（新高考专用）2021年新高考数学难点：专题43 商数关系和平方关系法求三角函数值

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专题43 商数关系和平方关系法求三角函数值
一、单选题
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用诱导公式可求得所求代数式的值.
【详解】
由同角三角函数的基本关系可得，
因此，.
故选：D.
2．若，且是第二象限角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据同角三角函数基本关系，由题中条件先求正弦，进而可求出正切.
【详解】
因为，且是第二象限角，
所以，
因此.
故选：B.
3．已知是第四象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题求出，，再求得解.
【详解】
∵，，是第四象限角，
∴，，
则，
故选：A.
【点睛】
方法点睛：三角恒等变换常用的方法：三看（看角看名看式）三变（变角变名变式）.要根据已知条件灵活选择方法求解.
4．若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】
先利用代换，再由可化简得解.
【详解】
，
又，.
故选：B．
5．在中，角、、的对边分别为、、，已知，，若最长边为，则最短边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先结合角的范围利用同角三角函数基本关系求得角的正余弦，再利用三角形内角和为和诱导公式计算角的正余弦，判断c为最大边，为最短边，利用正弦定理求出即可.
【详解】
由知，利用同角三角函数基本关系可求得，，由知，得，，
∴，，
即为钝角，为最大角，故c为最大边，有，
由知，最短边为，
于是由正弦定理，即求得，
故选：A.
【点睛】
本题解题关键在于通过计算内角的正余弦值判断c为最大边，为最短边，才能再利用已知条件和正弦定理计算突破答案.
6．己知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用诱导公式可求得的值，利用同角三角函数的基本关系以及诱导公式可求得所求代数式的值.
【详解】
由诱导公式可得，则，
，，因此，.
故选：A.
7．已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求出的范围，用上平方关系即可求解.
【详解】
解：∵，
∴
故选：D.
8．化简的结果是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】
应用平方关系化简即可.
【详解】
解：原式＝．
故选：C
9．已知，且α是第四象限角，那么的值是（ ）
A． B．－ C．± D．
【答案】B
【分析】
由诱导公式对已知式子和所求式子进行化简即可求解.
【详解】
根据诱导公式：，所以，，故.
故选：B
【点睛】
诱导公式的记忆方法：奇变偶不变，符号看象限.
10．在中，，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先利用同角三角函数的基本关系求，再运用三角形面积公式计算即得结果.
【详解】
因为，，故，
所以的面积为.
故选：A.
11．已知数列首项，且当时满足，若的三边分别为、、，则最大角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意得数列为等差数列，则可求出、、，然后利用余弦定理求解最大角的余弦值，再利用同角三角函数的关系解出最大角的正弦值.
【详解】
解：由题意知：当时，满足，
则数列是以为首项，为公差的等差数列，
，
则、、分别为，，，
设中最大角为，
则最大角的余弦值为：，
又，
最大角的正弦值为.
故选：D.
12．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用同角三角函数平方关系和二倍角公式可求得，利用诱导公式可求得结果.
【详解】
由得：，
，.
故选：.
13．已知，在第二象限内，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】A
【分析】
结合各个象限内三角函数值的符号和同角三角函数关系可求得，利用二倍角公式构造方程，结合终边位置可确定结果.
【详解】
在第二象限内，，，
由得：，解得：，
，即，，
在第二象限内，为第一或第三象限角，.
故选：.
【点睛】
易错点睛：求解三角函数值时，需注意角所处的范围，从而确定所求三角函数值的符号.
14．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据诱导公式，可得的值，根据同角三角函数的关系，结合的范围，可求得的值，即可求得答案.
【详解】
因为，所以，
所以，
又，所以为第二象限角，所以
所以．
故选：A．

二、解答题
15．已知，且是第四象限角.
（1）求和的值；
（2）求的值；
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）根据象限和公式求出的正弦，再用倍角公式计算即可
（2）求出角正切值，再展开，代入计算即可.
【详解】
解：（1），由得，
，
又是第四象限角，
，
，
，

