2021年中考数学：专题09 分式方程（专题测试 原卷及解析卷）

专题09 分式方程

（满分：100分 时间：90分钟）

班级_________     姓名_________     学号_________     分数_________

一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分)

1．（2020·四川遂宁市·中考真题）已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（　　）

A．8.23×10﹣6 B．8.23×10﹣7 C．8.23×106 D．8.23×107

【答案】B

【解析】

分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

详解：0.000000823=8.23×10-7．

故选B．

2．（2020·湖北荆州市中考专题）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（　　）

A．-=20 B．-=20 C．-= D．=

【答案】C

【分析】

根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．

【详解】

由题意可得，
-=，
故选：C．

3．（2020·山东枣庄市·中考真题）对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据题中的新运算法则表达出方程，再根据分式方程的解法解答即可．

【详解】

解：

∴方程表达为：

解得：，

经检验，是原方程的解，

故选：B．

4．（2020·福建中考真题）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据“这批椽的价钱为6210文”、“每件椽的运费为3文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出方程解答．

【详解】

解：由题意得：，

故选A.

5．（2020·四川乐山市·中考真题）已知，．若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

逆用同底数幂的乘除法及幂的乘方法则．由即可解答．

【详解】

∵，

依题意得：，．

∴，

∴，

故选：C．

6．（2020·湖北荆门市·中考真题）已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（    ）

A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定

【答案】A

【分析】先解出关于x的分式方程得到x=，代入求出k的取值，即可得到k的值，故可求解．

【详解】关于x的分式方程

得x=，

∵

∴

解得-7＜k＜14

∴整数k为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，

又∵分式方程中x≠2且x≠-3

∴k≠35且k≠0

∴所有符合条件的k中，含负整数6个，正整数13个，∴k值的乘积为正数,

故选A．

7．（2020·山东淄博市·中考真题）化简的结果是（     ）

A．a+b B．a﹣b C． D．

【答案】B

【详解】跟据同分母分式相加减的运算法则计算．同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．

【解答】解：原式＝＝＝＝a﹣b．

故选：B．

8．（2020·山东临沂市·中考真题）计算的结果为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用异分母分式的加减法计算即可.

【详解】解：

=

=

=

故选A.

9．（2020·四川泸州市·中考真题）已知关于x的分式方程的解为非负数，则正整数m的所有个数为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，即可解题．

【详解】

解：去分母，得：m+2(x-1)=3，
移项、合并，解得：x=，
∵分式方程的解为非负数，
∴≥0且≠1，
解得：m≤5且m≠3，

∵m为正整数

∴m=1，2，4，5，共4个，
故选：B．

10．（2020·湖北孝感市·中考真题）已知，，那么代数式的值是（    ）

A．2 B． C．4 D．

【答案】D

【分析】先按照分式四则混合运算法则化简原式，然后将x、y的值代入计算即可．

【详解】解：==x+y=+=2．

故答案为D．

二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)

11．（2020·广东广州市·中考真题）方程的解是_______．

【答案】

【分析】根据分式方程的解法步骤解出即可．

【详解】

左右同乘2(x+1)得: 2x=3

解得x=．

经检验x=是方程的跟．

故答案为: ．

12．（2020·山东潍坊市·中考真题）若关于x的分式方程有增根，则_________．

【答案】．

【分析】先把分式方程去分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根求出的值，代入到转化以后的整式方程中计算即可求出的值．

【详解】解：去分母得：，整理得：，

∵关于的分式方程有增根，即，

∴，

把代入到中得：，解得：，

故答案为：．

13．（2020·重庆中考真题）计算： =____．

【答案】3．

【分析】分别计算负整数指数幂，算术平方根，再合并即可得到答案．

【详解】解：

故答案为：3．

14．（2020·内蒙古呼和浩特市·中考真题）分式与的最简公分母是_______，方程的解是____________．

【答案】    x=-4   

【分析】根据最简公分母的定义得出结果，再解分式方程，检验，得解．

【详解】解：∵，

∴分式与的最简公分母是，

方程，

去分母得：，

去括号得：，

移项合并得：，变形得：，

解得：x=2或-4，

∵当x=2时，=0，当x=-4时，≠0，

∴x=2是增根，

∴方程的解为：x=-4．

15．（2020·四川眉山市·中考真题）关于的分式方程的解为正实数，则的取值范围是________．

【答案】且

【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．

【详解】解：

方程两边同乘（x-2）得，1+2x-4=k-1，

解得

，

，且

故答案为：且

三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)

16．（2020·甘肃兰州市·中考真题）先化简，再求值：，其中．

【答案】，．

【分析】括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的除法运算，最后把x的值代入进行计算即可得.

