数学必修 第二册9.4 向量应用优质课件ppt

这是一份数学必修 第二册9.4 向量应用优质课件ppt，共52页。PPT课件主要包含了必备知识·自主学习，向量问题，几何关系，速度位移，位移s，关键能力·合作学习，课堂检测·素养达标等内容，欢迎下载使用。

1.用向量方法解决平面几何问题(1)“三步曲”:①建立平面几何与向量的联系,用_____表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为_________;②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如_____、_____等问题;③把运算结果“翻译”成_________.
(2)本质:向量具有明确的几何背景(即有向线段),利用向量解决平面几何问题.(3)应用(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)):①证明线段平行或点共线问题,常用向量共线定理:a∥b⇔a=λb(b≠0)⇔x1y2-x2y1=0;②证明垂直问题,常用数量积的运算性质:a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0;
③求夹角问题,用夹角公式:cs θ= (θ为a与b的夹角);④计算线段长度,常用模长公式:|AB|=
【思考】　联系向量的两种表示方法(几何表示和坐标表示),想一想利用向量解决平面几何问题有哪些思路?提示:两种思路:一种思路是选择一个基底(选择的基底的长度和夹角应该是已知的,这样方便计算),利用基向量表示涉及的向量;另一种思路是建立坐标系,求出题目中涉及的向量的坐标.
2.向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有_______________等.(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的_____和_____中.(3)动量mv是向量的_____运算.(4)功是____与______的数量积.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)若△ABC是直角三角形,则有 =0.(　　)(2)若 则直线AB与CD平行.(　　)(3) 求力F1和F2的合力可利用向量加法的平行四边形法则.(　　)
提示:(1)×.因为△ABC为直角三角形,B并不一定是直角,有可能是A或C为直角.(2)×.向量 时,直线AB∥CD或AB与CD重合.(3)√.物理中的力既有大小又有方向,所以力可以看作向量,求力F1和F2的合力可利用向量加法的平行四边形法则.
2.若平面四边形ABCD满足 则该四边形一定是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.直角梯形B.矩形C.菱形D.正方形
【解析】选C.由 得平面四边形ABCD是平行四边形,由 即平行四边形ABCD的对角线互相垂直,则该四边形一定是菱形.
3.(教材二次开发:练习改编)在平面直角坐标系中,力F=(2,3)作用一物体,使物体从点A(2,0)移动到点B(4,0),则力F对物体作的功为________. 【解析】根据题意,力F对物体作的功为W=F· =(2,3)·(4-2,0-0)=2×2+3×0=4.答案:4
类型一　向量在平面几何证明问题中的应用(直观想象、逻辑推理)【典例】1.已知点O,P在△ABC所在平面内,且 则点O,P依次是△ABC的(　　)　　　　　　　　　　　　　A.重心,垂心　　　B.重心,内心C.外心,垂心D.外心,内心
2.四边形ABCD是正方形,P是对角线DB上的一点(不包括端点),E,F分别在边BC,DC上,且四边形PFCE是矩形,试用向量方法证明:PA=EF.
【思路导引】1.注意三角形的外心到三个顶点距离相等、内心到三边距离相等、垂心是高所在直线的交点、重心是中线的交点.2.建立平面直角坐标系,利用向量的坐标运算证明
【解析】1.选C.由 知点O为△ABC的外心.因为 所以 所以 =0,所以 ,所以CA⊥PB.同理,PA⊥CB,所以点P为△ABC的垂心.
2.建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为1,DP=λ(0<λ< ),则A(0,1),
【变式探究】若典例1改为:若O是△ABC内一点, 则O为△ABC的(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.内心B.外心C.垂心D.重心
【解析】选D.如图,取AB的中点E,连接OE, 则 又 所以 又O为公共点,所以O,C,E三点共线,且 所以O为△ABC的重心.
【解题策略】利用向量证明问题(1)常见的利用向量证明的问题.①利用向量共线定理证明线段平行或点共线;②利用向量的模证明线段相等;③利用向量的数量积为0证明线段垂直.
(2)常用的两个方法.①基向量法:选取已知的不共线的两个向量作为基向量,用基向量表示相关向量,转化为基向量之间的向量运算进行证明;②坐标法:先建立平面直角坐标系,表示出点、向量的坐标,利用坐标运算进行证明.
【跟踪训练】在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠CDA=∠DAB=90°,CD=DA= AB,求证:AC⊥BC.
【证明】方法一:因为∠CDA=∠DAB=90°,AB∥CD,CD=DA= AB,故可设
方法二:如图,建立平面直角坐标系,设CD=1,则A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1).所以 =(-1,1), =(1,1).所以 =(-1,1)·(1,1)=-1+1=0.所以AC⊥BC.
【补偿训练】已知△ABC是直角三角形,CA=CB,D是CB的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:AD⊥CE.
【证明】如图所示,以C为原点,CA所在直线为x轴,CB所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.设AC=a,则A(a,0),B(0,a),D ,C(0,0),E
类型二　向量在平面几何计算问题中的应用(数学运算)【典例】如图所示,在矩形ABCD中,AB= ,BC=3,BE⊥AC,垂足为E,求ED的长.
