（新高考专用）2021年新高考数学难点：专题42 不等式法求系数最大最小项

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专题42 不等式法求系数最大最小项
一、单选题
1．经检测有一批产品合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则取得最大值时的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】
随机变量，，若取得最大值时,则有，，求出的值.
【详解】
由题意，随机变量，，
若取得最大值时，则:

则，解得，则．
故选：．
【点睛】
本题考查二项分布的性质和应用，解含组合数的不等式，考查了学生的分析能力，运算能力，属于中档题.
2．已知不等式（且）的解集为，则二项式的展开式中系数最大项的系数为（ ）
A．16 B．80 C．240 D．480
【答案】C
【分析】
按和分类讨论,解出对数不等式并求出的值,设二项式展开式中第项系数最大,则有(),解不等式求出的值并代回可得系数最大项的系数.
【详解】
由题意，当时，，当时，，所以.故，，因为，系数为正，所以，故展开式中系数最大项的系数为.
故选: C.
【点睛】
本题考查二项式展开式的应用,考查对数函数的性质,考查组合数的计算,考查学生逻辑推理能力和运算求解能力,属于中档题.
3．若的二项展开式中，只有含项的系数最大，则等于（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】
根据二项展开式的通项公式，写出通项，再由题意，得到，求解，即可得出结果.
【详解】
因为二项式的展开式的第项为，
又展开式中，只有含项的系数最大，
所以有，即，即，解得，
又，所以.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查由系数最大的项求参数的问题，熟记二项式定理即可，属于常考题型.
4．已知展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，则的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据二项式系数的性质求得，系数的最大值为求得，从而求得的值．
【详解】
由题意可得，又展开式的通项公式为，
设第项的系数最大，则，即，
求得或6，此时，，，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二项式系数的性质，第项的二项式系数与第项的系数之间的关系，属于中档题．
5．在的展开式中，系数的绝对值最大的项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据最大的系数绝对值大于等于其前一个系数绝对值；同时大于等于其后一个系数绝对值；列出不等式求出系数绝对值最大的项；
【详解】

二项式展开式为：
设系数绝对值最大的项是第项，
可得
可得，解得


在的展开式中，
系数的绝对值最大的项为：
故选：D.
【点睛】
本题考查二项展开式中绝对值系数最大项的求解，涉及展开式通项的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题．
6．若的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
计算，计算，，，根据系数的大小关系得到，解得答案.
【详解】
，，，，，
第6项的系数最大，，则.
故选：.
【点睛】
本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力
7．若展开式中只有第6项的系数最大，则常数项是（ ）
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项
【答案】B
【分析】
由条件求得，在其展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求得的值，可得常数项，求得结果.
【详解】
若展开式中只有第6项的系数最大，
则，它的展开式的通项公式为：，
令，解得，
所以常数项是第6项，
故选B.
【点睛】
该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有二项展开式中二项式系数最大项，二项展开式的通项，属于简单题目.
8．(x+2y)7展开式中系数最大的项是（ ）
A．68y7 B．112x3y4 C．672x2y5 D．1344x2y5
【答案】C
【解析】
试题分析：设r+1项系数最大，则有C7r⋅2r≥C7r−1⋅2r−1C7r⋅2r≥C7r+1⋅2r+1，即7!r!(7−r)!⋅2r≥7!(r−1)!(7−r+1)!⋅2r−17!r!(7−r)!⋅2r≥7!(r+1)!(7−r−1)!⋅2r+1，2r≥18−r17−r≥2r+1，解得r≤163r≥133，又∵ 0≤r≤7，∴ r=5．∴系数最大项为Τ6=C75x2⋅25y5=672x2y5．故应选C．
考点：二项展开式的通项与系数及组合式的运算.

