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2021年中考数学：专题19 全等三角形（专题测试 原卷及解析卷）
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这是一份2021年中考数学：专题19 全等三角形（专题测试 原卷及解析卷），文件包含专题19全等三角形专题测试原卷中考数学复习docx、专题19全等三角形专题测试解析卷中考数学复习docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
班级_________ 姓名_________ 学号_________ 分数_________
一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分)
1．（2019·浙江湖州市·中考真题）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积. 如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得EM=DN，利用勾股定理即可求得．
【详解】
如图，为剪痕，过点作于.
∵将该图形分成了面积相等的两部分，
∴经过正方形对角线的交点，
∴.
易证，
∴，
而，
∴.
在中， .
故选：D.
2．（2018·黑龙江中考真题）如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．15B．12.5C．14.5D．17
【答案】B
【分析】
过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，判定△ACD≌△AEB，即可得到△ACE是等腰直角三角形，四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，根据S△ACE=×5×5=12.5，即可得出结论．
【详解】
如图，过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，
∵∠DAB=∠DCB=90°，
∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC，
∴∠D=∠ABE，
又∵∠DAB=∠CAE=90°，
∴∠CAD=∠EAB，
又∵AD=AB，
∴△ACD≌△AEB，
∴AC=AE，即△ACE是等腰直角三角形，
∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，
∵S△ACE=×5×5=12.5，
∴四边形ABCD的面积为12.5，
故选B．
3．（2018·青海中考真题）如图，把直角三角形ABO放置在平面直角坐标系中，已知，B点的坐标为，将沿着斜边AB翻折后得到，则点C的坐标是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
过点C作CD⊥y轴，垂直为D，首先证明△BOA≌△BCA，从而可求得BC的长，然后再求得∠DCB=30°，接下来，依据在Rt△BCD中，求得BD、DC的长，从而可得到点C的坐标．
【详解】
，，，
≌，
，，
过点C作轴，垂直为D，则，
，，
，
故选C．
4．（2019·新疆中考真题）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，以点B为圆心，适当长为半径的画弧，分别交BA，BC于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D，则下列说法中不正确的是（）
A．BP是∠ABC的平分线B．AD=BD
C．D．CD=BD
【答案】C
【分析】
A、由作法得BD是∠ABC的平分线，即可判定；
B、先根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再由BP是∠ABC的平分线得出∠ABD＝30°＝∠A,即可判定；
C，D、根据含30°的直角三角形，30°所对直角边等于斜边的一半，即可判定.
【详解】
解：由作法得BD平分∠ABC，所以A选项的结论正确；
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝30°＝∠A，
∴AD＝BD，所以B选项的结论正确；
∵∠CBD＝∠ABC＝30°，
∴BD＝2CD，所以D选项的结论正确；
∴AD＝2CD，
∴S△ABD＝2S△CBD，所以C选项的结论错误．
故选C．
5．（2019·湖南张家界市·中考真题）如图，在中，，，，BD平分，则点D到AB的距离等于( )
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】
如图，过点D作于E，根据已知求出CD的长，再根据角平分线的性质进行求解即可.
【详解】
如图，过点D作于E，
，，
，
，BD平分，
，
即点D到AB的距离为2，
故选C．
6．（2019·山东潍坊市·中考真题）如图，已知．按照以下步骤作图：①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于，两点，连接．②分别以点，为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接，．③连接交于点．下列结论中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
利用基本作图得出是角平分线的作图，进而解答即可．
【详解】
由作图步骤可得：是的角平分线，
∴∠COE=∠DOE，
∵OC=OD，OE=OE，OM=OM，
∴△COE≌△DOE，
∴∠CEO=∠DEO，
∵∠COE=∠DOE，OC=OD，
∴CM=DM，OM⊥CD，
∴S四边形OCED=S△COE+S△DOE=，
但不能得出，
∴A、B、D选项正确，不符合题意，C选项错误，符合题意，
故选C．
7．（2019·山东临沂市·中考真题）如图，是上一点，交于点，，，若，，则的长是( )
A．0.5B．1C．1.5D．2
【答案】B
【分析】
根据平行线的性质，得出，，根据全等三角形的判定，得出，根据全等三角形的性质，得出，根据，，即可求线段的长．
【详解】
∵，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴.
