2021年中考数学：专题26 矩形与正方形（专题测试 原卷及解析卷试）

专题26 矩形与正方形

（满分：100分 时间：90分钟）

班级_________     姓名_________     学号_________     分数_________

一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分)

1．（2020·浙江中考真题）四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′．若∠D′AB＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是（　　）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【分析】

如图，连接DD＇,延长C＇D＇交AD于E，由菱形ABC＇D＇，可得AB∥C＇D＇,进一步说明∠ED＇D=30°,得到菱形AE=AD;又由正方形ABCD,得到AB=AD,即菱形的高为AB的一半,然后分别求出菱形ABC＇D＇和正方形ABCD的面积,最后求比即可．

【详解】

解：如图：延长C＇D＇交AD于E

∵菱形ABC＇D＇

∴AB∥C＇D＇

∵∠D＇AB=30°

∴∠A D＇E=∠D＇AB=30°

∴AE=AD

又∵正方形ABCD

∴AB=AD,即菱形的高为AB的一半

∴菱形ABC′D′的面积为，正方形ABCD的面积为AB2．

∴菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是．

故答案为B．

2．（2019·内蒙古中考真题）如图，在正方形的外侧，作等边，则为（　　）

A．15° B．35° C．45° D．55°

【答案】C

【分析】

根据正方形的性质及等边三角形的性质求出∠DAE=150°，∠AED=15°，再求∠BED．

【详解】

在正方形中，，，

在等边中，，，

在中，，，

所以，，

所以．

故选：C．

3．（2019·山东枣庄市·中考真题）如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．若四边形AECF的面积为20，DE=2，则AE的长为（   ）

A．4 B． C．6 D．

【答案】D

【分析】

利用旋转的性质得出四边形 AECF的面积等于正方形 ABCD的面积，进而可求

出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．

【详解】

绕点顺时针旋转到的位置．

四边形的面积等于正方形的面积等于20，

，

，

中，

故选．

4．（2020·浙江台州市·中考真题）下是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（    ）

A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③

C．由③推出①，由①推出② D．由①推出③，由③推出②

【答案】A

【详解】

根据正方形特点由②可以推理出③，再由矩形的性质根据③推出①，

故选A．

5．（2020·浙江金华市·中考真题）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH.连结EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P.若GO=GP，则的值是（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

证明，得出．设，则，，由勾股定理得出，则可得出答案．

【详解】

解：四边形为正方形，

，，

，

，

，

又，

，

，

，，

，

．

设，

为，的交点，

，，

四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，

，

，

，

．

故选：．

6．（2020·湖南怀化市·中考真题）在矩形中，、相交于点，若的面积为2，则矩形的面积为（    ）

A．4 B．6 C．8 D．10

【答案】C

【分析】

根据矩形的性质得到OA=OB=OC=OD，推出，即可求出矩形ABCD的面积.

【详解】

∵四边形ABCD是矩形，对角线、相交于点，

∴AC=BD，且OA=OB=OC=OD，

∴,

∴矩形的面积为,

故选：C.

7．（2020·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，∠1＝125°，则∠BFG的大小为（    ）

A．125° B．115° C．110° D．120°

【答案】B

【分析】

根据矩形得出AD∥BC，根据平行线的性质得出∠1+∠BFE＝180°，求出∠BFE，根据三角形内角和定理求出∠EFG，即可求出答案．

【详解】

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠1+∠BFE＝180°，

∵∠1＝125°，

∴∠BFE＝55°，

∵在△EGF中，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，

∴∠EFG＝180°﹣∠EGF﹣∠FEG＝60°，

∴∠BFG＝∠BFE+∠EFG＝55°+60°＝115°，

故选：B．

8．（2020·山东枣庄市·中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC=∠ECA，则AC的长是（　　）

A． B．6 C．4 D．5

【答案】B

【解析】

∵将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，

∴AF=AB，∠AFE=∠B=90°，

∴EF⊥AC，

∵∠EAC=∠ECA，

∴AE=CE，

∴AF=CF，

∴AC=2AB=6，

故选B．

9．（2020·内蒙古中考真题）如图，在中，，D是的中点，，交的延长线于点E．若，，则的长为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意将BD,BC算出来,再利用勾股定理列出方程组解出即可．

【详解】

∵AC=2,BC=,

∴,

∵D是AB的中点,

∴AD=CD=BD=．

由题意可得:

两式相减得: ,

解得DE=,BE=,

故选A．

10．（2020·内蒙古赤峰市·中考真题）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】

根据直角三角形的性质得到DF=4，根据BC= 14，由三角形中位线定理得到DE=7，解答即可．

【详解】

解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点，
∴DF= AB=4，
∵BC= 14，D、E分别是AB，AC的中点，

