（新高考专用）2021年新高考数学难点：专题40 赋值法求部分项系数或二项式系数

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专题40 赋值法求部分项系数或二项式系数
一、多选题
1．已知的展开式中第3项的二项式系数为45，且展开式中各项系数和为1024，则下列说法正确的是（ ）
A． B．展开式中偶数项的二项式系数和为512
C．展开式中第6项的系数最大 D．展开式中的常数项为45
【答案】BCD
【分析】
由二项式定理及二项式系数的性质逐项判断即可得解.
【详解】
由题意，，所以（负值舍去），
又展开式中各项系数之和为1024，所以，所以，故A错误；
偶数项的二项式系数和为，故B正确；
展开式的二项式系数与对应项的系数相同，
所以展开式中第6项的系数最大，故C正确；
的展开式的通项，
令，解得，所以常数项为，故D正确.
故选：BCD.
2．若的展开式中的系数是，则（ ）
A． B．所有项系数之和为1
C．二项式系数之和为 D．常数项为
【答案】ABC
【分析】
首先根据展开式中的系数是得到，从而判断A正确，令得到所有项系数之和为，从而判断B正确，根据二项式系数之和为，从而判断C正确，根据的常数项为，从而判断D错误.
【详解】
对选项A，的展开式中项为，
所以，解得，故A正确；
由A知：，
令，所有项系数之和为，故B正确；
对选项C，二项式系数之和为，故C正确；
对选项D，的常数项为，故D错误.
故选：ABC
【点睛】
本题主要考查二项式的定理的各项系数之和，项的系数之和，常数项，属于中档题.