故选B．
8．（2019·广西河池市·中考真题）如图，在正方形中，点E、F分别在BC、CD上，，则图中与相等的角的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】
根据正方形的性质，利用SAS即可证明△ABE≌△BCF，再根据全等三角形的性质可得∠BFC=∠AEB，进一步得到∠DAE=∠AEB，∠BFC=∠ABF，从而求解．
【详解】
证明：∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又有
故图中与相等的角的个数是3．
故选C．
9．（2020·四川宜宾市·中考真题）如图，都是等边三角形，且B，C，D在一条直线上，连结，点M，N分别是线段BE，AD上的两点，且，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．不等边三角形
【答案】C
【分析】
先证明，得到，根据已知条件可得，证明，得到，即可得到结果；
【详解】
∵都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形．
故答案选C．
10．（2019·广西中考真题）如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用等腰三角形的性质和基本作图得到，则平分，利用和三角形内角和计算出，从而得到的度数.
【详解】
由作法得，
∵，
∴平分，，
∵，
∴．
故选：C．
二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)
11．（2020·广西玉林市·中考真题）如图，将两张对边平行且相等的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形ABCD_________菱形（是，或不是）．
【答案】是
【分析】
如图（见解析），先根据“两张对边平行且相等的纸条”得出，再根据平行四边形的判定可得四边形ABCD是平行四边形，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据菱形的判定即可得．
【详解】
如图，过点B作，交DA延长线于点E，过点D作，交BA延长线于点F
由题意得：
四边形ABCD是平行四边形
在和中，
平行四边形ABCD是菱形
故答案为：是．
12．（2020·黑龙江鹤岗市·中考真题）如图，和中，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______，使和全等．
【答案】，答案不唯一
【分析】
本题是一道开放型的题目，答案不唯一，可以是AB＝ED或BC＝DF或AC＝EF或AE＝CF等，只要符合全等三角形的判定定理即可．
【详解】
∵和中，
∴，
∵，
∴，
∴添加，
在和中
，
∴，
故答案为：答案不唯一．
13．（2020·辽宁本溪市·中考真题）如图，在中，，分别是和的中点，连接，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，若，则的长为_________．
【答案】2
【分析】
依据三角形中位线定理，即可得到MN=BC=2，MNBC，依据△MNE≌△DCE（AAS），即可得到CD=MN=2．
【详解】
解：∵M，N分别是AB和AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN=BC=2，MN∥BC，
∴∠NME=∠D，∠MNE=∠DCE，
∵点E是CN的中点，
∴NE=CE，
∴△MNE≌△DCE（AAS），
∴CD=MN=2．
故答案为：2．
14．（2020·甘肃天水市·中考真题）如图，在边长为6的正方形内作，交于点，交于点，连接，将绕点顺时针旋转得到，若，则的长为__________．
【答案】2
【分析】
根据旋转的性质可得AG=AF，GB=DF，∠BAG=∠DAF，然后根据正方形的性质和等量代换可得∠GAE=∠FAE，进而可根据SAS证明△GAE≌△FAE，可得GE=EF，设BE=x，则CE与EF可用含x的代数式表示，然后在Rt△CEF中，由勾股定理可得关于x的方程，解方程即得答案．
【详解】
解：∵将△绕点顺时针旋转得到△，
∴AG=AF，GB=DF，∠BAG=∠DAF，
∵，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠BAE+∠BAG=45°，即∠GAE=45°，
∴∠GAE=∠FAE，
又AE=AE，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴GE=EF，
设BE=x，则CE=6－x，EF=GE=DF+BE=3+x，
∵DF=3，∴CF=3，
在Rt△CEF中，由勾股定理，得：，
解得：x=2，即BE=2．
故答案为：2．
15．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是______．（只填一个即可）
【答案】AD＝AC(∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等）
【分析】
利用全等三角形的判定方法添加条件即可求解．
【详解】
解：∵∠DAB＝∠CAB，AB＝AB，
∴当添加AD＝AC时，可根据“SAS”判断△ABD≌△ABC；
当添加∠D＝∠C时，可根据“AAS”判断△ABD≌△ABC；
当添加∠ABD＝∠ABC时，可根据“ASA”判断△ABD≌△ABC．
故答案为AD＝AC(∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等)．
三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)