二、多选题
9．已知在的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论正确的是（ ）
A．展开式中所有项的系数之和为256
B．展开式中含的一次项为
C．展开式中有3项有理项
D．展开式中系数最大项为第3项和第4项
【答案】BCD
【分析】
由题意写出该二项式展开式的通项公式，由等差数列的性质可得；令即可判断A；令，代入即可判断B；令为整数，即可判断C；令，解不等式即可判断D；即可得解.
【详解】
由题意展开式的通项公式为
，
所以，解得或（舍去），
所以，，
对于A，令，则，所以展开式中所有项的系数之和为，故A错误；
对于B，令即，此时，所以展开式中含的一次项为，故B正确；
对于C，若要使为有理项，则为4的倍数，当、、时，为有理项，所以展开式中有3项有理项，故C正确；
对于D，令，解得，所以展开式中系数最大项为第3项和第4项，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，合理赋值、细心计算是解决本题的关键，属于中档题.
三、解答题
10．已知的展开式中只有第五项的二项式系数最大.
（1）求该展开式中有理项的项数；
（2）求该展开式中系数最大的项.
【答案】（1）；（2）和
【分析】
（1）先求出，再写出二项式展开式的通项，令即可求解；
（2）设第项系数最大，则，即可解得的值，进而可得展开式中系数最大的项.
【详解】
（1）由题意可得：，得，
的展开式通项为，，
要求展开式中有理项，只需令，
所以
所以有理项有5项，
（2）设第项系数最大，则 ，
即，即，解得：，
因为，
所以或
所以，
所以展开式中系数最大的项为和.
【点睛】
解二项式的题关键是求二项式展开式的通项，求有理项需要让的指数位置是整数，求展开式中系数最大的项需要满足第项的系数大于等于第项的系数，第项的系数大于等于第项的系数，属于中档题
11．（1）求展开式中系数最大项；
（2）求展开式中系数最大项．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）本题要求二项式中系数最大的项，设出第项系数最大，则这一项不小于它的前一项且不小于它的后一项，列出不等式组，解不等式组，根据是正整数得到结果．
（2）根据（1）可得展开式系数绝对值最大项，结合系数的正负，即可得出结论．
【详解】
解：（1）设第项系数最大，则有，
即，即，
且，，
．
系数最大项为；
（2）展开式中系数的绝对值等于展开式中对应项的系数，
根据（1）可得展开式中系数的绝对值为第六项，
而第6项的系数为负数，所以展开式中系数最大为第5项或第7项，
只需比较和两项系数大小即可．
，，
系数最大的项是第五项为．
【点睛】
本题是一个典型的二项式问题，主要考查二项式的性质，注意二项式系数和项的系数之间的关系，这是容易出错的地方，本题考查展开式的通项式，这是解题的关键，属于中档题．
12．已知的展开式中前三项的系数成等差数列．
（1）求的值；
（2）如果第项和第项的二项式系数相等，试求的值；
（3）求展开项中最大的系数．
【答案】（1）8；（2）1或2；（3）7．
【分析】
（1）根据等差数列的性质列出方程求解n；（2）当时，成立；当时，根据二项式的单调性和对称性可列出等式求解k；（3）设第项的系数最大，由求解r的值，代入展开式的通项即可得解.
【详解】
（1）根据题意，，，成等差数列，
所以，即，或(舍去).
（2）当时，即显然成立；
当时，由二项式的单调性和对称性得：.
（3）设第项的系数最大，
则，解得或，
所以展开项中系数最大为.
【点睛】
本题考查二项式定理，含参二项式的相关问题、二项展开式中系数最值问题，涉及等差中项的应用，属于中档题.
13．在二项式的展开式中.
（1）求该二项展开式中含项的系数；
（2）求该二项展开式中系数最大的项.
【答案】（1）160；（2）.
【分析】
（1）在通项公式中，令的幂指数等于3，求得的值，可得含项的系数．
（2）根据，求得的值，可得结论．
【详解】
（1）二项展开式中，通项公式为，令，求得，
故含项的系数为.
（2）设第项的系数最大，由，解得，故
故该二项展开式中系数最大的项为
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．
14．已知，的展开式的各二项式系数的和等于128，
（1）求的值；
（2）求的展开式中的有理项；
（3）求的展开式中系数最大的项．
【答案】（1）7；（2），，；（3）.
【分析】
（1）根据的展开式的各二项式系数的和等于求解．
（2）先得到的展开式中的通项公式，再令为整数求解．
（3）由通项公式知：第项的系数为．直接假设第r+1项系数最大，比前一项大且比后一项大，联立解不等式组即可.
【详解】
解：（1）已知，
的展开式的各二项式系数的和等于，．
（2）的展开式中的通项公式为，
令为整数，可得，3，6，
故展开式的有理项为，，．
（3）第项的系数为，
，且，
解得，故，
故的展开式中系数最大的项为第6项．
【点睛】
本题主要考查二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，项的系数，还考查了运算求解的能力；属于中档题.
15．已知展开式中前三项的二项式系数之和为37，求展开式中：
（1）所有x的有理项；
（2）系数最大的项．
【答案】（1），，；（2）系数最大的项为和
【分析】
（1）根据系数和得到，再利用二项式定理计算有理项得到答案.
（2）设第项系数最大，则，解得答案.
【详解】
（1），∴（舍）．
，令，∴．
∴所有有理项为，，.
（2）设第项系数最大，则，解得．
所以系数最大的项为和.
【点睛】
本题考查了利用二项式定理求有理项，系数最大项，意在考查学生的计算能力和应用能力.
16．已知的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和大992，求的展开式中.
（1）二项式系数最大的项，
（2）系数的绝对值最大的项.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）根据的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和大992，即可得到关于的方程：，求出，根据二项式系数的性质即可求出二项式系数最大的项
（2）利用两边夹定理，设出第项为系数的绝对值最大的项，即可列出关于的不等式，即可求解
【详解】
解：依题意可得，即，解得
（1）的展开式中第6项的二项式系数最大

