（新高考专用）2021年新高考数学难点：专题44 齐次式法求三角函数值

专题44 齐次式法求三角函数值

一、单选题

1．已知，则等于（    ）

A．3 B．2 C．1 D．-1

【答案】A

【分析】

根据诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.

【详解】

.

故选：A

2．已知两曲线，，相交于点，若两曲线在点处的切线互相垂直，则实数的值为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【分析】

设切点，，分别求得，的导数，可得切线的斜率，结合两直线垂直的条件和同角的基本关系式，解方程可得所求值．

【详解】

设切点，，

由的导数，的导数，

可得，所以，

又，

即，

则，

即为，解得（负值舍去），

故选：B

【点睛】

关键点睛：解答本题的关键是怎么迅速计算出的值，本题的计算利用了“1”的变式，即，简洁高效.

3．已知，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

利用诱导公式化简整理，可求得的值，将所求改写成，上下同除，即可得结果.

【详解】

由题意得，所以，解得，

所以.

故选：A

4．已知函数（且）的图象恒过点，且点在角的终边上，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

先得出点的坐标，然后可解出，再根据齐次式化简技巧将目标式化简求值.

【详解】

根据对数函数的性质，易知点，故，

所以．

故选：D．

【点睛】

本题考查对数函数的性质运用，考查同角三角函数关系式的化简求值问题，难度一般.对于齐次式化简求值问题，可分子分母同除以，利用的值求解.

5．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

利用两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系式化简所求表达式，由此求得所求表达式的值.

【详解】

.

故选：B

6．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

利用三角函数平方关系化简整理得：原式

变形处理，分子分母同时除以，即可得解.

【详解】

因为，

所以

故选：D.

7．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

由已知求得，再由同角三角函数基本关系式化弦为切求解.

【详解】

由，得，即.

.

故选：B

【点睛】

本题考查了三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题.

8．已知，则（    ）

A．-4 B．4 C．5 D．-5

【答案】D

【分析】

由可得，再由即可求解.

【详解】

，，

.

故选：D.

【点睛】

本题考查诱导公式的应用，考查正余弦齐次式计算，属于基础题.

9．已知，则（    ）

A． B．4 C．5 D．

【答案】D

【分析】

由定积分得可得，再由即可求解.

【详解】

由，则，则，由

故选：D.

【点睛】

本题考查定积分的计算，三角函数的诱导公式的应用及正余弦齐次式计算，属于基础题.

10．已知，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

利用同角三角函数的基本关系求解即可.

【详解】

由，

得.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了同角三角函数的基本关系.属于容易题.

11．已知向量，，若，则（    ）

A．1 B．－1 C． D．

【答案】A

【分析】

根据向量，，由得到 ，然后再由.求解.

【详解】

因为向量，，

所以，

即，

所以

所以.

故选：A

【点睛】

本题主要考查平面向量的数量积运算和同角三角函数基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

二、解答题

12．已知角的终边在直线上．

（1）求的值；

（2）若，求的值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）角的终边上取一点，根据任意角的三角函数定义求解即可；

（2）利用诱导公式化简得，再弦化切即可得解.

【详解】

（1）角的终边在直线上,任取一点

可得；

（2）.

13．（1）已知，求及的值；

（2）已知，求的值；

【答案】（1）；；（2）.

【分析】

（1）利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解；

（2）利用诱导公式化简变形，代入求解.

【详解】

（1）∵，

；

∴

；

（2）∵

．

∴

.

14．已知是三角形的内角，且．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）由，求得，得到，再结合诱导公式和三角函数的基本关系式，即可求解.

（2）由（1）知，根据三角函数的诱导公式和基本关系式，即可求解.

【详解】

（1）由题意，角是三角形的内角，且，

平方可得，可得，

所以，

又由，可得，

联立方程组，可得，则

因为.

（2）由（1）知.

又由

.

15．已知.

（1）化简，并求；

（2）若，求的值；

（3）求函数的值域.

【答案】（1），；（2）；（3）.

【分析】

（1）由诱导公式化简可得，进而可得；

（2）由平方关系和商数关系可转化条件为，即可得解；

（3）转化条件为，结合二次函数的性质即可得解.

【详解】

（1）由题意可得，

故；

（2）∵，

故

；

（3）因为，

所以，

因为，

所以当时，，当时，

所以的值域为.

【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是利用诱导公式、同角三角函数的关系对原式进行合理变形.

