2021年中考数学：专题04 实数（知识点串讲）

专题04 实数

【思维导图】

【知识要点】

知识点一 平方根

算术平方根概念：一般的如果一个正数x的平方等于a，即

算术平方根的表示方法：非负数a的算术平方根记作

平方根概念：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根或二次方根，即，那么x叫做a的平方根。

平方根的性质与表示：

表示：正数a的平方根用表示， 叫做正平方根，也称为算术平方根， 叫做a的负平方根。

性质：一个正数有两个平方根： （根指数2省略）且他们互为相反数。

0有一个平方根，为0，记作

负数没有平方根

平方根与算术平方根的区别与联系：

知识点二 立方根和开立方

立方根概念：如果一个数的立方等于，即那么x叫做的立方根或三次方根，

表示方法：数a的立方根记作，读作三次根号a

立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。０的立方根是０.

开立方概念：求一个数的立方根的运算。

开平方的表示：        （a取任何数）

这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

注意:０的平方根和立方根都是０本身。

次方根(扩展)

概念：如果一个数的次方（是大于１的整数）等于，这个数就叫做的次方根。

当为奇数时，这个数叫做的奇次方根。

当为偶数时，这个数叫做的偶次方根。

性质： 正数的偶次方根有两个：；０的偶次方根为０：；负数没有偶次方根。

正数的奇次方根为正。０的奇次方根为０。负数的奇次方根为负。

知识点三 实数

无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。

实数概念：有理数和无理数统称为实数

实数的分类：

1.按属性分类：                      2.按符号分类

实数和数轴上的点的对应关系（重点）：

实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．数轴上的每一个点都可以表示一个实数．

的画法：画边长为1的正方形的对角线

在数轴上表示无理数通常有两种情况：

1.尺规可作的无理数，如

2.尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示，如π，1.010010001……

实数大小比较的方法（常用）：1）平方法2）根号法3）求差法

实数的三个非负性及性质： 

1.在实数范围内，正数和零统称为非负数。

2.非负数有三种形式 

①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；

②任何一个实数a的平方是非负数，即≥0；

③任何非负数的算术平方根是非负数，即≥0

3.非负数具有以下性质

①非负数有最小值零；

②非负数之和仍是非负数；

③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0

【考查题型】

考查题型一 求算术平方根

【解题思路】算术平方根的定义

典例1．（2020·浙江中考真题）4的算术平方根是（     ）

A．-2 B．2 C． D．

【答案】B

【解析】因，根据算术平方根的定义即可得4的算术平方根是2．故答案选B．

变式1-1．（2020·甘肃金昌市中考真题）若一个正方形的面积是12，则它的边长是（   ）

A． B．3 C． D．4

【答案】A

【分析】根据正方形的面积公式即可求解．

【详解】解：由题意知：正方形的面积等于边长×边长，设边长为a，故a²=12，

∴a=±，又边长大于0∴边长a=．故选：A.

变式1-2．（2020·四川雅安市中考真题）已知，则的值是（    ）

A．4 B．6 C．8 D．10

【答案】D

【分析】直接利用绝对值和二次根式的性质分别化简得出答案．

【详解】解：∵，∴a-2=0，b-2a=0，
解得：a=2，b=4，故a+2b=10．故选：D．

变式1-3．（2020·山东东营市中考真题）利用科学计算器求值时，小明的按键顺序为，则计算器面板显示的结果为（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据算术平方根的求解方法进行计算即可得解．

【详解】４的算术平方根，故选：B．

考查题型二 求平方根

【解题思路】平方根的定义

典例2．（2020·山东烟台市中考真题）4的平方根是（　　）

A．±2 B．－2 C．2 D．

【答案】A

【详解】4的平方根是±2.选A.

变式2-1．（2020·湖北荆门市·中考真题）的平方是（    ）

A． B． C． D．2

【答案】D

【分析】先计算，然后再计算平方．

【详解】∵∴故选：D．

变式2-2．（2018·湖南衡阳市中考真题）下列各式中正确的是　　

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】原式利用平方根、立方根定义计算即可求出值．

【详解】

A.原式=3，不符合题意；

B.原式=|-3|=3，不符合题意；

C.原式不能化简，不符合题意；

D.原式=2-=，符合题意，

故选D．

变式2-3．（2017·江苏南京市中考真题）若方程的两根为和，且，则下列结论中正确的是 （ ）

A．是19的算术平方根 B．是19的平方根 

C．是19的算术平方根 D．是19的平方根

【答案】C

【解析】根据平方根的意义，可知x-5是19的一个平方根，由a＞b，可知a-5是19的算术平方根，b-5是其负的平方根.故选C

考查题型三 求立方根

【解题思路】立方根的定义

典例3．（2020·江苏常州市·中考真题）8的立方根是（ ）

A．2 B．±2 C．±2 D．2

【答案】D

【详解】解：根据立方根的定义，由23=8，可得8的立方根是2故选：D．

变式3-1．（2018·湖北荆门市·中考真题）8的相反数的立方根是（　　）

A．2 B． C．﹣2 D．

【答案】C

【分析】根据相反数的定义、立方根的概念计算即可．

【详解】8的相反数是﹣8，

﹣8的立方根是﹣2，

则8的相反数的立方根是﹣2，

故选C．

变式3-2．（2019·黑龙江中考真题）有理数-8的立方根为（    ）

A．-2 B．2 C．±2 D．±4

【答案】A

【分析】利用立方根定义计算即可得到结果．

【详解】解：有理数-8的立方根为=-2故选A．

变式3-3．（2017·河北中考真题）如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项错误的是( )