（2）设第项的系数的绝对值最大

所以


故第4项的系数的绝对值最大，

【点睛】
本题通过赋值法求出，根据二项式系数的性质，同时利用两边夹定理进行求解，属于中档题．
17．在二项式的展开式中，
（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（最后结果用算式表达，不用计算出数值）
（2）若展开式前三项的二项式系数的和等于79，求展开式中系数最大的项．（最后结果用算式表达，不用计算出数值）
【答案】(1) 当时，最大项系数为和；当时最大项系数为.(2) .
【分析】
(1)由成等差数列可求出或，进而可求出展开式中二项式系数最大的项的系数；
(2)由可求出，令可求出，从而可求其系数.
【详解】
解：展开式中第项为.
(1) 则第5项、第6项与第7项的二项式系数为成等差数列，则，
即，即，解得或.
当时，二项式系数最大项为，此时系数为和.
当时，二项式系数最大项为，此时系数为.
(2) 前三项的二项式系数为，其和为79.即，即
，整理得，，解得或(舍去).
设展开式中第项系数最大，即，解得，，
因为，所以，即展开式中第9项系数最大，系数为.
【点睛】
本题考查了二项式定理，考查了二项式系数最值问题，考查了系数的最值问题，考查了等差中项的应用.本题的关键是由已知条件求出的值.本题的易错点是混淆了二项式系数和系数的概念.
18．已知的展开式中前三项的系数为等差数列.
（1）求展开式中含的项；
（2）求展开式中系数最大的项.
【答案】（1）含的项为（2）系数最大的项为和
【分析】
列出二项展开式的通项公式，利用前三项系数成等差可求得；(1) 根据展开式通项公式可知，当时为所求项，代入通项公式求得结果；
(2) 设系数最大的项是第项，则，求解计算即可得出结果.
【详解】
解：（1）由题意可知，的展开式的通项
，
则，，.
因为前三项的系数为等差数列，则有
，
解得或（舍去），则，
则的展开式的通项
.
令，解得，
则，
所以展开式中含的项为.
（2）由（1）得的展开式的通项
，
设系数最大的项是第项，
则
化简得
解得，
所以或，
所以，，
所以系数最大的项为和.
【点睛】
本题考查组合数的运算、求指定项和系数最大项的问题，考查对于二项式定理的知识的掌握，属于中档型.
19．已知n为给定的正整数，t为给定的实数，设(t＋x)n=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.
（1）当n=8时.
①若t=1，求a0＋a2＋a4＋a6＋a8的值；
②若t=，求数列{an}中的最大值；
（2）若t=，当时，求的值.
【答案】（1）①128，②；（2）
【分析】
（1）①设f（x）=(1＋x)8=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，f（1）=28=a0＋a1＋a2＋…＋a8，f（-1）=0=a0-a1＋a2-…＋a8，a0＋a2＋a4＋a6＋a8= [f（1）+ f（-1）] ÷2即可得解；
②，通过不等式组即可得解；
（2）处理，利用二项式定理逆用即可得解.
【详解】
（1）设f（x）=(t＋x)n=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，
当n=8时.
①若t=1，f（x）=(1＋x)8=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，
f（1）=28=a0＋a1＋a2＋…＋a8，f（-1）=0=a0-a1＋a2-…＋a8，
a0＋a2＋a4＋a6＋a8= [f（1）+ f（-1）]÷2=128
②若t=，(＋x)n=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，
所以，设第r项最大，则，
解得，所以
数列{an}中的最大值
（2）若t=，当时，求的值.
(＋x)n=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，
当时，