16．已知

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）原式分子分母同除以化为进行解答；

（2）先求出，再求与的值，进而得答案．

【详解】

（1）

（2）∵，

∴，，

∴原式．

17．已知．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）根据利用两角差的正切公式计算可得；

（2）利用弦化切代入计算可得；

【详解】

（1），

又，．

（2）

【点睛】

方法点睛：三角函数化简求值，常用拼凑角：

（1）再利用诱导公式求值或化简时，巧用相关角的关系会简化解题过程，常见的互余关系有：与，与，与等；常见的互补关系有： 与，与等；

（2）在利用两角和与差的三角函数公式求值或化简时，常根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论的差异，使问题获解，常见角的变换方式有：，，等等.

18．已知，其中．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）利用诱导公式可得出，根据题意可得出关于、的值，求出、的值，利用同角三角函数的商数关系可求得的值；

（2）将所求代数式变形为，在分式的分子和分母中同时除以，利用弦化切可求得所求代数式的值.

【详解】

（1），

由诱导公式可得，

，，由已知可得，解得，

因此，；

（2）.

【点睛】

方法点睛：三角函数求值问题中已知，求关于、的代数式的值时，一般利用弦化切公式后直接代入的值，在关于、的齐次式中，常常利用弦化切的方程转化为含的代数式.

19．已知，求下列各式的值：

（1）；

（2）sin2α+2sinαcosα.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）由诱导公式得，代入原式求值即可.

（2）由（1）得，而即可求值.

【详解】

（1）∵，

∴，即，

∴原式＝；

（2）由（1）知：，

∴原式＝.

20．已知，求下列各式的值.

（1）

（2）

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1），然后可算出答案；

（2），然后可算出答案.

【详解】

（1）原式;

（2）原式

.

21．（1）已知方程，的值．

（2）已知是关于的方程的两个实根，且，求的值．

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）由已知利用诱导公式化简得到的值，再利用诱导公式化简为含有的形式，代入即可；

（2）由根与系数的关系求出的值，结合的范围求出，进一步求出，即可求的值．

【详解】

解：（1）由得：，

即，

，

；

（2），是关于的方程的两个实根，

，

解得：，

又，

，

，

即，

解得：，

，

.

【点睛】

关键点点睛：解答本题的关键是化弦为切.

22．已知，且为第三象限角.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）；（2），.

【分析】

（1）将化为即可求出；

（2）由，即可求出.

【详解】

（1），

；

（2），即

，即，

为第三象限角，，.

23．已知，且是第四象限的角．

（1）求；

（2）．

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）根据同角三角函数基本关系，先求出余弦值，再求正切值即可；

（2）根据（1）的结果，利用同角三角函数基本关系，将原式化简整理，即可求出结果.

【详解】

（1）因为，是第四象限的角，

所以，

因此；

（2）由（1）可得：

.

24．（1）若，求的值；

（2）已知，，求的值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）由同角三角函数的商数关系可得，再由诱导公式及同角三角函数的关系可转化条件为，即可得解；

（2）由同角三角函数的平方关系可得，进而可得，即可得解.

【详解】

（1）因为，所以,

原式=；

（2）因为，所以，

所以，则，

因为，所以，

所以．

25．已知，

求：（1）；       

（2）.

【答案】（1） 4          （2）

【分析】

（1）分子分母同时除以，化为可得答案.

（2）将分子1写成，再分子分母同时除以，化为，可得答案.

【详解】

（1）

（2）

26．已知，求下列各式的值：

（1）；

（2）.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）分子分母同除以化为即可求解；

（2）分子中的1化为，分子分母同除以，进而可得答案.

【详解】

（1）分子分母同除以化为；

（2）原式=

27．已知是第二象限，且，计算：

（1）；

（2）

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）首先根据诱导公式化简，再上下同时除以 后，转化为正切表示的式子，求值；（2）首先利用诱导公式化简，再转化为齐次分式形式，转化为正切求值.

【详解】

（1）原式，上下同时除以后，

得；

（2）原式，

上下同时除以后，

得

28．已知向量，设函数.

（1）当时，求的值；

（2）求使的的取值构成的集合.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）利用向量平行的条件列方程，求得的值，由此求得的值.

（2）化简的解析式，解三角不等式求得不等式的解集.

【详解】

（1）由于，所以.

.

（2）

，

由得，

所以，

，，

所以不等式的解集为.

【点睛】

向量平行的坐标表示的主要作用是列方程.解三角不等式可考虑整体代入法.

29．已知tanα<0，

（1）若求的值;

（2）若求tanα的值.