.
（2）由（1）可知，
，
.
16．已知．
（1）求及的值；
（2）求的值．
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）在等式两边平方可求得的值，计算出的值，判断出的符号，即可求得的值；
（2）联立方程组求出、的值，利用同角三角函数的商数关系可求得的值.
【详解】
（1）在等式两边平方可得，解得，
，则，所以，，
，因此，；
（2）由已知条件可得，解得，
因此，.
【点睛】
结论点睛：求解有关、关系的问题时，常用以下公式求解：
（1）；
（2）.
17．已知
（1）若为第三象限角，且，求的值．
（2）若，且，求函数的最小值，并求出此时对应的x的值．
【答案】(1) (2) 函数的最小值为1，此时
【分析】
(1)先化简函数解析式得，则由条件可得，得出答案.
(2)由条件可得，则由，设，根据二次函数即可得出答案.
【详解】
由已知有
（1）若为第三象限角，且，则，则

（2）
，设
即，当，即 时，有最小值1
所以当时，函数有最小值1.
【点睛】
关键点睛：本题考查根据三角函数求值和将函数化为的二次式求最值，解答本题的关键是由将函数化为二次式，根据求最小值，属于中档题.
18．已知，．
（1）化简；
（2）若，求．
【答案】（1）；（2）当是第二象限角时， ，当是第三象限角时，．
【分析】
（1）根据诱导公式以及同角公式化简可得结果；
（2）由得，再讨论的象限可求得结果.
【详解】
（1）．
（2），
，可得，
是第二或第三象限角，
当是第二象限角时，，，
当是第三象限角时，，．
【点睛】
关键点点睛：掌握诱导公式和同角公式是解题关键.
19．已知，且为第二象限角．
（I）求：的值；
（II）求：的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）根据题意以及同角基本关系可知，再利用二倍角公式即可求出结果；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结果利用两角差余弦公式，即可求出结果.
【详解】
（Ⅰ），，
又为第二象限角，得，
；
（Ⅱ）

．
20．已知，．
（1）求证：．
（2）若为第一象限角，为第四象限角，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）分别将已知条件展开，两式相减、相加可得，的值，两式相除即可求证；
（2）利用同角三角函数的平方关系结合角所在的象限求出、的值，利用即可求解.
【详解】
（1）由题意可得：

得
得．
得：，即
（2）若为第一象限角，

因为为第四象限角，
，

.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是灵活运用同角三角函数基本关系，要证，化切为弦即证，所以想到将已知条件展开，给值求值型的关键是用已知角表示所要求的角，即.
21．设的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且，.
（1）求；
（2）当取最小值时，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据已知条件利用正弦定理化边为角得到，再利用同角三角函数基本关系求得，最后利用诱导公式即得；
（2）结合余弦定理化简，求二次函数取最小值时的取等号条件即确定边，再结合，利用三角形的面积公式计算即可.
【详解】
解：（1）由正弦定理及与得：
，（R是的外接圆半径）
两式相除，得
设，，∵B是的内角，∴由得，
∵，
∴，即得，，
∴.
（2）由（1）及余弦定理知
∴
当且仅当时，取得最小值.
又，∴.
∴最小时的面积为.
【点睛】
思路点睛：
解有关三角形的题目时，要有意识地根据已知条件判断用哪个定理更合适. 如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理.
22．已知.
（1）求的值.
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）把平方即得解；
（2）求出，即得解.
【详解】
解：（1），
∴.
（2），
∵，
又∵，∴，，，
∴，
∴原式.
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是判断的符号，要结合的范围判断.
23．已知，其中．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用诱导公式可得出，根据题意可得出关于、的值，求出、的值，利用同角三角函数的商数关系可求得的值；
（2）将所求代数式变形为，在分式的分子和分母中同时除以，利用弦化切可求得所求代数式的值.
【详解】
（1），
由诱导公式可得，
，，由已知可得，解得，
因此，；
（2）.
【点睛】
方法点睛：三角函数求值问题中已知，求关于、的代数式的值时，一般利用弦化切公式后直接代入的值，在关于、的齐次式中，常常利用弦化切的方程转化为含的代数式.
24．设是钝角，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据及题干条件，可求得的值，根据即可得答案；
（2）根据（1）可得的值，利用两角和的余弦公式，即可求得答案.
【详解】
（1）是钝角，，根据，
解得，所以.
（2），
.
25．（1）若，求、；
（2）若，求的值.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】
（1）分为第二象限角和第三象限角两种情况讨论，利用同角三角函数的基本关系可求得、的值；
（2）在所求分式的分子和分母中同时除以，利用弦化切思想可求得所求代数式的值.
【详解】
（1），则角为第二象限角或第三象限角.
若角为第二象限角，则，；
若角为第三象限角，则，.
综上所述，若角为第二象限角，，；
若角为第三象限角，则，；
（2），.
26．已知，为锐角，，.
（1）求的值.
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用同角三角函数的关系以及二倍角公式即可求值；
（2）先求出，再利用即可求解.
【详解】
解：（1）由题意知：为锐角，且，
解得：，
；
（2）由（1）知，，
则，
，
，
故.
27．已知，且为第三象限角.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2），.
【分析】
（1）将化为即可求出；
（2）由，即可求出.
【详解】
（1），
；
（2），即
，即，
为第三象限角，，.
28．已知，且是第四象限的角．
（1）求；
（2）．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据同角三角函数基本关系，先求出余弦值，再求正切值即可；
（2）根据（1）的结果，利用同角三角函数基本关系，将原式化简整理，即可求出结果.
【详解】
（1）因为，是第四象限的角，
所以，
因此；
（2）由（1）可得：
.
29．（1）若，求的值；
（2）已知，，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由同角三角函数的商数关系可得，再由诱导公式及同角三角函数的关系可转化条件为，即可得解；
（2）由同角三角函数的平方关系可得，进而可得，即可得解.
【详解】
（1）因为，所以,
原式=；
（2）因为，所以，
所以，则，
因为，所以，
所以．
30．已知，，求和的值．
【答案】； .
【分析】
利用同角三角函数之间的关系以及两角和的正弦求解即可.
【详解】
解：，，
，
．
31．已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先根据的值和二者的平方关系联立求得 的值，再把平方即可求出；
（2）结合（1）求，的值，最后利用商数关系求得的值，代入即可得解．
【详解】
（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，,，
∴，
∴.
（2）由，，
解得，，
∴
∵，，
∴．
【点睛】
方法点睛：三角恒等常用的方法：三看（看角、看名、看式），三变（变角、变名、变式）.
32．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求；
（2）若，求的面积，并求的最小值.
【答案】（1）；（2）；.
【分析】
（1）利用两角和的正切公式展开，根据角A的范围，可求得的值，根据同角三角函数的基本关系，即可求得答案；
（2）利用数量积公式，结合（1），可求得的值，代入面积公式，即可求得的面积；利用余弦定理，可求得的表达式，结合基本不等式，可求得的最小值.
【详解】
（1）因为，所以，
则，因为，
所以（舍去）.
因为，，所以，
因为，所以，故.
（2）因为，
所以， ，
所以的面积.
由余弦定理得，
当且仅当时，即等号成立，
所以的最小值为.
【点睛】
解题的关键是熟练掌握正余弦定理，面积公式，并灵活应用，在利用数量积公式时，需注意两向量的夹角为锐角还是钝角，考查分析理解，计算求值的能力，属基础题.