，
当n=1时也满足，所以.
【点睛】
此题考查二项式定理的应用，根据展开式求解系数关系，涉及组合数计算公式，二项式定理的逆用，综合性强.
20．为抗击新冠疫情，某企业组织员工进行用款捐物的爱心活动.原则上每人以自愿为基础，捐款不超过400元.现项目负责人统计全体员工数据后，下表为随机抽取的10名员工.的捐款数额.
员工编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
捐款数额
124
86
215
53
132
195
400
90
300
225



（1）若从这10名员工中任意选取3人，记选到的3人中捐款数额大于200元的人数为X，求X的分布列和数学期望：
（2）以表中选取的10人作为样本.估计该企业全体员工的捐款情况，现从企业员工中依次抽取8人，若抽到k人的捐款数额小于200元的可能性最大，求k的值.
【答案】（1）分布列见详解， ；（2）5
【分析】
（1）由题中的随机分布表可知，10名员工中，捐款数额大于200元的有4人，的所有可能取值为0，1，2，3，服从超几何分布，由此能求出的概率分布列及数学期望；
（2）从8人中抽取的捐款数额小于200元的人数为随机变量，则，假设最大，可列出不等式组，求出的值.
【详解】
解：（1）由题知，10名员工中，捐款数额大于200元的有4人，
则随机变量服从超几何分布，的所有可能取值为0，1，2，3
， ，
， ，
则的分布列为
X
0
1
2
3
P





；
（2）以样本估计总体的捐款金额小于200的概率，
设为从8人中抽取的捐款数额小于200元的人数，，
，
要使其取得最大值，则需：
，
解得 ，
又，故，
即依次抽取8人，若抽到5人的捐款数额小于200元的可能性最大.
【点睛】
本题考查了服从超几何分布的离散型随机变量的分布列以及期望的求法，二项分布等基础知识，考查了组合数的计算公式、不等式的性质，考查了数据分析能力、推理能力及计算能力.属于中档题.
21．已知在的展开式中，第6项的系数与第4项的系数之比是.
（1）求展开式中的系数；
（2）求展开式中系数绝对值最大的项；
（3）求的值.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出展开式中的第6项的系数与第4项的系数，列出方程求出的值，代入二项展开式的通项公式即可求解；
（2）利用两边夹定理，设第项系数的绝对值最大，列出关于的不等式即可求解；
（3）利用二项式定理求解即可.
【详解】
（1）由，得，
通项，
令，解得，
展开式中的系数为.
（2）设第项系数的绝对值最大，
则，所以，
系数绝对值最大的项为.
（3）原式.
【点睛】
本题考查二项式定理的应用、二项展开式的通项公式和系数最大项的求解；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握二项展开式的通项公式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
22．已知的展开式的各项二项式系数之和为512.
（1）求展开式中所有的有理项；
（2）求展开式中系数最大的项.
【答案】（1），，，（或）；（2）
【分析】
（1）根据二项式定理求出通项，处理指数幂的指数即可得解；
（2）设第项的系数最大，则，解不等式组即可得解.
【详解】
（1）由题意可得，则
故通项，
由题意可得为整数，则是3的倍数，
因为，所以的值为0或3或6或9，
则有理项为，，，（或）.
（2）设第项的系数最大，则
因为，
所以，
则解得，
因为为整数，所以
故展开式中系数最大的项
【点睛】
此题考查二项式定理的应用，涉及求指定项和求解系数最大的项，关键在于熟练掌握通项，根据通项进行计算.
23．己知的展开式前三项中x的系数的绝对值成等差数列.
（Ⅰ）求n的值及展开式中的常数项；
（Ⅱ）求展开式系数最大的项.
【答案】（Ⅰ），常数项为第三项为7（Ⅱ）系数最大的项为第三项为7
【分析】
（Ⅰ）先求写出二项式展开式的通项，求出前三项系数的绝对值，即可求出，从而求出常数项；
（Ⅱ）先求所有项的系数加上绝对值，转化为正系数，假设第项系数的绝对值最大，
则有，求得的值，即可可得系数最大的项．
【详解】
解：（Ⅰ）因为二项式展开式的通项为
所以展开式前三项的系数的绝对值分别为，，.
由题设知：，解得：或（舍去）.
当时，
当时，即常数项为第三项为7
（Ⅱ）先求所有项的系数加上绝对值，转化为正系数，假设第项系数的绝对值最大，
则有
由，
，，
同理可得，
系数绝对值最大项为和
所以系数最大的项为第三项为7
【点睛】
本题主要考查等差数列的定义，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．
24．已知展开式的二项式系数和比展开式的偶数项的二项式系数和大48，求的展开式中：
（1）二项式系数最大的项；
（2）系数的绝对值最大的项.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）分别求出展开式的二项式系数和，展开式的偶数项的二项式系数和，利用两者差列方程，解方程求出的值，二项式系数最大项为第，即可求解；
（2）设第项系数绝对值最大，化简二项展开式的通项公式，利用系数绝对值最大项比前后两项的系数绝对值都大列不等式组，解不等式组求得的取值范围，由此求得的值
【详解】
（1）依题意，
的展开式中第6项二项式系数最大，
即；
（2）设第项的系数的绝对值最大，
则，
，得，
即，，
所以系数的绝对值最大的是第8项，
即.
【点睛】
本题考查二项式系数和、二项式系数最大项、系数绝对值最大项，考查计算求解能力，属于中档题.
25．已知的展开式的二项式系数和比的展开式的系数和大992，求的展开式中：
（1）二项式系数最大的项；
（2）系数的绝对值最大的项.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）由题意对赋值，令，则有，解方程求出的值，然后根据二项式系数的性质即可求出二项式系数最大的项；
（2）利用两边夹定理，设第项为系数的绝对值最大的项，则有

解不等式组可得结果.
【详解】
，解得，，
（1）二项式系数最大的项为第51项，；
（2），其系数的绝对值为，解不等式组，得，，，
系数的绝对值最大的项为第34项，.
【点睛】
此题考查二项式定理的有关知识，通过赋值，利用二项式系数的性质求解，属于基础题.
26．（1）已知，求的值.
（2）已知的展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大992.求展开式中系数最大的项.
【答案】（1）-13；（2）
【分析】
（1）可令，，两式相减，计算即可得到所求和；

