高中数学苏教版 (2019)必修 第二册10.1 两角和与差的三角函数优秀ppt课件

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册10.1 两角和与差的三角函数优秀ppt课件，共39页。PPT课件主要包含了必备知识·自主学习，两角和与差的余弦公式，关键能力·合作学习，课堂检测·素养达标等内容，欢迎下载使用。

cs αcs β+sin αsin β
cs αcs β-sin αsin β
【思考】(1)两角和的余弦公式是怎样由两角差的余弦公式推导而来的?提示:在两角差的余弦公式cs(α-β)=cs αcs β+sin αsin β中,只要用-β替换β,便可以得到两角和的余弦公式.(2)两角和与差的余弦公式的结构特征是什么?可用什么口诀记忆?提示:可简单记为“余余正正,符号反”,即展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦;展开前两角间的符号与展开后两项间的符号相反.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)cs(70°+40°)=cs 70°-cs 40°. (　　)(2)对于任意实数α,β,cs(α-β)=cs α-cs β都不成立. (　　)(3)对任意α,β∈R,cs(α+β)=cs αcs β-sin αsin β都成立. (　　)(4)cs 30°cs60°+sin 30°sin 60°=1.
提示:(1)×.cs(70°+40°)=cs 110°≠cs 70°-cs 40°.(2)×.当α=-45°,β=45°时,cs(α-β)=cs(-45°-45°)=cs(-90°)=0,cs α-cs β=cs(-45°)-cs 45°=0,此时cs(α-β)=cs α-cs β.(3)√.结论为两角和的余弦公式.(4) ×.cs 30°cs 60°+sin 30°sin 60°=cs(60°-30°)=cs 30°= .
2.cs 75°cs 15°-sin 75°sin 15°的值等于________. 【解析】逆用两角和的余弦公式可得:cs 75°cs 15°-sin 75°sin 15°=cs(75°+15°)=cs 90°=0.答案:0
3.(教材二次开发:例题改编)cs 615°的值为(　　)【解析】选D.cs 615°=cs(720°-105°)=cs (-105°)=cs 105°=cs(45°+60°)= .
类型一　利用两角和与差的余弦公式化简求值(数学运算)【题组训练】1.cs 22°cs 38°-sin 22°sin 38°的值为(　　) 2.cs 345°的值等于(　　) 3.cs(-40°)cs(-20°)-sin(-40°)sin(-20°)=________. 
【解析】1.A.原式=cs(22°+38°)=cs 60°= .2.选C.cs 345°=cs(360°-15°)=cs 15°=cs(45°-30°)=cs 45°cs 30°+sin 45°sin 30°= (-40°)cs(-20°)-sin(-40°)sin(-20°)=cs[(-40°)+(-20°)]=cs(-60°)=cs 60°= .答案:
【解题策略】两角和与差的余弦公式在求值应用中的一般思路(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差,正用公式直接求值.(2)在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角和或差的余弦公式的结构形式,然后逆用公式求值.
　【补偿训练】　　求下列各式的值:(1)cs ;(2)sin 460°sin(-160°)+cs 560°cs(-280°);(3)cs(α+20°)cs(40°-α)-sin(α+20°)sin(40°-α).
【解析】(1)cs =cs =-cs
(2)原式=-sin 100°sin 160°+cs 200°cs 280°=-sin 80°sin 20°-cs 20°cs 80°=-(cs 80°cs 20°+sin 80°sin 20°)=-cs 60°=- .(3)cs(α+20°)cs(40°-α)-sin(α+20°)sin(40°-α)=cs[(α+20°)+(40°-α)]=cs 60°= .
类型二　给值(式)求值(数学运算)　角度1　“逆用”求值 【典例】(2020·泰安高一检测)已知sin ,则cs α+ sin α的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.- B. C.2D.-1【思路导引】对所求式逐步变形,直至可代入已知条件即可.
【解析】选B.cs α+ sin α=
　角度2　“拼凑角”求值 【典例】(1)已知sin 求cs α的值.(2)α,β为锐角,cs(α+β)= ,cs(2α+β)= ,求cs α的值.【思路导引】对已知条件和所求结论中的角进行分析,看已知条件中的角如何“拼凑”成结论中的角.