16．（2020·柳州市柳林中学中考真题）如图，已知OC平分∠MON，点A、B分别在射线OM，ON上，且OA＝OB．
求证：△AOC≌△BOC．
【答案】见解析
【分析】
根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法可以证明结论成立．
【详解】
证明：∵OC平分∠MON，
∴∠AOC＝∠BOC，
在△AOC和△BOC中，
，
∴△AOC≌△BOC（SAS）．
17．（2020·江苏连云港市·中考真题）如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的周长．
【答案】（1）见解析；（2）52
【分析】
（1）先证明，得到四边形为平行四边形，再根据菱形定义证明即可；
（2）先根据菱形性质求出OB、OM、再根据勾股定理求出BM，问题的得解．
【详解】
（1）∵，∴．
∵是对角线的垂直平分线，
∴，．
在和中，，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
又∵，
∴四边形为菱形．
（2）∵四边形为菱形，，．
∴，，．
在中，．
∴菱形的周长．
18．（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）如图，在正方形的外侧，作等边角形，连接、．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】(1)见解析；(2)15°．
【分析】
(1)利用正方形的性质得到AB=CD，∠BAD=∠CDA，利用等边三角形的性质得到AE=DE，∠EAD=∠EDA=60°即可证明；
(2)由AB=AD=AE，得到△ABE为等腰三角形，进而得到∠ABE=∠AEB，且∠BAE=90°+60°=150°，再利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，且∠BAD=∠CDA=90°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AE=DE，且∠EAD=∠EDA=60°，
∴∠BAE=∠BAD+∠EAD=150°，∠CDE=∠CDA+∠EDA=150°，
∴∠BAE=∠CDE，
在△BAE和△CDE中:
，
∴．
(2)∵AB=AD，且AD=AE，
∴△ABE为等腰三角形，
∴∠ABE=∠AEB，
又∠BAE=150°，
∴由三角形内角和定理可知：
∠AEB=(180°-150°)÷2=15°．
故答案为：15°．
19．（2020·江苏宿迁市·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E，F在AC上，且AF=CE．求证：四边形BEDF是菱形．
【答案】见解析
【分析】
由正方形的性质可得AB=AD=CD=BC，∠DAE=∠BAE=∠BCF=∠DCF=45°，由“SAS”可证△ABE≌△ADE，△BFC≌△DFC，△ABE≌△CBF，可得BE=BF=DE=DF，可得结论．
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD=BC，∠DAE=∠BAE=∠BCF=∠DCF=45°，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE=DE，
同理可得△BFC≌△DFC，
可得BF=DF，
∵AF=CE，
∴AF-EF=CE-EF，即AE=CF，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴BE=BF，
∴BE=BF=DE=DF，
∴四边形BEDF是菱形．
20．（2020·江苏南通市·中考真题）（1）如图①，点D在AB上，点E在AC上，AD＝AE，∠B＝∠C．求证：AB＝AC．
（2）如图②，A为⊙O上一点，按以下步骤作图：
①连接OA；
②以点A为圆心，AO长为半径作弧，交⊙O于点B；
③在射线OB上截取BC＝OA；
④连接AC．
若AC＝3，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径为．
【分析】
（1）根据“AAS“证明△ABE≌△ACD，然后根据全等三角形的性质得到结论；
（2）连接AB，如图②，由作法得OA=OB=AB=BC，先判断△OAB为等边三角形得到∠OAB=∠OBA=60°，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠C=∠BAC=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求OA的长．
【详解】
（1）证明：在△ABE和△ACD中
，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AB＝AC；
（2）解：连接AB，如图②，
由作法得OA＝OB＝AB＝BC，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝60°，
∵AB＝BC，
∴∠C＝∠BAC，
∵∠OBA＝∠C+∠BAC，
∴∠C＝∠BAC＝30°
∴∠OAC＝90°，
在Rt△OAC中，OA＝AC＝×3＝．
即⊙O的半径为．
班级_________ 姓名_________ 学号_________ 分数_________
一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分)
1．（2019·浙江湖州市·中考真题）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积. 如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得EM=DN，利用勾股定理即可求得．
【详解】
如图，为剪痕，过点作于.