二、单选题
3．如果的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数是（ ）
A．90 B．80 C．-90 D．-92
【答案】C
【分析】
根据条件求出，然后写出其通项公式，然后可算出答案.
【详解】
令，得展开式中各项系数之和为.由，得，
通项公式为，
令，得，所以的系数是
故选：C
4．若，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】
令可得：，
令可得：，相加即可得解.
【详解】
令可得：，
令可得：，
两式相加可得：，
所以，
故选：B
5．已知二项式的展开式中所有项的系数和为512，函数，且，则函数取最大值时的取值为（ ）
A．4 B．5 C．4或5 D．6
【答案】C
【分析】
令，可得展开式中所有项的系数和，即可求出的值，从而可得出再利用二项式系数最值性即可求解.
【详解】
因为二项式的展开式中所有项的系数和为512，
令，得
所以，二项式展开式有10项，
则由二项式系数最值性可知第5项和第6项的二项式系数最大，
所以当或5时，最大，
故选：C
【点睛】
本题主要考查了二项式展开式所有项的系数之和，以及展开式中二项式系数最大的项，属于基础题.
6．展开式中各项系数之和为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】
令即可求得展开式中各项系数之和.
【详解】
解：令，得展开式中各项系数之和为.
故选：A.
【点睛】
本题考查二项式定理展开式各项系数之和，解题的关键在于赋值法，是基础题.
7．的展开式中常数项为（ ）
A． B．160 C．80 D．
【答案】A
【分析】
在二项展开式的通项公式中，令的指数等于0，求出的值，即可求得常数项.
【详解】
展开式的通项公式为，
令，可得，故展开式的常数项为.
故选：A.
【点睛】
本题考查了利用二项式定理求常数项，关键在于写出二项展开式的通项，属于基础题.
8．在的展开式中，常数项为（ ）
A．60 B．30 C．20 D．15
【答案】A
【分析】
根据二项式定理，得出展开式的通项，进而可得出结果.
【详解】
因为展开式的第项为，
令，则，
所以常数项为.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查求二项展开式中的常数项，属于基础题型.
9．展开式中各项的系数和为（ ）
A． B．1 C． D．12
【答案】B
【分析】
利用赋值法求出答案即可.
【详解】
由题意，不妨设.
令得：，即展开式中各项系数和为1.
故选：B
【点睛】
本题考查的是二项式展开式的系数和问题，较简单.
10．若，则的值为（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．2
【答案】C
【分析】
利用赋值法可得：令可得；令可得：，即可得出结果.
【详解】
因为，
令可得；
令可得：；
故．
故选：C.
【点睛】
本题主要考查利用赋值法求值，考查计算能力，属于较易题.
11．将多项式分解因式得，则（ ）
A．16 B．14 C． D．
【答案】C
【分析】
将展开，观察 的系数，对应的展开相乘，相加得到答案.
【详解】
解析：由题意，，，所以，
故选：C.
【点睛】
本题考查了二项式定理,考查计算能力，属于基础题.
12．设(1+x)n=a0+a1x+…+anxn,若a1+a2+…+an=63,则展开式中系数最大的项是( )
A．15x2 B．20x3 C．21x3 D．35x3
【答案】B
【解析】
令x=1,则(1+1)n=++…+=64.∴n=6.
故(1+x)6的展开式中系数最大的项为T4=x3=20x3.
13．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用二项式定理可知、、、为负数，、、、、为正数，可得出，然后令可求得所求代数式的值，可以求得，从而求得结果.
【详解】
二项式的展开式通项为，
所以，的奇数次幂的系数均为负数，偶数次幂的系数均为正数，
即、、、为负数，、、、、为正数，
所以.
所以，
故选：D.
【点睛】
本题考查利用赋值法求解各项系数绝对值之和，要结合二项式定理确定各项系数的正负，考查计算能力，属于中档题目.
14．已知，则下列命题正确的是（ ）
A．当时，不存在，使得
B．当时，对任意，都有
C．当时，必存在，使得
D．当时，对任意，都有
【答案】C
【分析】
通过举反例的方法判断出A B D错误，对于C：当时，写出的展开式即可判断.
【详解】
当时，，，A错；
，B错；
当时，，，C对；
，D错；
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了二项式定理.属于较易题.
15．已知，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．81
【答案】C
【分析】
根据题意，令，即可求得的值，得到答案.
【详解】
由，
令，可得.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了二项展开式的系数的和问题，其中合理赋值求解是解答的关键，着重考查赋值思想，以及运算能力.
16．若，则( )
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
【答案】A
【分析】
令求得，再令即可求解结论．
【详解】
解：因为：，
令可得：；
令可得：；
故.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．
三、填空题
17．若，，则_____.
【答案】
【分析】
令，利用赋值法可得，即可得解.
【详解】
令，则，
，
因此，.
故答案为：.
18．二项式的展开式中的系数为______________
【答案】
【分析】
根据二项式定理，写出二项展开式的通项，再由赋值法，即可得出结果.
【详解】
因为展开式的第项为
，
令，则，
因此二项式的展开式中的系数为.
故答案为：.
19．若的展开式关于x的系数和为64，则展开式中含项的系数为______.
【答案】18
【分析】
令，由系数和求得，再利用二项式定理得的系数．
【详解】
由题意，解得，展开式中系数是，的系数是，
∴所求系数为．
故答案为：18．
20．已知，求_______
【答案】
【分析】
在展开式中令可得系数和．
【详解】
令得.
故答案为：．
【点睛】
本题考查二项式定理，在二项展开式中求系数和或部分项的系数项的常用方法是赋值法，
设二项展开式为，则有：
，
奇数项系数和为，
偶数项系数和为．
21．记，则______.
【答案】126
【分析】
分别令、，可求得各项系数和与常数项；利用，得到展开式通项公式，求得，进而求得结果.
【详解】
令得：；令得：；
，展开式通项为，令，则，
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查二项式定理中与各项系数和、指定项系数有关的问题的求解；在求解与各项系数和有关的问题时，通常采用赋值法来快速求得结果.
22．若，则_________.
【答案】
【分析】
根据二项式定理知、、为正数，、、为负数，然后令可得出所求代数式的值.
【详解】
展开式通项为，
当为偶数时，，即、、为正数；当为奇数时，，即、、为负数.
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用赋值法求各项系数绝对值的和差计算，解题时要结合二项展开式通项确定各系数的正负，便于去绝对值，考查计算能力，属于中等题.
23．二项式的展开式中常数项为______.
【答案】10
【分析】
根据二项式定理，得到二项展开式的通项，再由赋值法，即可得出结果.
【详解】
的展开式的第项为
，
令可得，
所以二项式的展开式中常数项为.
故答案为：10.
24．若，则的值为__________.
【答案】242
【分析】
观察所求代数式与已知条件的联系，令，即可求出的值，进而求出答案.
【详解】
由题设
令可得，，所以.
故答案为：242
【点睛】
本题考查二项式定理，特殊赋值法是解题的关键，属于基础题.
25．的展开式中，不含x的各项系数之和为______.
【答案】256
【分析】
对式子进行变形得，利用二项式定理的展开式可得通项公式可得当时不含有x，再利用赋值法，即可得答案；
【详解】
的展开式的通项为，
可知当时不含有x，此时，
令可得到各项系数之和为256.
故答案为：256.
【点睛】
本题考查二项式定理的展开式及赋值法，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
26．在展开式中，的偶数次幂项的系数之和为8，则______.
【答案】
【分析】
设的偶数次幂项的系数之和为，奇数次幂项的系数之和为，则，解得，得到答案.
【详解】
设展开式的偶数次幂项的系数之和为，奇数次幂项的系数之和为，
则，得，由得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
27．的展开式中的系数是________.（用数字填写答案）
【答案】
【分析】
根据二项展开式的通项公式，得出展开式的通项，根据赋值法，即可求出结果.
【详解】
因为的展开式的第项为，
令得，
则的展开式中的系数是.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.
28．已知，若，则的值为__.
【答案】.
【分析】
根据题意，由定积分公式求出的值，进而在中，分别令和，分析可得答案.
【详解】
解：根据题意，，
则，
令可得：，即，
令可得：，
又由，则；
故答案为：
【点睛】
本题考查二项式定理的应用，涉及特殊值的应用，关键是求出的值，属于基础题.
29．的展开式中，各项系数之和为1，则实数____________.（用数字填写答案）
【答案】-1
【分析】
令，即可得各项系数之和为，直接求解即可
【详解】
令，得各项系数之和为，解得.
故答案为：-1
【点睛】
本题考查二项式的系数和，属于基础题
30．若，则________.
【答案】
【分析】
在所给的等式中，令，可得．再令，可得，从而求得的值．
【详解】
解：在中，令，可得．
令，可得，，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．
31．若，则______.
【答案】
【分析】
令，利用赋值法可得，即可得解.
【详解】
令，则，，
因此，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用赋值法计算项的系数和，考查计算能力，属于基础题.
32．已知的展开式的所有项系数之和为27，则展开式中含的项的系数是_________.
【答案】23
【分析】
令计算可得展开式中所有项的系数和，求得，然后求出中常数项和的系数，利用多项式乘法法则得结论．
【详解】
已知的展开式的所有项系数之和为27，将代入表达式得到.
展开式中含的项的系数是.
故答案为：23.
【点睛】
本题考查二项式定理，考查用赋值法求展开式中所有项的系数和，及求指定项的系数．掌握二项式通项公式是解题基础．
33．如果的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数是______.
【答案】
【分析】
根据的展开式中各项系数之和为，令解得，得到其通项公式，再令x的指数为-2求解即可.
【详解】
令，得展开式中各项系数之和为.
由，得，
通项公式为
令，得
所以的系数是.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查二项展开式的系数以及通项公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