（2）由题意可得，求得，设第项的系数最大，则有，解得．再由，可得的值．
【详解】
解：（1），
令可得，
可令可得，
两式相减可得，；
（2）令可得各项系数和为，二项式系数和为，
由题意可得，即，
解得 （舍去），解得．
设第项的系数最大，则有，解得．
再由，可得．
故系数最大的项为．
【点睛】
本题考查二项式定理的运用：求指定项的系数和，注意运用赋值法，同时考查二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，考查运算能力，属于中档题．
27．已知二项式的展开式中第五项为常数项.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中有理项的系数和.
【答案】（1）；（2）121
【分析】
（1），为常数项，所以，可求出的值，进而求得二项式系数最大的项；
（2）由题意为有理项，直接计算即可.
【详解】
（1），∵为常数项，
∴，∴

二项式系数最大的项为第3项和第4项.∴，
.
（2）由题意为有理项，
有理项系数和为.
【点睛】
本题考查了二项式的展开式，需熟记二项式展开式的通项，属于基础题.
28．已知二项式．
（1）若它的二项式系数之和为512．求展开式中系数最大的项；
（2）若，求二项式的值被7除的余数．
【答案】（1）；（2）2.
【分析】
（1）由题意利用二项式系数的性质求得的值，再根据通项公式可得展开式中第项的系数，从而求得展开式中系数最大的项．
（2）二项式即，按照二项式定理展开，问题化为被7除的余数．再根据，按照二项式定理展开，可得它被7除的余数．
【详解】
（1）二项式的二项式系数之和为512，，．
由，解得：，
展开式中系数最大的项为第8项，为．
（2）若，，


问题转化为被7除的余数，

，即余数为2．
【点睛】
本题考查二项式定理的应用、整除的余数问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意连续两次使用二项展开式求余数.
29．已知数列（）的通项公式为（）.
（1）分别求的二项展开式中的二项式系数之和与系数之和；
（2）求的二项展开式中的系数最大的项；
（3）记（），求集合的元素个数（写出具体的表达式）.
【答案】（1），0；（2），；（3）.
【分析】
（1）根据二项展开式直接得二项式系数之和为，利用赋值法求二项展开式中的系数之和；
（2）根据二项展开式通项公式得系数，再列方程组解得系数最大的项；
（3）先根据二项式定理将展开成整数与小数，再根据奇偶性分类讨论元素个数，最后根据符号数列合并通项.
【详解】
（1）二项展开式中的二项式系数之和为，
令得二项展开式中的系数之和为；
（2）
设二项展开式中的系数最大的项数为
则
因此二项展开式中的系数最大的项为，
（3）