A． B． C．D．

【答案】D

【解析】因为，，，，故答案选D.

考查题型四 实数与数轴

【解题思路】数轴与实数的大小比较等相关内容，会利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键．

典例4．（2020·贵州铜仁市中考真题）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）

A．a＞b B．﹣a＜b C．a＞﹣b D．﹣a＞b

【答案】D

【分析】根据数轴即可判断a和b的符号以及绝对值的大小，根据有理数的大小比较方法进行比较即可求解．

【详解】

根据数轴可得：，，且，

则，选项A错误；

，选项B错误；

，选项C错误；

，选项D正确；

故选：D．

变式4-1．（2019·广东中考真题）实数、在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是(   )

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先由数轴上a，b两点的位置确定a，b的取值范围，再逐一验证即可求解．

【详解】由数轴上a，b两点的位置可知-2＜a＜-1，0<b＜1，

所以a<b，故A选项错误；

|a|>|b|，故B选项错误；

a+b<0，故C选项错误；

，故D选项正确，

故选D.

变式4-2．（2019·甘肃庆阳市·中考真题）如图，数轴的单位长度为1，如果点表示的数是-1，那么点表示的数是(    )．

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【分析】直接利用数轴结合点位置进而得出答案．

【详解】解：∵数轴的单位长度为1，如果点表示的数是-1，∴点表示的数是：3

故选D．

变式4-3．（2019·台湾中考真题）数线上有、、、四点，各点位置与各点所表示的数如图所示．若数线上有一点，点所表示的数为，且，则关于点的位置，下列叙述何者正确？（　　）

A．在的左边 B．介于、之间

C．介于、之间 D．介于、之间

【答案】D

【分析】根据、、、四点在数轴上的位置和绝对值的定义即可得到结论．

【详解】解：，，，，

，

点介于、之间，

故选：D．

考查题型五 实数比较大小

【解题思路】实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此类题的关键是要明确：负数＜0＜正数，两负数相比，绝对值大的反而小，两正数相比，绝对值大的大．

典例5．（2020·江苏苏州市·中考真题）在下列四个实数中，最小的数是（  ）

A． B． C．0 D．

【答案】A

【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．

【详解】解：根据实数大小比较的方法，可得-2＜0＜＜，

所以四个实数中，最小的数是-2．

故选：A．

变式5-1．（2020·黑龙江绥化市·中考真题）化简的结果正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由绝对值的意义，化简即可得到答案．

【详解】解：；故选：D．

变式5-2．（2020·山东菏泽市·中考真题）下列各数中，绝对值最小的数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据绝对值的意义，计算出各选项的绝对值，然后再比较大小即可．

【详解】解：，，，，

∵，

∴绝对值最小的数是；

故选：B．

变式5-3．（2020·内蒙古赤峰市·中考真题）实数，-3，0，中，最小的数是（    ）

A． B．-3 C．0 D．

【答案】B

【分析】去掉A、D选项中的绝对值和根式符号，再将四个选项的实数进行对比，即可求出答案．

【详解】解：A选项：|-5|=5，D 选项：=2，

∵-3＜0＜2＜5，

∴-3＜0＜＜|-5|，其中的最小值为-3，

故选：B．

考查题型六 无理数的估值

【解题思路】针对无理数的定义和估算，解题时注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．

典例6．（2020·天津中考真题）估计的值在（    ）

A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间

【答案】B

【分析】因为，所以在4到5之间，由此可得出答案.

【详解】解：∵，∴．故选：B

变式6-1．（2020·内蒙古赤峰市·中考真题）估计的值应在 （    ）

A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间

【答案】A

【分析】根据二次根式的混合运算法则进行计算，再估算无理数的大小.

【详解】

=

=2+，

∵4<6<9，

∵2<<3，

∴4<2+<5，

故选：A.

变式6-2．（2020·四川达州市中考真题）下列各数中，比3大比4小的无理数是（    ）

A．3.14 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据无理数的定义找出无理数，再估算无理数的范围即可求解．

【详解】解：∵四个选项中是无理数的只有和，而17＞42，32＜12＜42

∴＞4，3＜＜4

∴选项中比3大比4小的无理数只有．故选：C．