∵将该图形分成了面积相等的两部分，
∴经过正方形对角线的交点，
∴.
易证，
∴，
而，
∴.
在中， .
故选：D.
2．（2018·黑龙江中考真题）如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．15B．12.5C．14.5D．17
【答案】B
【分析】
过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，判定△ACD≌△AEB，即可得到△ACE是等腰直角三角形，四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，根据S△ACE=×5×5=12.5，即可得出结论．
【详解】
如图，过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，
∵∠DAB=∠DCB=90°，
∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC，
∴∠D=∠ABE，
又∵∠DAB=∠CAE=90°，
∴∠CAD=∠EAB，
又∵AD=AB，
∴△ACD≌△AEB，
∴AC=AE，即△ACE是等腰直角三角形，
∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，
∵S△ACE=×5×5=12.5，
∴四边形ABCD的面积为12.5，
故选B．
3．（2018·青海中考真题）如图，把直角三角形ABO放置在平面直角坐标系中，已知，B点的坐标为，将沿着斜边AB翻折后得到，则点C的坐标是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
过点C作CD⊥y轴，垂直为D，首先证明△BOA≌△BCA，从而可求得BC的长，然后再求得∠DCB=30°，接下来，依据在Rt△BCD中，求得BD、DC的长，从而可得到点C的坐标．
【详解】
，，，
≌，
，，
过点C作轴，垂直为D，则，
，，
，
故选C．
4．（2019·新疆中考真题）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，以点B为圆心，适当长为半径的画弧，分别交BA，BC于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D，则下列说法中不正确的是（）
A．BP是∠ABC的平分线B．AD=BD
C．D．CD=BD
【答案】C
【分析】
A、由作法得BD是∠ABC的平分线，即可判定；
B、先根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再由BP是∠ABC的平分线得出∠ABD＝30°＝∠A,即可判定；
C，D、根据含30°的直角三角形，30°所对直角边等于斜边的一半，即可判定.
【详解】
解：由作法得BD平分∠ABC，所以A选项的结论正确；
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝30°＝∠A，
∴AD＝BD，所以B选项的结论正确；
∵∠CBD＝∠ABC＝30°，
∴BD＝2CD，所以D选项的结论正确；
∴AD＝2CD，
∴S△ABD＝2S△CBD，所以C选项的结论错误．
故选C．
5．（2019·湖南张家界市·中考真题）如图，在中，，，，BD平分，则点D到AB的距离等于( )
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】
如图，过点D作于E，根据已知求出CD的长，再根据角平分线的性质进行求解即可.
【详解】
如图，过点D作于E，
，，
，
，BD平分，
，
即点D到AB的距离为2，
故选C．
6．（2019·山东潍坊市·中考真题）如图，已知．按照以下步骤作图：①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于，两点，连接．②分别以点，为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接，．③连接交于点．下列结论中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
利用基本作图得出是角平分线的作图，进而解答即可．
【详解】
由作图步骤可得：是的角平分线，
∴∠COE=∠DOE，
∵OC=OD，OE=OE，OM=OM，
∴△COE≌△DOE，
∴∠CEO=∠DEO，
∵∠COE=∠DOE，OC=OD，
∴CM=DM，OM⊥CD，
∴S四边形OCED=S△COE+S△DOE=，
但不能得出，
∴A、B、D选项正确，不符合题意，C选项错误，符合题意，
故选C．
7．（2019·山东临沂市·中考真题）如图，是上一点，交于点，，，若，，则的长是( )
A．0.5B．1C．1.5D．2
【答案】B
【分析】
根据平行线的性质，得出，，根据全等三角形的判定，得出，根据全等三角形的性质，得出，根据，，即可求线段的长．
【详解】
∵，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴.
