（新高考专用）2021年新高考数学难点：专题01 圆锥曲线中的弦长问题

专题01 圆锥曲线中的弦长问题

一、单选题

1．设椭圆长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，则过焦点且垂直于长轴的弦长是（    ）

A． B． C． D．

2．已知椭圆，直线l过椭圆C的左焦点F且交椭圆于A，B两点，的中垂线交x轴于M点，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

3．过椭圆9x2+25y2=225的右焦点且倾斜角为45°的弦长AB的长为（    ）

A．5 B．6 C． D．7

4．椭圆的左、右焦点分别是、，斜率为的直线l过左焦点且交于，两点，且的内切圆的周长是，若椭圆的离心率为，则线段的长度的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

5．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，以线段为直径的圆交轴于、两点，则（    ）

A．若抛物线上存在一点到焦点的距离等于，则抛物线的方程为

B．若，则直线的斜率为

C．若直线的斜率为，则

D．设线段的中点为，若点到抛物线准线的距离为，则的最小值为

三、解答题

6．如图，是直线上一动点，过点且与垂直的直线交抛物线于，两点，点在，之间．

（1）若过抛物线的焦点，求；

（2）求的最小值．

7．已知椭圆（）长轴长为短轴长的两倍，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，直线过点，且与椭圆相交于另一点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若线段长为，求直线的倾斜角．

8．已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点.

（1）若直线的倾斜角为，求线段的长；

（2）若，求的长.

9．已知圆上上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为，当在圆上运动时，线段中点为.

（1）求点的轨迹方程；

（2）若直线l的方程为y＝x－1，与点的轨迹交于，两点，求弦的长.

10．已知椭圆的右焦点为，左、右顶点为、，，.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求直线被椭圆截得的弦长.

11．已知直线与圆相交.

（1）求的取值范围；

（2）若与相交所得弦长为，求直线与相交所得弦长.

12．已知双曲线的标准方程为，分别为双曲线的左、右焦点.

（1）若点在双曲线的右支上，且的面积为，求点的坐标；

（2）若斜率为1且经过右焦点的直线与双曲线交于两点，求线段的长度.

13．设抛物线，为的焦点，过的直线与交于两点.

（1）设的斜率为，求的值；

（2）求证：为定值.

14．已知椭圆M：的一个焦点为，左右顶点分别为A，B．经过点的直线l与椭圆M交于C，D两点．

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）当直线l的倾斜角为时，求线段CD的长；

（Ⅲ）记△ABD与△ABC的面积分别为和，求的最大值．

15．已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，直线过椭圆的右焦点与上顶点，动直线：与椭圆交于，两点，交于点.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知为坐标原点，若点满足，求此时的长度.

16．已知椭圆，为坐标原点，为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的左、右焦点，且，其离心率为，过点的动直线与椭圆相交于，两点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)当时，求直线的方程

17．如图，椭圆（）的离心率为，过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦与．当直线的斜率为0时，．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求使取最小值时直线的方程．

18．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，且过点的直线被抛物线所截得的弦长为8．

（1）求直线的方程；

（2）当直线的斜率大于零时，求过点且与抛物线的准线相切的圆的方程．

19．椭圆：，直线过点，交椭圆于､两点，且为的中点.

（1）求直线的方程；

（2）若，求的值.

20．如图所示，已知圆上有一动点，点的坐标为，四边形为平行四边形，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）过点的直线与曲线有两个不同的交点、，问是否存在实数，使得成立，若存在求出的值；若不存在，请说明理由.

21．已知椭圆，直线过点与椭圆交于两点，为坐标原点.

（1）设为的中点，当直线的斜率为时，求线段的长；

（2）当△面积等于时，求直线的斜率.

22．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于两点.

（1）将表示为的函数；

（2）若，求的周长.

23．如图，过点的直线与抛物线交于两点.

（1）若，求直线的方程;

（2）记抛物线的准线为，设直线分别交于点，求的值.

24．设椭圆E：（a，b>0）过M（2，） ，N(，1)两点，O为坐标原点，

（1）求椭圆E的方程；

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由.

25．折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长. 某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，按如下步骤折纸（如下图），

步骤1：设圆心是，在圆内不是圆心处取一点，标记为F；

步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过F；

步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕；

步骤4：不停重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕．

所有这些折痕围成的图形是一个椭圆.若取半径为4的圆形纸片，设定点到圆心的距离为2，按上述方法折纸.

（1）建立适当的坐标系，求折痕围成椭圆的标准方程；

（2）求经过，且与直线夹角为的直线被椭圆截得的弦长.

四、填空题

26．在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点作斜率为1的直线，与抛物线交于，两点．若弦的长为6，则实数的值为__________.

27．已知抛物线C : y2=2px(p>0)，直线l ：y = 2x+ b经过抛物线C的焦点，且与C相交于A、B 两点．若|AB| = 5，则p = ___．

28．已知抛物线为过焦点的弦，过分别作抛物线的切线，两切线交于点，设，则下列结论正确的有________．

①若直线的斜率为-1，则弦；

②若直线的斜率为-1，则；

③点恒在平行于轴的直线上；

④若点是弦的中点，则．

五、双空题

29．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，且，线段的垂直平分线过点，则抛物线的方程是______；若直线过点，则______.