【解析】(1)因为α∈ ,所以 +α∈ ,所以cs = 所以cs α=
(2)因为α,β为锐角,所以0<α+β<π.因为cs(α+β)= >0,所以0<α+β< ,因为α为锐角,所以0<2α+β<π,因为cs(2α+β)= ,所以0<2α+β< ,所以sin(α+β)= ,sin(2α+β)= ,所以cs α=cs =cs(2α+β)·cs(α+β)+sin(2α+β)·sin(α+β)= × + × = .
【变式探究】1.将本例(1)的条件改为“sin ,且 <α< ”,如何解答?【解析】因为sin ,且 <α< ,所以 <α+ <π,所以cs = 所以cs α=cs =cs cs +sin sin =- × + × = .
2.将本例(1)的条件改为“sin ,α∈ ”,求cs 的值.【解析】因为 <α< ,所以- < -α< .又因为sin =- <0,所以- < -α<0,所以cs = 所以 =cs = cs + sin
【解题策略】解决三角函数的求值问题的关键点(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;(2)当“已知角”有一个时通常有两种思路:①着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,利用诱导公式把“所求角”变成“已知角”;②考虑把“所求角”表示为“已知角”与特殊角的和与差的形式.
【题组训练】1.已知α为锐角,β为第三象限角,且cs α= ,sin β=- ,则cs(α-β)的值为(　　)
【解析】选A.因为α为锐角,且cs α= ,所以sin α= 因为β为第三象限角,且sin β=- ,所以cs β= ,所以cs(α-β)=cs αcs β+sin αsin β= × =- .
2.已知cs 则cs α+sin α的值为________. 【解析】因为cs =cs cs α+sin sin α= cs α+ sin α= ,所以cs α+sin α 答案:
【补偿训练】若sin α-sin β= ,cs α-cs β= ,则cs(α-β)的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【解析】选A.由sin α-sin β= ,cs α-cs β= ,得sin2α+sin2β-2sin αsin β= ,①cs2α+cs2β-2cs αcs β= ,②①+②得2-2(sin αsin β+cs αcs β)=1.所以sin αsin β+cs αcs β= .所以cs(α-β)= .
类型三　给值求角问题(数学运算)【典例】已知0<α< ,- <β<0,且α,β满足sin α= ,cs β= ,求α-β.
【解题策略】已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围:根据条件确定所求角的范围;(2)求所求角的某个三角函数值:根据角的范围选择求哪一个三角函数值,原则是由所求的三角函数值能确定角所在的象限;(3)求角:结合三角函数值及角的范围求角.
【跟踪训练】1.已知cs α= ,cs(α+β)=- ,α,β∈ ,则β=________. 
【解析】因为α,β∈ ,所以α+β∈(0,π).因为cs α= ,cs(α+β)=- ,所以sin α= ,sin(α+β)= ,所以cs β=cs =cs(α+β)cs α+sin(α+β)·sin α= 因为0<β< ,所以β= .答案:
2.已知sin α= ,sin β= ,且α和β均为钝角,则α+β=________. 【解析】因为α,β均为钝角,所以cs α= 所以cs (α+β)=cs αcs β-sin αsin β 由α和β均为钝角,得π<α+β<2π,所以α+β= .答案:
1.cs 20°=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.cs 30°cs 10°-sin 30°sin 10°B.cs 30°cs 10°+sin 30°sin 10°C.sin 30°cs 10°-sin 10°cs 30°D.cs 30°cs 10°-sin 30°cs 10°【解析】选B.cs 20°=cs(30°-10°)=cs 30°cs 10°+sin 30°sin 10°.
2.计算 的值是(　　)A.0 【解析】选C.=cs cs +sin sin =cs =cs .
3.已知锐角α,β满足cs α= ,cs(α+β)=- ,则cs β等于(　　) 【解析】选A.因为α,β为锐角,cs α= ,cs(α+β)=- ,所以sin α= ,sin(α+β)= ,所以cs β=cs[(α+β)-α]=cs(α+β)cs α+sin(α+β)sin α
4.sin 75°=________. 【解析】sin75°=cs15°=cs(45°-30°)=cs45°·cs30°+sin45°·sin30°= 答案: