2021年中考数学：专题05 平面直角坐标系（知识点串讲）

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专题05 平面直角坐标系
【思维导图】

【知识要点】
知识点一 平面直角坐标系的基础
有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）。
【注意】a、b的先后顺序对位置的影响。
平面直角坐标系的概念：在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系。
两轴的定义：水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取向右为正方向；竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取向上方向为正方向。
平面直角坐标系原点：两坐标轴交点为其原点。
坐标平面：坐标系所在的平面叫坐标平面。
象限的概念：x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限。按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
【注意】坐标轴上的点不属于任何象限。
点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b)。

知识点二 点的坐标的有关性质（考点）
性质一 各象限内点的坐标的符号特征
象限
横坐标
纵坐标
第一象限
正
正
第二象限
负
正
第三象限
负
负
第四象限
正
负






性质二 坐标轴上的点的坐标特征
1.轴上的点，纵坐标等于0；
2.轴上的点，横坐标等于0；
3.原点位置的点，横、纵坐标都为0.
性质三 象限角的平分线上的点的坐标
1．若点P（）在第一、三象限的角平分线上，则，即横、纵坐标相等；
2．若点P（）在第二、四象限的角平分线上，则，即横、纵坐标互为相反数；
y
P


O
X
X
y
P


O





在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上
性质四 与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征
1.在与轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等；
Y
A
B

B
点A、B的纵坐标都等于；
X


Y
X
2.在与轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；
C


D


点C、D的横坐标都等于；

性质五 点到坐标轴距离
在平面直角坐标系中，已知点P，则
1.点P到轴的距离为；
2.点P到轴的距离为；
3.点P到原点O的距离为PO＝
P（）






性质六 平面直角坐标系内平移变化

性质七 对称点的坐标
1. 点P关于轴的对称点为， 即横坐标不变，纵坐标互为相反数；
X
y
P




O





2. 点P关于轴的对称点为， 即纵坐标不变，横坐标互为相反数；




X
y
P




O

3.点P关于原点的对称点为，即横、纵坐标都互为相反数；




X
y
P




O


小结：
坐标轴上
点P（x，y）
连线平行于
坐标轴的点
点P（x，y）在各象限
的坐标特点
象限角平分线上
的点
X轴
Y轴
原点
平行X轴
平行Y轴
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
第一、
三象限
第二、四象限
(x,0)

(0,y)

(0,0)

纵坐标相同横坐标不同
横坐标相同纵坐标不同
x＞0
y＞0
x＜0
y＞0
x＜0
y＜0
x＞0
y＜0
(m,m)
(m,-m)







【考查题型】

考查题型一 用有序数对表示位置
【解题思路】要确定位置坐标，需根据题目信息、明确行和列的实际意义是解答本题的关键．
典例1．（2020·湖北宜昌市中考真题）小李、小王、小张、小谢原有位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（ ）．

A．小李现在位置为第1排第2列 B．小张现在位置为第3排第2列
C．小王现在位置为第2排第2列 D．小谢现在位置为第4排第2列
【答案】B
【分析】由于撤走一排，则四人所在的列数不变、排数减一，据此逐项排除即可．
【详解】解：A. 小李现在位置为第1排第4列，故A选项错误；
B. 小张现在位置为第3排第2列，故B选项正确；
C. 小王现在位置为第2排第3列，故C选项错误；
D. 小谢现在位置为第4排第4列，故D选项错误．
故选：B．
变式1-1．（2018·广西柳州市中考模拟）初三（1）班的座位表如图所示，如果如图所示建立平面直角坐标系，并且“过道也占一个位置”，例如小王所对应的坐标为（3，2），小芳的为（5，1），小明的为（10，2），那么小李所对应的坐标是（　　）

A．（6，3） B．（6，4） C．（7，4） D．（8，4）
【答案】C
【详解】根据题意知小李所对应的坐标是（7，4）.故选C.
变式1-2．（2017·北京门头沟区一模）小军邀请小亮去他家做客，以下是他俩的对话：
小军：“你在公交总站下车后，往正前方直走400米，然后右转直走300米就到我家了”
小亮：“我是按照你说的走的，可是走到了邮局，不是你家…”
小军：“你走到邮局，是因为你下公交车后朝向东方走的，应该朝向北方走才能到我家…”
根据两人的对话记录，从邮局出发走到小军家应( )
A．先向北直走700米，再向西走100米
B．先向北直走100米，再向西走700米
C．先向北直走300米，再向西走400米
D．先向北直走400米，再向西走300米
【答案】A
【分析】根据对话画出图形即可得出答案．
【详解】解：如图所示：从邮局出发走到小军家应：向北直走700米，再向西直走100米．故选：A．

考查题型二 求点的坐标
典例2．（2020·天津中考真题）如图，四边形是正方形，O，D两点的坐标分别是，，点C在第一象限，则点C的坐标是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用O，D两点的坐标，求出OD的长度，利用正方形的性质求出ＯB，BC的长度，进而得出C点的坐标即可．
【详解】解：∵O，D两点的坐标分别是，，
∴OD＝6，∵四边形是正方形，∴OB⊥BC，OB=BC=6
∴C点的坐标为：，
故选：D．
变式2-1．（2020·山东滨州市·中考真题）在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点M的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据点到坐标轴的距离及点所在的象限解答即可.
【详解】设点M的坐标为（x，y），
∵点M到x轴的距离为4，
∴，
∴，
∵点M到y轴的距离为5，
∴，
∴，
∵点M在第四象限内，
∴x=5，y=-4，
即点M的坐标为（5，-4）
故选：D.
变式2-2．（2020·湖北襄阳市模拟）如图，四边形为菱形，点A的坐标为，点C的坐标为，点D在y轴上，则点B的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据菱形的性质得出D的坐标（0，2），进而得出点B的坐标即可．
【详解】连接AC，BD，AC、BD交于点E，

∵四边形ABCD是菱形，OA＝4，AC＝4，
∴ED＝OA＝EB＝4，AC＝2EA＝4，
∴BD＝8，OD＝EA＝2
∴点B坐标为（8，2），
故选：D．
变式2-3．（2020·广东二模）已知点在轴上，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据点P在x轴上，即y=0，可得出m的值，从而得出点P的坐标．
【详解】解：∵点在轴上，
∴，
∴；
∴，
∴点P为：（4，0）；
故选：A．
变式2-4．（2020·广西一模）点M（3，1）关于y轴的对称点的坐标为（　　）
A．（﹣3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3．﹣1） D．（1，3）
【答案】A
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【详解】点M（3，1）关于y轴的对称点的坐标为（﹣3，1），故选：A．
考查题型三 点的坐标的规律探索
【解题思路】考查坐标的规律探索，解题的关键是根据题意找到坐标的变化规律.
典例3．（2019·山东中考真题）如图，在单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2019的坐标为（ ）

A．（﹣1008，0） B．（﹣1006，0） C．（2，﹣504） D．（1，505）
【答案】A
【分析】观察图形可以看出A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；…每4个为一组，由于2019÷4＝504…3，A2019在x轴负半轴上，纵坐标为0，再根据横坐标变化找到规律即可解答．
【详解】解：观察图形可以看出A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；…每4个为一组，
∵2019÷4＝504…3
∴A2019在x轴负半轴上，纵坐标为0，
∵A3、A7、A11的横坐标分别为0，﹣2，﹣4，
∴A2019的横坐标为﹣（2019﹣3）×＝﹣1008．
∴A2019的坐标为（﹣1008，0）．
故选A．
变式3-1．（2019·山东菏泽市·中考真题）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点，第二次移动到点……第次移动到点，则点的坐标是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点的坐标．
【详解】
，，，，，，…，
，
所以的坐标为，
则的坐标是，
故选C．
变式3-2．（2019·辽宁阜新市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置……依次进行下去，若已知点A(4，0)，B(0，3)，则点C100的坐标为( )

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形的滚动，可得出：每滚动3次为一个周期，点C1，C3，C5，…在第一象限，点C2，C4，C6，…在x轴上，由点A，B的坐标利用勾股定理可求出AB的长，进而可得出点C2的横坐标，同理可得出点C4，C6的横坐标，根据点的横坐标的变化可找出变化规律“点C2n的横坐标为2n×6(n为正整数)”，再代入2n=100即可求出结论．
【详解】解：根据题意，可知：每滚动3次为一个周期，点C1，C3，C5，…在第一象限，点C2，C4，C6，…在x轴上．
∵A(4，0)，B(0，3)，
∴OA=4，OB=3，
∴AB==5，
∴点C2的横坐标为4+5+3=12=2×6，
同理，可得出：点C4的横坐标为4×6，点C6的横坐标为6×6，…，
∴点C2n的横坐标为2n×6(n为正整数)，
∴点C100的横坐标为100×6=600，
∴点C100的坐标为(600，0)．
故选：B．
考查题型四 判断点的象限
【解题思路】各象限内点的坐标的符号特征需记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
典例4．（2020·湖南株洲市·中考真题）在平面直角坐标系中，点在第二象限内，则a的取值可以是（ ）
A．1 B． C． D．4或-4
【答案】B
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数即可判断．
【详解】解：∵点是第二象限内的点，
∴，
四个选项中符合题意的数是，
故选：B
变式4-1．（2020·江苏扬州市中考真题）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】直接利用各象限内点的坐标特点分析得出答案．
【详解】∵x2＋2＞0，
∴点P（x2＋2，−3）所在的象限是第四象限．
故选：D．
变式4-2．（2020·湖北黄冈市·中考真题）在平面直角坐标系中，若点在第三象限，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据点在第三象限，可得，，进而判定出点B横纵坐标的正负，即可解决．
【详解】解：∵点在第三象限，
∴，，
∴，
∴，
∴点B在第一象限，
故选：A．
变式4-4．（2020·湖南邵阳市·中考真题）已知，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据，得出，判断选项中的点所在的象限，即可得出答案．
【详解】∵
∴
选项Ａ：在第一象限
选项Ｂ：在第二象限
选项Ｃ：在第三象限
选项Ｄ：在第四象限
小手盖住的点位于第二象限
故选：B
考查题型五 点坐标的有关性质
1.坐标轴上的点的坐标特征
1．（2017·四川中考模拟）如果点P(a－4，a)在y轴上，则点P的坐标是( )
A．(4,0) B．(0,4) C．(－4,0) D．(0，－4)
【答案】B
【解析】
由点P(a−4,a)在y轴上，得
a−4=0，
解得a=4，
P的坐标为(0,4)，
故选B.
2．（2018·广西柳州十二中中考模拟）点P（m+3，m+1）在x轴上，则点P坐标为（　　）
A．（0，﹣4） B．（4，0） C．（0，﹣2） D．（2，0）
【答案】D
【详解】
解：∵点P（m+3，m+1）在x轴上，
∴y＝0，
∴m+1＝0，
解得：m＝﹣1，
∴m+3＝﹣1+3＝2，
∴点P的坐标为（2，0）．
故选：D．
3．（2019·甘肃中考真题）已知点在轴上，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：点在轴上，
，
解得：，
，
则点的坐标是：．
故选：A．
4．（2019·甘肃中考模拟）已知点P（m+2，2m﹣4）在x轴上，则点P的坐标是（　　）
A．（4，0） B．（0，4） C．（﹣4，0） D．（0，﹣4）
【答案】A
【详解】
解：∵点P（m+2，2m﹣4）在x轴上，
∴2m﹣4＝0，
解得：m＝2，
∴m+2＝4，
则点P的坐标是：（4，0）．
故选：A．
5．（2019·广东华南师大附中中考模拟）如果点P(m+3，m+1)在平面直角坐标系的x轴上，则m＝(　　)
A．﹣1 B．﹣3 C．﹣2 D．0
【答案】A
【详解】
由P(m+3，m+1)在平面直角坐标系的x轴上，得
m+1＝0．
解得：m＝﹣1，
故选：A．
2.象限角的平分线上的点的坐标
1. 已知点A（-3+a，2a+9）在第二象限角平分线上，则a=_________
【答案】-2
【详解】
∵点A在第二象限角平分线上
∴它的横纵坐标互为相反数