故选B．
8．（2019·广西河池市·中考真题）如图，在正方形中，点E、F分别在BC、CD上，，则图中与相等的角的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】
根据正方形的性质，利用SAS即可证明△ABE≌△BCF，再根据全等三角形的性质可得∠BFC=∠AEB，进一步得到∠DAE=∠AEB，∠BFC=∠ABF，从而求解．
【详解】
证明：∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又有
故图中与相等的角的个数是3．
故选C．
9．（2020·四川宜宾市·中考真题）如图，都是等边三角形，且B，C，D在一条直线上，连结，点M，N分别是线段BE，AD上的两点，且，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．不等边三角形
【答案】C
【分析】
先证明，得到，根据已知条件可得，证明，得到，即可得到结果；
【详解】
∵都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形．
故答案选C．
10．（2019·广西中考真题）如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用等腰三角形的性质和基本作图得到，则平分，利用和三角形内角和计算出，从而得到的度数.
【详解】
由作法得，
∵，
∴平分，，
∵，
∴．
故选：C．
二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)
11．（2020·广西玉林市·中考真题）如图，将两张对边平行且相等的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形ABCD_________菱形（是，或不是）．
【答案】是
【分析】
如图（见解析），先根据“两张对边平行且相等的纸条”得出，再根据平行四边形的判定可得四边形ABCD是平行四边形，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据菱形的判定即可得．
【详解】
如图，过点B作，交DA延长线于点E，过点D作，交BA延长线于点F
由题意得：
四边形ABCD是平行四边形
在和中，
平行四边形ABCD是菱形
故答案为：是．
12．（2020·黑龙江鹤岗市·中考真题）如图，和中，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______，使和全等．
【答案】，答案不唯一
【分析】
本题是一道开放型的题目，答案不唯一，可以是AB＝ED或BC＝DF或AC＝EF或AE＝CF等，只要符合全等三角形的判定定理即可．
【详解】
∵和中，
∴，
∵，
∴，
∴添加，
在和中
，
∴，
故答案为：答案不唯一．
13．（2020·辽宁本溪市·中考真题）如图，在中，，分别是和的中点，连接，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，若，则的长为_________．
【答案】2
【分析】
依据三角形中位线定理，即可得到MN=BC=2，MNBC，依据△MNE≌△DCE（AAS），即可得到CD=MN=2．
【详解】
解：∵M，N分别是AB和AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN=BC=2，MN∥BC，
∴∠NME=∠D，∠MNE=∠DCE，
∵点E是CN的中点，
∴NE=CE，
∴△MNE≌△DCE（AAS），
∴CD=MN=2．
故答案为：2．
14．（2020·甘肃天水市·中考真题）如图，在边长为6的正方形内作，交于点，交于点，连接，将绕点顺时针旋转得到，若，则的长为__________．
【答案】2
【分析】
根据旋转的性质可得AG=AF，GB=DF，∠BAG=∠DAF，然后根据正方形的性质和等量代换可得∠GAE=∠FAE，进而可根据SAS证明△GAE≌△FAE，可得GE=EF，设BE=x，则CE与EF可用含x的代数式表示，然后在Rt△CEF中，由勾股定理可得关于x的方程，解方程即得答案．
【详解】
解：∵将△绕点顺时针旋转得到△，
∴AG=AF，GB=DF，∠BAG=∠DAF，
∵，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠BAE+∠BAG=45°，即∠GAE=45°，
∴∠GAE=∠FAE，
又AE=AE，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴GE=EF，
设BE=x，则CE=6－x，EF=GE=DF+BE=3+x，
∵DF=3，∴CF=3，
在Rt△CEF中，由勾股定理，得：，
解得：x=2，即BE=2．
故答案为：2．
15．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是______．（只填一个即可）
【答案】AD＝AC(∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等）
【分析】
利用全等三角形的判定方法添加条件即可求解．
【详解】
解：∵∠DAB＝∠CAB，AB＝AB，
∴当添加AD＝AC时，可根据“SAS”判断△ABD≌△ABC；
当添加∠D＝∠C时，可根据“AAS”判断△ABD≌△ABC；
当添加∠ABD＝∠ABC时，可根据“ASA”判断△ABD≌△ABC．