【答案】（1）；（2）或．

【分析】

（1）利用同角三角函数的基本关系求得的值，可得的值，再利用诱导公式求得要求式子的值．

（2）利用同角三角函数的基本关系求得，由此求得的值．

【详解】

（1），，为第四象限角，，，

．

（2），，，或．

【点睛】

本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，属于基础题．

30．计算：已知，求下列各式的值．

（1）

（2）

【答案】（1）1；（2）2．

【分析】

（1）已知式分子分母同除以后可解得值；

（2）代数式看作分母为1的分式，然后分子与分母中的1都用代换化为关于的二次齐次分式，然后弦化切代入计算．

【详解】

解

（1）同除有，解得：．

（2）

．

【点睛】

本题考查同角间的三角函数关系，考查弦切互化．属于基础题．

31．已知点在角的终边上，且 .

（1）求值：；

（2）若，且，求的值.

【答案】（1）2；（2）.

【分析】

先利用同角三角函数的基本关系得到；（1）原式分子分母同除得到正切，代入已知量即可得出结果；（2）先利用已知角的范围求得，求出，再利用，最后利用两角和的余弦公式求解即可得出结果.

【详解】

由题意：，，

，且，

（1）；

（2）∵，，

∴，

∴，

∴，

，

∵，

∴.

【点睛】

本题主要考查了同角三角函数的基本关系以及两角和的余弦公式.属于中档题.

32．已知，

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）； （2）.

【分析】

（1）由，得到，化简为齐次式，即可求解；

（2）由三角函数的基本关系式，联立方程组，求得的值，再结合三角函数的基本关系式，化简得到，代入即可求解.

【详解】

（1）由题意，因为，可得，

又由

.

（2）联立方程组 ，可得，

又由（1）知，

可得.

【点睛】

本题主要考查了同角三角函数的基本关系式的化简求值，其中解答中熟记三角函数的基本关系式，以及化简为“齐次式”求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

33．化简与求值．

（1）求的值；

（2）已知，求

【答案】（1）1；（2）．

【分析】

（1）用诱导公式化简后再变形；

（2）用“1”代换化为关于的齐次式，再弦化切计算．

【详解】

（1）；

（2）．

【点睛】

本题考查诱导公式，考查同角间的三角函数关系，弦切互化求值，关于的二次式可利用“1”的代换化为齐次分式，再进行弦化切变形．

三、双空题

34．函数的定义域为______；若，则______.

【答案】       

【分析】

根据正切函数的性质可直接得出定义域，将化为关于的式子即可求出.

【详解】

可知的定义域为，

，

.

故答案为：；.

四、填空题

35．已知，则________．

【答案】

【分析】

根据诱导公式化简式子，再代入，求值.

【详解】

原式.

故答案为：

36．已知tanα＝，则＝__________.

【答案】

【分析】

将化简为，然后将式子写成再转化为含的式子，可求出答案.

【详解】

故答案为：.

【点睛】

关键点睛：本题考查三角函数的给值求值问题，解答本题的关键是先将所求化简为，再变形为，从而转化为，属于中档题.

37．，，则_________．

【答案】

【分析】

将平方，求出的值，再利用弦化切即可求解.

【详解】

，

，

，

，

，

所以，

所以.

故答案为：

38．若，则________.

【答案】

【分析】

，然后可得答案.

【详解】

因为

所以

故答案为：4

39．若，则_________.

【答案】

【分析】

由条件可得，然后，可算出答案.

【详解】

因为，所以，所以

所以

故答案为：

40．已知，则______．

【答案】

【分析】

由已知条件求出，再根据同角公式弦化切可解得结果.

【详解】

，，

．

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：弦化切求解是解题关键.

41．已知，则_________．

【答案】

【分析】

先根据条件得出，然后将原式中化为，然后分子分母同除以，代入的值进行求解．

【详解】

由题意有，，则

．

故答案为：．

【点睛】

解答本题的关键在于“1”的代换，然后观察到原式的分子分母均是关于和的二次齐次式，可将分子分母同除以进行计算.

42．若，则________.

【答案】

【分析】

将分式的分子、分母同除以，然后代入的值求解出结果.

【详解】

因为，

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：已知的值，求解形如（或）的式子的值的方法：

分式的分子、分母同时除以（或），将原式化简为关于的式子，再根据的值可求解出结果.

43．已知，则_____________.

【答案】

【分析】

由同角三角函数的商数关系可得，再由商数关系可转化条件为，即可得解.

【详解】

因为，所以，

所以.

故答案为：.