所以当为偶数时，集合的元素个数为

当为奇数时，集合的元素个数为


综上，元素个数为
【点睛】
本题考查二项式系数之和、二项式展开式各项系数之和、二项式展开式中系数最大项以及利用二项式展开式计数，考查综合分析求解与应用能力，属较难题.
30．已知展开式的所有二项式系数和为．
（1）求展开式的所有有理项的系数之和；
（2）求展开式的系数最大项．
【答案】（1）；（2）和.
【分析】
由二项式系数和为求得，进而得出二项式展开式的通项为.
（1）由通项可知当取、、时，对应项为有理项，将这些项的系数相加即可得出结果；
（2）令，设展开式中项的最大系数为，由求出自然数的值，由此可得出结果.
【详解】
所有二项式系数和为，即，得，
该二项式展开式的通项为．
（1）由题可知，展开式的有理项为第项，第项，第项，
则，，，
因此，所有有理项的系数和为；
（2）令，设展开式中项的最大系数为，
则，即，得，解得，
，或.
因此，展开式的系数最大项为第项和第项.
【点睛】
本题考查利用二项式系数和求参数，二项展开式中有理项系数问题和系数最大项的求解，考查二项式定理的应用，属于中等题.
31．函数角度看，可以看成是以为自变量的函数，其定义域是.
（1）证明：
（2）试利用1的结论来证明：当为偶数时，的展开式最中间一项的二项式系数最大；当为奇数时的展开式最中间两项的二项式系数相等且最大.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）先根据组合数公式求出、，计算的值，从而证得结论；
（2）设，由（1）可得，令，可得
（等号不成立），故有当时，成立；
当时，成立.故最大，
当为奇数时，同理可证，从而证得结论.
【详解】
（1）因为，又因为，
所以.
则成立.
（2）设，因为，，
所以.令，所以，
则（等号不成立），所以时，成立，
反之，当时，成立.
所以最大，即展开式最中间一项的二项式系数最大；
当为奇数时，设，其最中间有两项且，
由（1）知，显然，
，令，可得，
，当时，，且这两项为二项展开式最中间两项的系数，
所以时，成立；
由对称性可知：当时，成立，
又，故当为奇数时，的展开式最中间两项的二项式系数相等且最大.
【点睛】
本题主要考查组合及组合数公式，二项式定理的应用以及二项式系数的性质，令，求出的范围是解本题的关键，考查学生的计算能力和逻辑推理能力，属于中档题.
32．在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中所有有理项的系数之和.
【答案】（1）（2）-
【分析】
（1）由二项式定理展开式中的通项公式求出前三项，由前三项系数的绝对值成等差数列列方程即可求得，问题得解．
（2）由，对赋值，使得的指数为正数即可求得所有理项，问题得解．
【详解】
（1）由二项式定理得展开式中第项为
，
所以前三项的系数的绝对值分别为1，，，
由题意可得，整理得，
解得或（舍去），
则展开式中二项式系数最大的项是第五项，

（2）因为，
若该项为有理项，则是整数，
又因为，
所以或或，
所以所有有理项的系数之和为
【点睛】
本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，考查分析能力，转化能力及计算能力，属于基础题．
33．已知(1+x2)2n的展开式的系数和比(3x-1)n的展开式的系数和大992,求的展开式中:
(1)二项式系数最大的项;
(2)系数的绝对值最大的项.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
先令分别求得两个二项式展开式的系数和，利用两者的差为列方程，解方程求得的值.所求二项式为.（1）由于，故二项式系数最大的为第六项，根据二项式展开式的通项公式求得这个项.（2）设第项的系数的绝对值最大，化简二项式展开式的通项公式，利用系数绝对值最大项比前后两项的系数的绝对值都大列不等式组，解不等式组求得的取值范围，由此求得的值.
【详解】
由题意得22n-2n=992,解得n=5.
(1)的展开式中第6项的二项式系数最大,即T6=(2x)5=-8 064.
(2)设第k+1项的系数的绝对值最大,
则Tk+1=(2x)10-k=(-1)k210-k·x10-2k,

得
即
k,
∵k∈N,∴k=3,
故系数的绝对值最大的是第4项T4=(-1)327·x4=-15 360x4.
【点睛】
本小题主要考查二项式展开式的系数，考查二项式展开式中二项式系数的最大值，考查系数的绝对值最大的项的求法，属于中档题.
34．已知的展开式的二项式系数和比的展开式系数和大992． 求的展开式中；（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项．
【答案】（1）-8064（2）
【分析】
（1）先根据二项式系数和列方程求，再根据组合数性质确定二项式系数最大的项，最后根据二项展开式通项公式求结果，（2）先根据二项展开式通项公式得各项系数，根据条件列方程组，解得系数的绝对值最大的项的项数，再代入二项展开式通项公式得结果
【详解】
解：由题意
（1）的展开式中第6项的二项式系数最大，
即
（2）设第项的系数的绝对值最大，
因为
，，


【点睛】
本题考查二项式系数和以及二项展开式系数，考查基本分析求解能力，属中档题.
35．已知的展开式中前三项的系数成等差数列．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）求展开式中系数最大的项．
【答案】（1）8（2），
【详解】
解：（Ⅰ）由题设，得，
即，解得n＝8，n＝1（舍去）．
（Ⅱ）设第r＋1的系数最大，则
即解得r＝2或r＝3．
所以系数最大的项为，．