四、双空题
34．设，若，则_______，_______．
【答案】5 80
【分析】
令，得，令，得，根据二项展开式的通项公式可得.
【详解】
在中，
令，得，
令，得，所以，所以，所以.
所以.
故答案为：5；80
【点睛】
关键点点睛：通过两次赋值求得是解题关键，属于容易题.
35．在二项式的展开式中，常数项是___________，所有项的系数和为___________．
【答案】
【分析】
写出二项展开式的通项，令的指数为，求出参数的值，代入展开式通项可求得展开式的常数项，再令代入二项式可求得展开式所有项的系数和.
【详解】
二项式的展开式通项为，
令，可得，所以，展开式的常数项为，
在二项式中，令，可得所有项的系数和为.
故答案为：；.
【点睛】
求解二项式中所有项的系数和，一般在二项式中，令所有的变量均为计算即可.
36．已知，若，则________，________.
【答案】
【分析】
根据二项式定理可得展开式通项，由此可得方程，代入验证可求得；采用赋值法即可求得各项系数和与，作差得到的值.
【详解】
，
由可知：，
当时，无整数解，
当时，，
，
当时，，
当时，，
.
故答案为：；.
【点睛】
方法点睛：二项式定理中与各项系数和有关的问题常采用赋值法来进行求解，形如的式子：
（1）令，可求得各项系数和；
（2）令，可求得常数项；
（3）分别令和，作差或作和可分别求得奇次项系数和与偶此项系数和.
37．二项展开式，则________；________．
【答案】
【分析】
根据二项展开式的通项公式，得到展开式的第项为，即可根据题意，求出.
【详解】
因为展开式的第项为，
令，得；
令，得；
令，得
因此.
故答案为：；.
【点睛】
本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.
38．在二项式的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，项的系数为________；各项系数之和为________.(用数字作答)
【答案】
【分析】
利用已知条件得到，利用二项式展开式求出，令求出各项系数之和即可.
【详解】
由题意得：
，
，
当；
可得项的系数为，
令，可得各项系数之和为：.
故答案为：；.
39．若，则_______，________．
【答案】0
【分析】
赋值法，令，得．换元：设，则．只有中含有项，展开式的通项得解
【详解】
令，得．
设，则．
因为仅有中含有项，展开式的通项，所以当，即时，．
【点睛】
本题考查二项式定理，考查运算求解能力．属于基础题.
40．已知，那么___________，__________．（用数字作答）
【答案】
【分析】
采用“赋值法”，令，即可求解出的值；再令即可求解出的值，结合的值，则的值可求.
【详解】
令，所以，所以；
令，所以，
又因为，所以，
故答案为：；.
【点睛】
本题考查求解二项展开式中项的系数以及各项系数和，采用“赋值法”能高效解答此类问题，难度一般.
41．在的二项展开式中，二项式系数之和为___________；所有项的系数之和为_______.
【答案】
【分析】
二项展开式的性质，展开式的二项式系数之和为，令可得所有项的系数之和，
【详解】
根据二项展开式的性质，展开式的二项式系数之和为，
令可得所有项的系数之和为，
故答案为：，
【点睛】
本题主要考查了二项式展开式的性质，考查了二项式系数之和、所有项的系数之和，属于基础题.
42．已知多项式，则_________；________.
【答案】33 90
【分析】
在所给的等式中，令，可得的值． 即展开式中，的系数，为，计算求得结果．
【详解】
解：对于多项式，
令，可得，则．
即展开式，中的系数，为，
故答案为：33；90．
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．
43．在二项式的展开式中各项系数和为_____；含项的系数为_______．
【答案】1 -40
【分析】
（1）利用赋值，求各项系数和；（2）先写出二项展开式的通项公式，求的值，再代入求项的系数.
【详解】
（1）求二项式展开式的各项系数和，令，则；
（2）二项展开式的通项公式是，
当，解得：，代入通项公式得，
所以含项的系数为-40.
故答案为：1；-40
【点睛】
本题考查二项式定理，重点考查计算能力，属于基础题型.
44．已知多项式，则___________，___________.
【答案】63 -180
【分析】
分别令和，两式作差可得的值；配凑法化简已知等式，利用组合数计算出的值．
【详解】
令，则；
令，则；
则
由