【详解】

，

，

，

，

，

当时，原式．

17．（2020·广西中考真题）某学校为丰富同学们的课余生活，购买了一批数量相等的象棋和围棋供兴趣小组使用，其中购买象棋用了420元，购买围棋用了756元，已知每副围棋比每副象棋贵8元．

（1）求每副围棋和象棋各是多少元？

（2）若该校决定再次购买同种围棋和象棋共40副，且再次购买的费用不超过600元，则该校最多可再购买多少副围棋？

【答案】（1）每副围棋18元，则每副象棋10元；（2）该校最多可再购买25副围棋．

【分析】（1）设每副围棋x元，则每副象棋（x﹣8）元，根据420元购买象棋数量＝756元购买围棋数量列出方程并解答；

（2）设购买围棋m副，则购买象棋（40﹣m）副，根据题意列出不等式并解答．

【详解】

解：（1）设每副围棋x元，则每副象棋（x﹣8）元，

根据题意，得＝．

解得x＝18．

经检验x＝18是所列方程的根．

所以x﹣8＝10．

答：每副围棋18元，则每副象棋10元；

（2）设购买围棋m副，则购买象棋（40﹣m）副，

根据题意，得18m+10（40﹣m）≤600．

解得m≤25，

故m最大值是25．

答：该校最多可再购买25副围棋．

18．（2020·安徽中考真题）观察以下等式：

第1个等式：

第个等式：

第3个等式：

第个等式：

第5个等式：

······

按照以上规律．解决下列问题：

写出第个等式____________；

写出你猜想的第个等式：           (用含的等式表示)，并证明．

【答案】（1）；（2），证明见解析．

【分析】（1）根据前五个个式子的规律写出第六个式子即可；

（2）观察各个式子之间的规律，然后作出总结，再根据等式两边相等作出证明即可．

【详解】

（1）由前五个式子可推出第6个等式为：；

（2），

证明：∵左边==右边，

∴等式成立．

19．（2020·山东泰安市·中考真题）中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．

（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？

（2）第一次所购茶叶全部售完后第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？

【答案】（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为200元，280元；（2）第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒

【分析】

（1）设A种茶叶每盒进价为元，则B种茶叶每盒进价为元，根据“4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒”列出分式方程解答，并检验即可；

（2）设第二次A种茶叶购进盒，则B种茶叶购进盒，根据题意，表达出打折前后，A，B两种茶叶的利润，列出方程即可解答．

【详解】

解：（1）设A种茶叶每盒进价为元，则B种茶叶每盒进价为元．

根据题意，得

．

解得．

经检验：是原方程的根．

∴（元）．

∴A，B两种茶叶每盒进价分别为200元，280元．

（2）设第二次A种茶叶购进盒，则B种茶叶购进盒．

打折前A种茶叶的利润为．

B种茶叶的利润为．

打折后A种茶叶的利润为．

B种茶叶的利润为0．

由题意得：．

解方程，得：．

∴（盒）．

∴第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒．

20．（2020·江苏连云港市·中考真题）甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款100000元，公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：

（1）甲、乙两公司各有多少人？

（2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买、两种防疫物资，种防疫物资每箱15000元，种防疫物资每箱12000元．若购买种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注：、两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．

【答案】（1）甲公司有150人，乙公司有180人；（2）有2种购买方案：购买8箱种防疫物资、10箱种防疫物资，或购买4箱种防疫物资、15箱种防疫物资

【分析】

（1）设乙公司有x人，则甲公司有人，根据对话，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论;

（2）（2）设购买种防疫物资箱，购买种防疫物资箱，根据甲公司共捐款100000元，公司共捐款140000元．列出方程，求解出，根据整数解，约束出m、n的值，即可得出方案．

【详解】

（1）设乙公司有人，则甲公司有人，由题意得

，解得．

经检验，是原方程的解．

∴．

答：甲公司有150人，乙公司有180人．

（2）设购买种防疫物资箱，购买种防疫物资箱，由题意得

，整理得．

又因为，且、为正整数，

所以，．

答：有2种购买方案：购买8箱种防疫物资、10箱种防疫物资，或购买4箱种防疫物资、15箱种防疫物资．