故答案为AD＝AC(∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等)．
三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)
16．（2020·柳州市柳林中学中考真题）如图，已知OC平分∠MON，点A、B分别在射线OM，ON上，且OA＝OB．
求证：△AOC≌△BOC．
【答案】见解析
【分析】
根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法可以证明结论成立．
【详解】
证明：∵OC平分∠MON，
∴∠AOC＝∠BOC，
在△AOC和△BOC中，
，
∴△AOC≌△BOC（SAS）．
17．（2020·江苏连云港市·中考真题）如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的周长．
【答案】（1）见解析；（2）52
【分析】
（1）先证明，得到四边形为平行四边形，再根据菱形定义证明即可；
（2）先根据菱形性质求出OB、OM、再根据勾股定理求出BM，问题的得解．
【详解】
（1）∵，∴．
∵是对角线的垂直平分线，
∴，．
在和中，，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
又∵，
∴四边形为菱形．
（2）∵四边形为菱形，，．
∴，，．
在中，．
∴菱形的周长．
18．（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）如图，在正方形的外侧，作等边角形，连接、．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】(1)见解析；(2)15°．
【分析】
(1)利用正方形的性质得到AB=CD，∠BAD=∠CDA，利用等边三角形的性质得到AE=DE，∠EAD=∠EDA=60°即可证明；
(2)由AB=AD=AE，得到△ABE为等腰三角形，进而得到∠ABE=∠AEB，且∠BAE=90°+60°=150°，再利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，且∠BAD=∠CDA=90°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AE=DE，且∠EAD=∠EDA=60°，
∴∠BAE=∠BAD+∠EAD=150°，∠CDE=∠CDA+∠EDA=150°，
∴∠BAE=∠CDE，
在△BAE和△CDE中:
，
∴．
(2)∵AB=AD，且AD=AE，
∴△ABE为等腰三角形，
∴∠ABE=∠AEB，
又∠BAE=150°，
∴由三角形内角和定理可知：
∠AEB=(180°-150°)÷2=15°．
故答案为：15°．
19．（2020·江苏宿迁市·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E，F在AC上，且AF=CE．求证：四边形BEDF是菱形．
【答案】见解析
【分析】
由正方形的性质可得AB=AD=CD=BC，∠DAE=∠BAE=∠BCF=∠DCF=45°，由“SAS”可证△ABE≌△ADE，△BFC≌△DFC，△ABE≌△CBF，可得BE=BF=DE=DF，可得结论．
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD=BC，∠DAE=∠BAE=∠BCF=∠DCF=45°，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE=DE，
同理可得△BFC≌△DFC，
可得BF=DF，
∵AF=CE，
∴AF-EF=CE-EF，即AE=CF，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴BE=BF，
∴BE=BF=DE=DF，
∴四边形BEDF是菱形．
20．（2020·江苏南通市·中考真题）（1）如图①，点D在AB上，点E在AC上，AD＝AE，∠B＝∠C．求证：AB＝AC．
（2）如图②，A为⊙O上一点，按以下步骤作图：
①连接OA；
②以点A为圆心，AO长为半径作弧，交⊙O于点B；
③在射线OB上截取BC＝OA；
④连接AC．
若AC＝3，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径为．
【分析】
（1）根据“AAS“证明△ABE≌△ACD，然后根据全等三角形的性质得到结论；
（2）连接AB，如图②，由作法得OA=OB=AB=BC，先判断△OAB为等边三角形得到∠OAB=∠OBA=60°，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠C=∠BAC=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求OA的长．
【详解】
（1）证明：在△ABE和△ACD中
，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AB＝AC；
（2）解：连接AB，如图②，
由作法得OA＝OB＝AB＝BC，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝60°，
∵AB＝BC，
∴∠C＝∠BAC，
∵∠OBA＝∠C+∠BAC，
∴∠C＝∠BAC＝30°
∴∠OAC＝90°，
在Rt△OAC中，OA＝AC＝×3＝．
即⊙O的半径为．
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