则-3+a+2a+9=0
解得a=-2
2．（2018·广西中考模拟）若点N在第一、三象限的角平分线上，且点N到y轴的距离为2，则点N的坐标是( )
A．(2，2) B．(－2，－2) C．(2，2)或(－2，－2) D．(－2，2)或(2，－2)
【答案】C
【解析】
已知点M在第一、三象限的角平分线上，点M到x轴的距离为2，所以点M到y轴的距离也为2.当点M在第一象限时，点M的坐标为（2，2）；点M在第三象限时，点M的坐标为（-2，-2）．所以，点M的坐标为（2，2）或（-2，-2）．故选C．
3.与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征
1．（2019·广西中考模拟）已知点A（a﹣2，2a+7），点B的坐标为（1，5），直线AB∥y轴，则a的值是（　　）
A．1 B．3 C．﹣1 D．5
【答案】B
【详解】
解：∵AB∥y轴，
∴点A横坐标与点A横坐标相同，为1，
可得：a -2=1，a=3
故选：B．
2．（2018·天津中考模拟）如果直线AB平行于y轴，则点A，B的坐标之间的关系是（ ）
A．横坐标相等 B．纵坐标相等 C．横坐标的绝对值相等 D．纵坐标的绝对值相等
【答案】A
【解析】试题解析：∵直线AB平行于y轴，
∴点A，B的坐标之间的关系是横坐标相等.
故选A.
3．（2019·广东华南师大附中中考模拟）已知点A（5，﹣2）与点B（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且B到y轴的距离等于4，那么点B是坐标是（　　）
A．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2） B．（4，2）或（﹣4，2）
C．（4，﹣2）或（﹣5，﹣2） D．（4，﹣2）或（﹣1，﹣2）
【答案】A
【详解】
∵A（5，﹣2）与点B（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，
∴B的纵坐标y＝﹣2，
∵“B到y轴的距离等于4”，
∴B的横坐标为4或﹣4．
所以点B的坐标为（4，﹣2）或（﹣4，﹣2），
故选A．
4．（2019·江苏中考模拟）若线段AB∥x轴且AB＝3，点A的坐标为（2，1），则点B的坐标为（　　）
A．（5，1） B．（﹣1，1）
C．（5，1）或（﹣1，1） D．（2，4）或（2，﹣2）
【答案】C
【详解】
∵AB∥x轴且AB＝3，点A的坐标为（2，1）
∴点B的坐标为（5，1）或（﹣1，1）
5．（2018·江苏中考模拟）已知点M（﹣1，3），N（﹣3，3），则直线MN与x轴、y轴的位置关系分别为（　　）
A．相交，相交 B．平行，平行 C．垂直，平行 D．平行，垂直
【答案】D
【详解】
由题可知，M、N两点的纵坐标相等，
所以直线MN与x轴平行，与y轴垂直相交.
故选:D.
4.点到坐标轴距离
1．（2018·天津中考模拟）已知平面内不同的两点A（a+2，4）和B（3，2a+2）到x轴的距离相等，则a的值为(     )
A．﹣3 B．﹣5 C．1或﹣3 D．1或﹣5
【答案】A
【解析】
∵点A（a＋2，4）和B（3，2a＋2）到x轴的距离相等，
∴4＝|2a＋2|，a＋2≠3，
解得：a＝−3，
故选A．
2．（2018·江苏中考真题）在平面直角坐标系的第二象限内有一点，点到轴的距离为3，到轴的距离为4，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意，得
x=-4，y=3，
即M点的坐标是（-4，3），
故选C．
3．（2017·北京中考模拟）点P是第二象限的点且到x轴的距离为3、到y轴的距离为4，则点P的坐标是（　　）
A．（﹣3，4） B．（ 3，﹣4） C．（﹣4，3） D．（ 4，﹣3）
【答案】C
【详解】
由点且到x轴的距离为3、到y轴的距离为4，得
|y|=3，|x|=4．
由P是第二象限的点，得
x=-4，y=3．
即点P的坐标是（-4，3），
故选C．
4.（2012·江苏中考模拟）在平面直角坐标系中，点P(－3，4)到x轴的距离为( )
A．3 B．－3 C．4 D．－4
【答案】C
【详解】
∵|4|=4，
∴点P（-3，4）到x轴距离为4．
故选C．
5.平面直角坐标系内平移变化
1．（2019·山东中考真题）在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（　　）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2）
【答案】A
【解析】