【解题策略】 1.用向量方法求长度的策略(1)利用图形特点选择基底、向量的数量积转化,用公式|a|2=a2求解;(2)建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入公式:若a=(x,y),则|a|= 2.向量数量积、夹角的计算利用向量或坐标表示出未知向量,代入相应的公式进行计算.
【跟踪训练】求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值.
【解析】如图,分别以等腰直角三角形的两直角边所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,设A(2a,0),B(0,2a),则D(a,0),C(0,a),所以 =(-2a,a), =(a,-2a),不妨设 的夹角为θ,则cs θ= 故所求钝角的余弦值为- .
【补偿训练】如图,平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.
【解析】 所以5-2a·b=4,所以a·b= ,又| |2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+2a·b+4=6,所以 即AC= .
类型三　向量在物理中的应用(数学建模)角度1　矢量分解合成问题 
【典例】如图,用两根分别长5 米和10米的绳子,将100 N的物体吊在水平屋顶AB上,平衡后,G点距屋顶距离恰好为5米,求A处所受力的大小(绳子的重量忽略不计).
【思路导引】画图分析A处所受力,B处所受力,物体的重力这三个力的关系.
【解析】如图,由已知条件可知AG与铅垂方向成45°角,BG与铅垂方向成60°角.设A处所受力为Fa,B处所受力为Fb,物体的重力为G,因为∠EGC=60°,∠EGD=45°,则有|Fa|cs 45°+|Fb|cs 60°=|G|=100,①且|Fa|sin 45°=|Fb|sin 60°,②由①②解得|Fa|=150 -50 ,所以A处所受力的大小为(150 -50 )N.
　角度2　做功问题 【典例】已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°,大小为50 N,一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ=0.02 的水平面上运动了20 m.问力F和摩擦力f所做的功分别为多少?(g=10 m/s2)【思路导引】解答本题首先要确定摩擦力f的大小及其与位移所成的角,然后利用向量数量积运算求值.
【解析】如图所示,设木块的位移为s,则WF=F·s=|F||s|cs 30°=50×20× =500 (J).将力F分解,它在铅垂方向上的分力F1的大小为|F1|=|F|sin 30°=50× =25(N),所以摩擦力f的大小为|f|=|μ(G-F1)|=0.02×(8×10-25)=1.1(N),因此Wf=f·s=|f||s|cs 180°=1.1×20×(-1)=-22(J).即F和f所做的功分别为500 J和-22 J.
【解题策略】用向量方法解决物理问题的步骤(1)把物理问题中的相关量用向量表示;(2)转化为向量问题的模型,通过向量运算使问题解决;(3)结果还原为物理问题.
【题组训练】1.若物体在共点力F1=(lg 2,lg 2),F2=(lg 5,lg 2)的作用下产生位移s=(2lg 5,1),则共点力对物体所做的功W为(　　)　　　A.lg 2B.lg 5C.1D.2【解析】选D.W=(F1+F2)·s=(lg 2+lg 5,2lg 2)·(2lg 5,1)=(1, 2lg 2)·(2lg 5,1)=2lg 5+2lg 2=2.
2.一条河的宽度为d,一只船从A出发到河的正对岸B处,船速为v1,水速为v2,则船行到B处时,行驶速度的大小为(　　)
【解析】选D.如图,由平行四边形法则和解直角三角形的知识,可得|v|2=|v1|2-|v2|2,所以|v|=
【补偿训练】如图所示,一个物体受到同一平面内三个力F1,F2,F3的作用,沿北偏东45°的方向移动了8 m,其中|F1|=2 N,方向为北偏东30°;|F2|=4 N,方向为北偏东60°;|F3|=6 N,方向为北偏西30°,求合力F所做的功.
【解析】以O为原点,正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系,如图所示,则F1=(1, ),F2=(2 ,2),F3=(-3,3 ),所以F=F1+F2+F3=(2 -2,2+4 ).又s=(4 ,4 ),故F·s=(2 -2)×4 +(2+4 )×4 =4 ×6 =24 .合力F所做的功为24 J.
1.如图所示,一力作用在小车上,其中力F的大小为10 N,方向与水平面成60°角,当小车向前运动10米,则力F做的功为(　　)　　　　 A.100焦耳B.50焦耳C.50 焦耳D.200焦耳【解析】选B.设小车的位移为s,则|s|=10米,WF=F·s=|F||s|·cs 60°=10×10× =50(焦耳).
2.已知A,B,C,D四点的坐标分别是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则此四边形为(　　)A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形【解析】选A.由题意得 =(3,3), =(2,2),所以 所以四边形为梯形.
3.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边的中线AD的长是(　　)【解析】选B. BC中点为
4.某人从点O向正东走30 m到达点A,再向正北走30 m到达点B,则此人的位移的大小是________m,方向是北偏东________. 
【解析】如图所示,此人的位移是 tan∠BOA= 所以∠BOA=60°.所以 方向为北偏东30°.答案:60　30°
5.(教材二次开发:练习改编)如图,正方形ABCD中的边长为a,E,F分别为AB,BC的中点,AF与DE交于点M.求∠EMF.