故答案为：
【点睛】
本题考查二项式展开式的应用，考查系数和的求法，属于中档题．
45．设，则______；______.
【答案】40 242
【分析】
先根据二项展开式通项公式求第一空，再利用赋值法求第二空.
【详解】

所以
令，则
令，则
所以
故答案为：40，242
【点睛】
本题考查二项展开式通项公式、赋值法求系数问题，考查基本分析求解能力，属基础题.

五、解答题
46．已知二项式的展开式中共有6项.
（1）求展开式中所有二项式系数的和；
（2）求展开式中含的项.
【答案】（1）32；（2）.
【分析】
（1）根据展开式的项数为6得，进而得二项式系数的和为.
（2）根据二项式展开式的通项公式求解即可得答案.
【详解】
（1）由于二项展开式有6项，故.
所有二项式的系数和为.
（2）二项式展开式的通项为，
令得.
故展开式中含的项为.
【点睛】
本题考查二项式定理，熟练的应用相关公式是解题的前提，是基础题.
47．已知．
（1）求；
（2）求．
【答案】（1）0；（2）0．
【分析】
（1）赋值法，令即可求得答案；
（2）利用平方差公式和（1）的结论即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵，
令，得；
（2）由（1）及平方差公式得


．
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．
48．已知二项式的二项展开式中所有奇数项的二项式系数之和为128.
（1）求的展开式中的常数项；
（2）在 (1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x) 的展开式中，求项的系数.(结果用数字作答)
【答案】（1）；
（2）330
【分析】
二项展开式中所有项的系数和为，奇数项的二项式系数和应为所有项系数和的一半，即 ，可求得.
（1）写出该二项式展开式的通项，令的指数为零，即可求解；
（2）由二项式定理知在，，，中均存在，故的系数为
.
【详解】
解：所有奇数项的二项式系数之和为128，
，解得.
（1）的第项为
，
令，得，
则常数项为；
（2）
展开式中的系数为：



.
【点睛】
本题考查了二项式定理及其应用，组合数的性质，属于中档题.
49．已知，其中．
（1）当时，求的展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项；
（2）若n为偶数，求的值．
【答案】（1）二项式系数最大的项是第4项为，系数最大的项是第5项为；（2）
．
【分析】
（1）由二项式系数性质求解，由二项展开式通项公式得各项系数，由第项系数不小于前后两项系数可得系数最大的项；
（2）先求出，在展开式中令和后可得奇数项系数和然后可得结论．
【详解】
（1）中
时，展开式中有7项，中间一项的二项式系数最大，此项为，
又，设第项系数最大，则，解得，∴，即第5项系数最大，第5项为；
二项式系数最大的项是第4项为，系数最大的项是第5项为；
（2）首先，记，
则，
，
所以，
所以．
【点睛】
本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质，掌握二项式定理是解题关键．赋值法是求二项展开式中某些项系数和常用方法．
50．若，求
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）129（2）8256（3）-8128
【分析】
（1）利用赋值法令得，再令即可得到结果.
（2）令和，将得到的两个式子作差可得结果.
（3）令和，将得到的两个式子相加可得结果.
【详解】
（1）令，则，
令，则．
∴．
（2）令，则．
令，则,
两式相减得：，
则.
（3）令，则．
令，则,
两式相加得：，
则
【点睛】
本题考查赋值法求二项展开式的各项系数和，考查计算能力，属于基础题.