∴DE=BC=7，
∴EF=DE-DF=3，
故选：B

二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)

11．（2020·湖南岳阳市·中考真题）如图：在中，是斜边上的中线，若，则_________．

【答案】

【分析】

先根据直角三角形斜边中线的性质得出，则有，最后利用三角形外角的性质即可得出答案．

【详解】

∵在中，是斜边上的中线，，

∴．

∵，

∴，

∴．

故答案为：．

12．（2020·山东威海市·中考真题）如图，四边形是一张正方形纸片，其面积为．分别在边，，，上顺次截取，连接，，，．分别以，，，为轴将纸片向内翻折，得到四边形，若四边形的面积为，则__________．

【答案】4

【分析】

由四边形的面积算出边长,再用a表示出EB,即可表示出四个三角形的面积,列出等式即可求解．

【详解】

∵四边形是由四个直角边翻折得到的,

∴四边形是正方形,

∵四边形是9cm2,

∴．

∵,

∴EB=FC=DG=HD=(a－3)cm．

∴2S△AEH=(S□ABCD－S□A1B1C1D1)÷4=(25－9)÷4=4cm2,

即,,

因式分解得:,

∴a=4或a=﹣1(舍去)．

故答案为4．

13．（2020·湖南郴州市·中考真题）如图，在矩形中，．分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和．作直线分别与交于点，则__________．

【答案】2．

【分析】

连接DN，在矩形ABCD中，AD=4，AB=8，根据勾股定理可得BD的长，根据作图过程可得，MN是BD的垂直平分线，所以DN=BN，在Rt△ADN中，根据勾股定理得DN的长，在Rt△DON中，根据勾股定理得ON的长，进而可得MN的长．

【详解】

如图，连接DN，

在矩形ABCD中，AD=4，AB=8，

∴BD=，

根据作图过程可知：

MN是BD的垂直平分线，

∴DN=BN，OB=OD=2，

∴AN=AB-BN=AB-DN=8-DN，

在Rt△ADN中，根据勾股定理，得

DN2=AN2+AD2，

∴DN2=（8-DN）2+42，

解得DN=5，

在Rt△DON中，根据勾股定理，得

ON=，

∵CD∥AB，

∴∠MDO=∠NBO，

∠DMO=∠BNO，

∵OD=OB，

∴△DMO≌△BNO（AAS），

∴OM=ON=，

∴MN=2．

故答案为：2．

14．（2020·江苏镇江市·中考真题）如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为_____°．

【答案】135

【分析】

由正方形的性质可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2＋∠BCP＝45°＝∠1＋∠BCP，由三角形内角和定理可求解．

【详解】

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ACB＝∠BAC＝45°，

∴∠2+∠BCP＝45°，

∵∠1＝∠2，

∴∠1+∠BCP＝45°，

∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP，

∴∠BPC＝135°，

故答案为：135．

15．（2020·山东淄博市·中考真题）如图，矩形纸片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E为边CD上一点．将△BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN＝_____cm．

【答案】5

【详解】

连接AC，FC，求出AC，利用三角形的中位线定理解决问题即可．

【解答】解：连接AC，FC．

由翻折的性质可知，BE垂直平分线段CF，

∴FM⊥BE，∴F．M，C共线，FM＝MC，

∵AN＝FN，∴MN＝AC，

∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，

∴AC＝＝＝10（cm），∴MN＝AC＝5（cm），

故答案为5．

三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)

16．（2020·北京中考真题）在中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．

（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设，求EF的长（用含的式子表示）；

（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．

【答案】（1）；（2）图见解析，，证明见解析．

【分析】

（1）先根据中位线定理和线段中点定义可得，，，再根据平行四边形的性质、矩形的判定与性质可得，从而可得，然后利用勾股定理即可得；

（2）如图（见解析），先根据平行线的性质可得，，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，，然后根据垂直平分线的判定与性质可得，最后在中，利用勾股定理、等量代换即可得证．

【详解】

（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点

∴DE为的中位线，且

∴，

∵

∴

∵

∴

∴四边形DECF为矩形

∴

∴

则在中，；

（2）过点B作AC的平行线交ED的延长线于点G，连接FG

∵

∴，

∵D是AB的中点

∴

在和中，

∴

∴，

又∵

∴DF是线段EG的垂直平分线

∴

∵，

∴

在中，由勾股定理得：

∴．

17．（2019·山东中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC上，AG＝CH，直线GH绕点O逆时针旋转α角，与边AB、CD分别相交于点E、F（点E不与点A、B重合）．

（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；

（2）若∠α＝90°，AB＝9，AD＝3，求AE的长．

【答案】（1）详见解析；（2）AE＝5．

【分析】

（1）由“ASA”可证△COF≌△AOE，可得EO＝FO，且GO＝HO，可证四边形EHFG是平行四边形；

（2）由题意可得EF垂直平分AC，可得AE＝CE，由勾股定理可求AE的长．

【详解】

证明：（1）∵对角线AC的中点为O

∴AO＝CO，且AG＝CH

∴GO＝HO

∵四边形ABCD是矩形

∴AD＝BC，CD＝AB，CD∥AB

∴∠DCA＝∠CAB，且CO＝AO，∠FOC＝∠EOA

∴△COF≌△AOE（ASA）

∴FO＝EO，且GO＝HO

∴四边形EHFG是平行四边形；

（2）如图，连接CE

∵∠α＝90°，

∴EF⊥AC，且AO＝CO

∴EF是AC的垂直平分线，

∴AE＝CE，

在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2，

∴AE2＝（9﹣AE）2+9，

∴AE＝5

18．（2020·内蒙古呼和浩特市·中考真题）如图，正方形，G是边上任意一点（不与B、C重合），于点E，，且交于点F．

（1）求证：；

（2）四边形是否可能是平行四边形，如果可能请指出此时点G的位置，如不可能请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）不可能，理由见解析

【分析】

（1）证明△ABF≌△DAE，从而得到AF=DE，AE=BF，可得结果；

（2）若要四边形是平行四边形，则DE=BF，则∠BAF=45°，再证明∠BAF≠45°即可.

【详解】

解：（1）证明：∵正方形，

∴AB=AD，∠BAF+∠DAE=90°，

∵DE⊥AG，

∴∠DAE+∠ADE=90°，

∴∠ADE=∠BAF，

又∵，

∴∠BFA=90°=∠AED，

∴△ABF≌△DAE（AAS），

∴AF=DE，AE=BF，

∴；

（2）不可能，理由是：

如图，若要四边形是平行四边形，

已知DE∥BF，则当DE=BF时，四边形BFDE为平行四边形，

∵DE=AF，

∴BF=AF，即此时∠BAF=45°，

而点G不与B和C重合，

∴∠BAF≠45°，矛盾，

∴四边形不能是平行四边形.

19．（2020·四川自贡市·中考真题）如图，在正方形中，点在边的延长线上，点在边的延长线上，且,连接和相交于点．

求证： ．

【答案】证明见解析．

【分析】

利用正方形的性质证明：AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，再证明BE=CF，可得三角形的全等，利用全等三角形的性质可得答案．

【详解】

证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，

又∵CE=DF，

∴CE+BC=DF+CD即BE=CF，

在△BCF和△ABE中，

∴（SAS），

∴AE=BF．

20．（2020·山东日照市·中考真题）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以AB为边在AB上方作正方形ABDE，过点D作DF⊥CB，交CB的延长线于点F，连接BE．

（1）求证：△ABC≌△BDF；

（2）P，N分别为AC，BE上的动点，连接AN，PN，若DF＝5，AC＝9，求AN+PN的最小值．

【答案】（1）见解析；（2）14

【分析】

（1）根据正方形的性质得出BD=AB，∠DBA=90°，进而得出∠DBF=∠CAB，因为∠C=∠DFB=90°．根据AAS即可证得结论；
（2）根据正方形的性质AN=DN，如使得AN+PN最小，只需D、N、P在一条直线上，根据垂线段最短，作DP1⊥AC，交BE于点N1，垂足为P1，则AN+PN的最小值等于DP1=FC=14．

【详解】

（1）证明：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，DF⊥CB，

∴∠C＝∠DFB＝90°．

∵四边形ABDE是正方形，

∴BD＝AB，∠DBA＝90°，

∵∠DBF+∠ABC＝90°，∠CAB+∠ABC＝90°，

∴∠DBF＝∠CAB，

∴△ABC≌△BDF（AAS）；

（2）解：∵△ABC≌△BDF，

∴DF＝BC＝5，BF＝AC＝9，

∴FC＝BF+BC＝9+5＝14．

如图，连接DN，

∵BE是正方形顶点A与顶点D的对称轴，

∴AN＝DN．

如使得AN+PN最小，只需D、N、P在一条直线上，

由于点P、N分别是AC和BE上的动点，

作DP1⊥AC，交BE于点N1，垂足为P1，

所以，AN+PN的最小值等于DP1＝FC＝14．