（新高考专用）2021年新高考数学难点：专题03 圆锥曲线中的中点弦问题

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1．已知椭圆的弦被点平分，那么这条弦所在的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知椭圆，过点的直线与椭圆交于两点，若点恰为弦中点，则直线斜率是（ ）
A．B．C．D．
3．直线与椭圆相交于两点，若中点的横坐标为，则=（ ）
A．B．C．D．
4．已知抛物线，以为中点作的弦，则这条弦所在直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知椭圆：()的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点.若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
6．在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线的焦点，A、B是抛物线上两个不同的点．若，则线段AB的中点到y轴的距离为（ ）
A．B．1C．D．2
7．过椭圆的右焦点的直线与交于，两点，若线段的中点的坐标为，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
8．已知椭圆的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为（1，-1），则G的方程为（ ）
A．B．C．D．
9．直线过点与抛物线交于两点，若恰为线段的中点，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
10．已知椭圆的右焦点为，离心率，过点的直线交椭圆于两点，若中点为，则直线的斜率为（ ）
A．2B．C．D．
11．已知椭圆，过M的右焦点作直线交椭圆于A，B两点，若AB中点坐标为，则椭圆M的方程为（ ）
A．B．C．D．
12．已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点M，则M的坐标为（ ）
A．B．C．D．
13．已知椭圆：，过点的直线交椭圆于，两点.若中点坐标为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
14．已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
15．已知椭圆C：内一点M(1，2)，直线与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的焦点坐标为(2，0)、(-2，0）B．椭圆C的长轴长为
C．直线的方程为D．
三、填空题
16．ABC的三个顶点都在抛物线E：y2＝2x上，其中A(2，2)，ABC的重心G是抛物线E的焦点，则BC边所在直线的方程为________．
17．设A､B是椭圆上的两点，点是线段AB的中点，直线AB的的方程为__________.
18．已知椭圆，过点（4，0）的直线交椭圆于两点.若中点坐标为（2，﹣1），则椭圆的离心率为_______
19．已知双曲线方程是，过定点作直线交双曲线于两点，并使为的中点，则此直线方程是__________________．
20．已知椭圆E：过椭圆内部点的直线交椭圆于M，N两点，且则直线MN的方程为_____________.
21．已知双曲线和点，直线经过点且与双曲线相交于、两点，当恰好为线段的中点时，的方程为______．
22．已知抛物线为过焦点的弦，过分别作抛物线的切线，两切线交于点，设，则下列结论正确的有________．
①若直线的斜率为-1，则弦；
②若直线的斜率为-1，则；
③点恒在平行于轴的直线上；
④若点是弦的中点，则．
23．已知椭圆的半焦距为，且，若椭圆经过两点，且是圆的一条直径，则直线的方程为_________.
24．椭圆的弦中点为，则直线的方程___________
25．已知点P(1，2)是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则直线l的方程是_____.
四、解答题
26．已知椭圆的左、右顶点分别为、，直线与椭圆交于、两点．
（1）点的坐标为，若，求直线的方程；
（2）若直线过椭圆的右焦点，且点在第一象限，求、分别为直线、的斜率）的取值范围．
27．已知动圆过点，且与直线相切．
（Ⅰ）求圆心的轨迹的方程；
（Ⅱ）斜率为1的直线经过点，且直线与轨迹交于点，求线段的垂直平分线方程．
28．已知椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于两点，且线段的中点在圆，求的值.
30．已知直线l与抛物线交于两点．
（1）若l的方程为，求；
（2）若弦的中点为，求l的方程．
31．坐标平面内的动圆与圆外切，与圆内切，设动圆的圆心的轨迹是曲线，直线.
（1）求曲线的方程；
（2）当点在曲线上运动时，它到直线的距离最小？最小值距离是多少？
（3）一组平行于直线的直线，当它们与曲线相交时，试判断这些直线被椭圆所截得的线段的中点是否在同一条直线上，若在同一条直线上，求出该直线的方程；若不在同一条直线上，请说明理由？
32．已知椭圆的长轴长为8，一条准线方程为与椭圆共焦点的双曲线其离心率是椭圆的离心率的2倍.
（1）分别求椭圆和双曲线的标准方程；
（2）过点M(4，1)的直线l与双曲线交于P，Q两点，且M为线段PQ的中点，求直线l的方程.
33．椭圆：，直线过点，交椭圆于､两点，且为的中点.
（1）求直线的方程；
（2）若，求的值.
35．在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点为、，实轴长为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点的直线与曲线交于，两点，且恰好为线段的中点，求线段长度.
36．已知双曲线.
（1）倾斜角45°且过双曲线右焦点的直线与此双曲线交于M，N两点，求.
（2）过点的直线l与此双曲线交于，两点，求线段中点P的轨迹方程；
（3）过点能否作直线m，使m与此双曲线交于，两点，且点B是线段的中点?这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.