已知将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加可得点A′的横坐标为1﹣2=﹣1，纵坐标为﹣2+3=1，即A′的坐标为（﹣1，1）．故选A．
2.（2019·北京中考模拟）在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A(4，－1)，B(1,1)将线段AB平移后得到线段A′B′，若点A′的坐标为(－2,2)，则点B′的坐标为(　　)
A．(－5,4) B．(4,3) C．(－1，－2) D．(－2，－1)
【答案】A
【详解】
∵点A（4，﹣1）向左平移6个单位，再向上平移3个单位得到A′（﹣2，2），
∴点B（1，1）向左平移6个单位，再向上平移3个单位得到的对应点B′的坐标为（﹣5，4）．
故选A．
3．（2015·广西中考真题）在平面直角坐标系中，将点A(x，y)向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B(－3，2)重合，则点A的坐标是（ ）
A．(2，5) B．(－8，5) C．(－8，－1) D．(2，－1)
【答案】D
【解析】
解：在坐标系中，点（﹣3，2）先向右平移5个单位得（2，2），再把（2，2）向下平移3个单位后的坐标为（2，﹣1），则A点的坐标为（2，﹣1）．
故选：D．
4．（2016·四川中考真题）已知△ABC顶点坐标分别是A（0，6），B（﹣3，﹣3），C（1，0），将△ABC平移后顶点A的对应点A1的坐标是（4，10），则点B的对应点B1的坐标为（　　）
A．（7，1） B．B（1，7） C．（1，1） D．（2，1）
【答案】C
【解析】
因为4-0=4，10-6=4，所以由点A到点A1的平移是向右平移4个单位，再向上平移4个单位，则点B的对应点的坐标为（1，1）故选C.
5．（2018·武汉市东西湖区教育局中考模拟）在坐标系中，将点P( －2，1)向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点P’的坐标（ ）
A．（2,4） B．(1,5) C．(1,-3) D．(-5,5)
【答案】B
【详解】
将点P( －2，1)向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点P’的坐标(1,5).
故选B.
6.对称点的坐标
1．（2019·广东中考模拟）在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（　　）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣2，1）
【答案】A
【解析】点P（1，-2）关于x轴的对称点的坐标是（1，2），
故选A．
2．（2019·山东中考模拟）已知点P（a+1，2a﹣3）关于x轴的对称点在第二象限，则a的取值范围是（　　）
A．﹣1＜a＜ B．﹣＜a＜1 C．a＜﹣1 D．a>
【答案】C
【详解】
依题意得P点在第三象限，
∴，
解得：a＜﹣1．
故选C．
3．（2014·广西中考真题）已知点A（a，2013）与点B（2014，b）关于x轴对称，则a+b的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】
关于x轴对称的两个点的特点是，x相同即横坐标，y相反即纵坐标相反，故a=2014，b=-2013，故a+b=1
4．（2018·广西中考模拟）已知点P(a＋l，2a－3)关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
∵点P（a＋1，2a－3）关于x轴的对称点在第一象限，∴点P在第四象限。
∴。
解不等式①得，a＞－1，解不等式②得，a＜，
所以，不等式组的解集是－1＜a＜。故选B。
5．（2019·辽宁中考模拟）已知点P（m﹣1，4）与点Q（2，n﹣2）关于x轴对称，则mn的值为（　　）
A．9 B．﹣9 C．﹣ D．
【答案】D
【详解】
解：∵点P（m﹣1，4）与点Q（2，n﹣2）关于x轴对称，
∴m﹣1＝2，n﹣2＝﹣4，
解得：m＝3，n＝﹣2，
则mn＝3﹣2＝．
故选：D．
6．（2018·四川中考模拟）平面直角坐标系中，与点（2，﹣3）关于原点中心对称的点是（　　）
A．（﹣3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣2，3） D．（2，3）
【答案】C
【解析】
根据关于坐标原点对称的点的坐标的规律：横纵坐标互为相反数，所以(2，－3)关于原点对称的点为(－2，3)．