)求夹角余弦值.由公式cs θ= 求夹角余弦值.(4)求角.由向量夹角的范围及cs θ求θ的值.2.涉及非零向量a,b垂直问题时,一般借助a⊥b⇔a·b=x1x2+y1y2=0来解决.
【拓展延伸】1.线段垂直的坐标关系设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)是坐标平面内的三个点,则 ⊥ ⇔(x3-x1)·(x2-x1)+(y3-y1)(y2-y1)=0.
2.向量共线的条件由cs θ= 可知,若θ=0°或180°,则cs θ=±1,则有x1x2+y1y2=± ,利用此结论也可以判断两向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)是否共线.
【拓展训练】　已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),则△ABC的形状是(　　)A.直角三角形　　　　　　　B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形【解析】选A.由题设知(0+2)(6+2)+(5-1)(-3-1)=0,所以 ⊥ ,所以∠BAC=90°,故△ABC是直角三角形.
【题组训练】1.已知向量a=(1,2),b=(-2,3),c=(4,5),若(a+λb)⊥c,则实数λ=(　　)A.- 　　　B. 　　　C.-2　　　D.2
【解析】选C.因为a=(1,2),b=(-2,3),所以a+λb= 又(a+λb)⊥c,所以(a+λb)·c=0,即解得λ=-2.
2.(2020·丽水高一检测)已知向量a=(1,1),b=(-3,4).(1)求 的值;(2)求向量a与a-b夹角的余弦值.【解析】(1)因为a-b=(4,-3),所以|a-b|=5;(2)由(1)知a·(a-b)= =1×4+1× =1, = ,|a-b|=5,所以cs=
【补偿训练】已知a=(1,1),b=(0,-2),当k为何值时,(1)ka-b与a+2b垂直;(2)ka-b与a+b的夹角为120°.
【解析】因为a=(1,1),b=(0,-2),ka-b=k(1,1)-(0,-2)=(k,k+2),a+2b=(1,1)+(0,-4)=(1,-3),a+b=(1,1)+(0,-2)=(1,-1).(1)因为ka-b与a+2b垂直,所以k-3k-6=0,所以k=-3,即当k=-3时,ka-b与a+2b垂直.
(2)因为|ka-b|= |a+b|= (ka-b)·(a+b)=(k,k+2)·(1,-1)=k-k-2=-2,因为ka-b与a+b的夹角为120°,所以cs 120°= 即 化简整理,得k2+2k-2=0,解得k=-1± .即当k=-1± 时,ka-b与a+b的夹角为120°.
备选类型　用向量解代数问题(数学建模)【典例】求函数f(x)= 的最大值.【思路导引】观察此函数解析式的特征,不难发现其形式与两个坐标表示的平面向量的数量积公式类似,建立向量模型求解.
【解析】设a=(12,5),b=则a·b= 因为a=(12,5),b=所以|a|=13,|b|=3,又因为|a·b|≤|a||b|,所以|a·b|≤13×3=39,当且仅当a,b共线时,等号成立,即 解得x= 当x= 时,a·b的最大值为39,即函数f(x)= 的最大值为39.
【解题策略】　向量法巧解代数问题向量是代数和几何的完美结合,尤其是解决代数问题时具有独到的优势,解题的关键在于观察问题的结构,挖掘代数结构的向量模型,把原有问题转化为向量问题,再借助向量有关知识解决问题.
【跟踪训练】　已知a,b,m,n∈R,设(a2+b2)(m2+n2)=(am+bn)2,其中mn≠0,用向量方法求证:
【证明】设c=(a,b),d=(m,n),且它们的夹角为θ(0°≤θ≤180°),则c·d=am+bn,|c|2=a2+b2,|d|2=m2+n2,因为(a2+b2)(m2+n2)=(am+bn)2,所以|c|2|d|2=(c·d)2,又c·d=|c||d|cs θ,所以cs2θ= =1,所以cs2θ=1,又0°≤θ≤180°,所以θ=0°或180°,即c∥d,所以an-bm=0,又mn≠0,所以
1.设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=(　　)A.12B.0C.-3D.-11【解析】选C.因为a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),所以a+2b=(-5,6),所以(a+2b)·c=(-5)×3+6×2=-3.
2.已知平面向量 则向量 的模是(　　)A. B. C.2 D.5【解析】选C.因为向量 所以 所以
3.已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m=______. 【解析】因为向量a=(-4,3),b=(6,m),a⊥b,所以a·b=0,即-4×6+3m=0,m=8.答案:8
4.已知a=(4,3),b=(-5,12),则a,b夹角的余弦值等于________. 【解析】因为a=(4,3),b=(-5,12),所以a·b=-20+36=16.又|a|=5,|b|=13,设a与b的夹角为θ,所以cs θ=答案: