高中数学第13章 立体几何初步13.2 基本图形位置关系优秀ppt课件

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1.异面直线判定定理文字语言:过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过该点的直线是异面直线.符号语言:若l⊂α,A∉α,B∈α,B∉l,则直线AB与l是异面直线.图形语言:
【思考】异面直线就是平面内的一条直线和平面外的一条直线,这种说法正确吗?提示:平面内的一条直线和平面外的一条直线位置关系可能是相交、平行或异面,所以定理中的不过该点很重要.所以,这种说法是不正确的.
2.异面直线所成的角或夹角定义:a与b是异面直线,经过空间任意一点O,作直线a′∥a,b′∥b,我们把a′和b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a,b所成的角或夹角.若异面直线a,b所成的角是直角,则称异面直线a,b互相垂直,记作a⊥b.
【思考】(1)异面直线a,b所成的角或夹角的范围是多少?提示:异面直线a,b所成的角或夹角的范围是 (2)两条直线垂直,一定相交吗?提示:不一定.当两条异面直线所成的角为90°时两条异面直线垂直,不相交.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)两条异面直线一定在两个不同的平面内.(　　)(2)两条异面直线成120°角.(　　)(3)异面直线所成的角的大小与空间任一点O的位置有关,即O点位置不同时,这一角的大小也不同.(　　)【解析】(1)√.(2)×.异面直线所成的角范围是 (3)×.异面直线所成的角的大小与O点的位置无关.
2.已知a,b是异面直线,直线c∥直线a,那么c与b(　　)A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线【解析】选C.假设c与b平行,由于c∥a,根据基本事实4可知a∥b ,与a,b是异面直线矛盾,故c与b不可能是平行直线.
3.空间四边形ABCD中,E,F分别为AC,BD的中点,若CD=2AB,EF⊥AB,则EF与CD所成的角为________.【解析】取AD的中点H,连FH,EH,在△EFH中∠EFH=90°,HE=2HF,从而∠FEH=30°. 答案:30° 
类型一　异面直线的判断(直观想象、逻辑推理) 【题组训练】1.若两个平面相交,则分别在这两个平面内的两条直线(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.平行　B.异面C.相交D.以上皆有可能2.直线c,d与异面直线a,b都相交,则c,d的位置关系是(　　)A.平行B.相交C.异面D.相交于一点或异面
3.如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的一个图是________. 
【解析】1.选D.平面α,β相交,如图所示: 则a⊂α,b⊂β,a∥b;又a⊂α,c⊂β,a、c异面;c⊂β,d⊂α,c,d相交;所以分别在这两个平面内的两条直线可能平行,也可能异面,也可能相交.
2.选D.已知直线a与b是异面直线,设直线c与直线d分别与两条异面直线a与直线b相交于点A,B,C,D, 当点B与点C重合时直线c与d相交,当点B与点D不重合时直线c与d异面.3.①中PQ∥RS,②中RS∥PQ,④中RS和PQ相交.答案:③
【解题策略】判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内;(2)重要结论:连接平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A∉α,B∈α,l⊂α,B∉l⇒AB与l是异面直线(如图).
类型二　 直线与直线垂直的证明(直观想象、逻辑推理)【典例】如图,正方体ABCD-A1B1C1D1,求证:AC⊥B1D. 【思路导引】将AC与B1D所成的角转化成两相交直线成的角.
【证明】如图,连接BD,交AC于O, 设BB1的中点为E,连接OE,则OE∥DB1,所以OE与AC所成的角即为DB1与AC所成的角.连接AE,CE,易证AE=CE,又O是AC的中点,所以AC⊥OE,所以AC⊥B1D.
【解题策略】证明空间的两条直线垂直的方法(1)定义法:利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直;(2)平面几何图形性质法:利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形(等边三角形)底边的中线和底边垂直等.
【拓展延伸】垂直直线在立体几何中的重要性垂直直线在空间几何中是非常重要的,在证明直线和平面垂直以及平面和平面垂直中都会用到.经常用到的证明线线垂直的常用方法有:(1)利用勾股定理的逆定理;(2)利用等腰三角形底边的中线就是底边的高线;(3)利用线面垂直的定义;(4)利用平行转化,即a∥b,b⊥c,则a⊥c.
【拓展训练】如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD的中点,求证:CD1⊥EF.
【证明】取CD1的中点G,连接EG,DG,
因为E是BD1的中点,所以EG∥BC,EG= BC.因为F是AD的中点,且AD∥BC,AD=BC,所以DF∥BC,DF= BC,所以EG∥DF,EG=DF,所以四边形EFDG是平行四边形,所以EF∥DG,所以∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.又因为A1A=AB,所以四边形ABB1A1,四边形CDD1C1都是正方形,且G为CD1的中点,所以DG⊥CD1,所以∠D1GD=90°,所以CD1⊥EF.
类型三　 异面直线所成的角(直观想象、逻辑推理、数学运算) 　角度1　求异面直线所成的角 【典例】在空间四边形ABCD中,AB=CD,且AB与CD所成锐角为30°,E,F分别为BC,AD的中点,求EF与AB所成角的大小.【思路导引】想求EF与AB所成角的大小,需要找到EF与AB所成的角,并将其放到三角形中进行求解,关键是找异面直线的平行线,找到异面直线所成的角.
【解析】如图所示,取AC的中点G,连接EG,FG,则EG∥AB且EG= AB,GF∥CD且GF= CD.
由AB=CD知EG=FG,从而可知∠GEF为EF与AB所成的角,∠EGF或其补角为AB与CD所成的角.因为AB与CD所成角为30°,所以∠EGF=30°或150°,由EG=FG知△EFG为等腰三角形,当∠EGF=30°时,∠GEF=75°,当∠EGF=150°时,∠GEF=15°,故EF与AB所成角的大小为15°或75°.
【变式探究】在本例中,“AB与CD所成锐角为30°,”改为“AB⊥CD”,求EF与AB所成角的大小.
【解析】如图所示,取AC的中点G,
连接EG,FG,则EG∥AB且EG= AB,GF∥CD且GF= CD.由AB=CD知EG=FG,从而可知∠GEF为EF与AB所成的角,∠EGF或其补角为AB与CD所成的角.因为AB⊥CD,所以∠EGF=90°,由EG=FG知△EFG为等腰三角形,∠GEF=45°,故EF与AB所成角的大小为45°.
　角度2　由异面直线所成角的大小求线段的长 【典例】如图所示,在四面体A-BCD中,E,F分别是AB,CD的中点.若BD,AC所成的角为60°,且BD=AC=2.求EF的长度.
【思路导引】求EF的长度,只需要将EF放到一个三角形中进行求解就可以了,构造三角形,并且要用到异面直线BD,AC所成的角.
【解析】取BC的中点M,连接ME,MF,则ME∥AC,MF∥BD,
所以ME与MF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角,而AC,BD所成的角为60°,所以∠EMF=60°或∠EMF=120°.当∠EMF=60°时,EF=ME=MF= BD=1;当∠EMF=120°时,取EF的中点N,则MN⊥EF,所以EF=2EN=2EM·sin∠EMN=2×1× 故EF的长度为1或
【解题策略】1.求两条异面直线所成的角的一般思路(1)构造角:根据异面直线的定义,通过作平行线或平移平行线,作出异面直线夹角的相关角.(2)计算角:求角度,常利用三角形.(3)确定角:若求出的角是锐角或是直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角.2.利用两条异面直线所成的角求线段的长度,就是在异面直线所成角的三角形中求三角形的边长.
【题组训练】1.如图,空间四边形ABCD的对角线AC=8,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,并且异面直线AC与BD所成的角为90°,则MN=________. 
【解析】取AD的中点P,连接PM,PN,
则BD∥PM,AC∥PN,所以∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角,所以∠MPN=90°,PN= AC=4,PM= BD=3,所以MN=5.答案:5
2.如图,已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,C是圆柱下底面弧AB的中点,C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________. 
【解析】取圆柱下底面弧AB的另一中点D,连接C1D,AD.因为C是圆柱下底面弧AB的中点,所以AD∥BC,所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角.
因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,所以C1D⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,所以C1D= AD,所以直线AC1与AD所成角的正切值为 ,所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为 .答案:
3.已知,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱BC和棱CC1的中点,求异面直线AC和EF所成的角.
【解析】连接BC1,A1C1,A1B,如图所示:根据正方体的结构特征,可得EF∥BC1,AC∥A1C1,则∠A1C1B即为异面直线AC和EF所成的角(或其补角).因为BC1=A1C1=A1B,所以△A1C1B为等边三角形,故∠A1C1B=60°,即异面直线AC和EF所成的角为60°.
【补偿训练】1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中. (1)求A1C1与B1C所成角的大小;(2)若E,F分别为AB,AD的中点,求A1C1与EF所成角的大小.
【解析】(1)连接AC,AB1.由六面体ABCD-A1B1C1D1是正方体知,四边形AA1C1C为平行四边形,所以AC∥A1C1,从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角.在△AB1C中,由AB1=AC=B1C,可知∠B1CA=60°,即A1C1与B1C所成的角为60°.
(2)连接BD.由(1)知AC∥A1C1,所以AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角.因为EF是△ABD的中位线,所以EF∥BD.又因为AC⊥BD,所以AC⊥EF,所以EF⊥A1C1,即A1C1与EF所成的角为90°.
2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, (1)AC和DD1所成的角是________; (2)AC和D1C1所成的角是________; (3)AC和B1D1所成的角是________; (4)AC和A1B所成的角是________. 
【解题指南】在正方体中找异面直线所成的角,在找平行线时要首先考虑正方体的棱和面对角线,还要注意正方体的结构特征.【解析】(1)根据正方体的性质可得AC和DD1所成的角是90°.(2)因为D1C1∥DC,所以∠ACD即为AC和D1C1所成的角,由正方体的性质得∠ACD=45°.(3)因为BD∥B1D1,BD⊥AC,所以B1D1⊥AC,即AC和B1D1所成的角是90°.(4)因为A1B∥D1C,△ACD1是等边三角形,所以AC和A1B所成的角是60°.答案:(1)90°　(2)45°　(3)90°　(4)60°
3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AA1,AB,BB1,B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于________. 
【解析】取A1B1中点M,连接MG,MH,则MG∥EF,MG与GH所成的角等于EF与GH所成的角.易知△MGH为正三角形,∠MGH=60°,所以EF与GH所成的角等于60°. 答案:60°
1.若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,则直线a与c(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.一定平行 B.一定垂直C.一定是异面直线 D.一定相交【解析】选B.因为a⊥b,b∥c,所以a⊥c.
2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BD与A1C1的位置关系是(　　) A.平行 B.相交C.异面但不垂直 D.异面且垂直
【解析】选D.因为正方体的对面平行,且直线A1C1与BD不平行,所以直线BD与A1C1异面,连接AC,则AC∥A1C1,AC⊥BD,所以直线BD与A1C1垂直,所以直线BD与A1C1异面且垂直.
3.(教材二次开发:练习改编)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1= ,则异面直线BC1与D1B1所成角的余弦值为(　　)
【解析】选A.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,D1B1∥DB,所以∠DBC1是异面直线BC1与D1B1所成的角,因为AB=BC=1,AA1= ,所以DB= ,BC1=2,DC1=2,由余弦定理得cs∠DBC1= 所以异面直线BC1与D1B1所成角的余弦值为