三、填空题
33．若且，则_________．
【答案】
【分析】
先由已知求出，再由商数关系即可求出.
【详解】
且，
，
.
故答案为：.
34．已知，且有，则___________.
【答案】
【分析】
运用正弦、余弦的二倍角公式化简已知等式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.
【详解】
，
因为，所以，
因此由，
而，把代入得：
，而，
因此.
故答案为：
35．已知，，则________．
【答案】
【分析】
根据同角平方关系，先求出，再根据商数关系，求出.
【详解】
由，，
可得，
则根据商数关系得.
故答案为：.
36．已知，，则___________.
【答案】
【分析】
利用同角三角函数基本关系求，再利用诱导公式即可求解.
【详解】
因为，，
所以，可得
所以，
，
故答案为：.
37．已知，，则__．
【答案】
【分析】
由已知结合范围，可得，，利用平方差公式即可计算求解．
【详解】
因为，，所以，，
又，
所以，
又，所以．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了三角函数求值，解题的关键是会用同角三角函数间的基本关系，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
38．已知角是第四象限角，且满足，则________．
【答案】
【分析】
由题可得，进而得出，即可求出.
【详解】
，
，即，
角是第四象限角，，
.
故答案为：.
39．，，则_________．
【答案】
【分析】
将平方，求出的值，再利用弦化切即可求解.
【详解】

，
，
，
，
，
所以，
所以.
故答案为：
40．已知，，则_________.
【答案】
【分析】
由条件结合三角函数的同角基本关系可解出，然后可得答案.
【详解】
因为，，
所以可解得
所以
故答案为：
41．若，是第三象限角，则___________.
【答案】
【分析】
先化简，再结合同角三角函数关系求解即可得答案.
【详解】
解：，
，
，
为第三象限角，
，
故答案为：
【点睛】
本题解题的关键在于结合半角公式化简，考查运算求解能力，是基础题.
42．已知且，则______.
【答案】
【分析】
本题考查同角三角函数及其关系，借助公式，求解即可，求解时需要判定符号的正负.
【详解】
解：法一：由可得，
代入解得，
因为，所以，
所以.
法二：由且可取终边上的一点坐标为，
根据三角函数终边定义公式.
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：同角三角函数基本关系的3个应用技巧：
（1）弦切互化利用公式实现角的弦切互化；
（2）和(差)积转换利用进行变形、转化；
（3）巧用“1”的变换.
43．已知，则=________________
【答案】
【分析】
由诱导公式可得cosα的值，及α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出tanα的值即可．
【详解】

cosα＝－，sinα＝，
∴,
故答案为：
44．已知，则________．
【答案】
【分析】
根据同角三角函数的关系，可得的值，即可得答案.
【详解】
因为，所以，所以，
故答案为：
45．已知，，则______.
【答案】
【分析】
根据的范围，先利用同角三角函数之间的关系求出，再根据，即可求出.
【详解】
解：，
，
又，
.
故答案为：.
46．已知，，则________.
【答案】
【分析】
结合二倍角余弦公式解方程求得，由同角三角函数平方关系和商数关系可求得结果.
【详解】
，
或（舍），
，，，
.
故答案为：.
47．已知，是第二象限角，则__________.
【答案】
【分析】
根据诱导公式，先求出，再由同角三角函数基本关系，求出，进而可得出正切值.
【详解】
因为，所以，
又是第二象限角，所以，则，
所以.
故答案为：.
48．已知，，则 ________.
【答案】
【分析】
根据已知条件求得的值，由此求得的值.
【详解】
依题意，两边平方得
，
而，所以，
所以.
由解得，
所以.
故答案为：
【点睛】
知道其中一个，可通过同角三角函数的基本关系式求得另外两个，在求解过程中要注意角的范围.
49．已知，则___________
【答案】
【分析】
根据同角三角函数的关系即可求出.
【详解】
，
.
故答案为：.
50．在中，若，则______.
【答案】
【分析】
根据题意及即可求解.
【详解】
解：将两边平方得，
所以.
故答案为：.
【点睛】
解决同三角函数问题：
（1）利用可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角所在象限确定符号；利用可以实现角的弦切互化；
（2）应用公式时注意方程思想的应用：对于这三个式子，利用，可以知一求二；
（3）注意公式逆用及变形应用：.