（新高考专用）2021年新高考数学难点：专题47 整体代入法求三角函数的单调区间对称轴和对称中心

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专题47 整体代入法求三角函数的单调区间对称轴和对称中心
一、多选题
1．下列函数周期为，又在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】
选项A. 求出函数的单调区间，再判断；选项B. 由在上单调递增，在上单调递减，求出的单调区间，再判断；选项C，由，求出单调区间再判断，选项D当时，在上单调递增,可判断.
【详解】
选项A. 由
则，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，故A不正确.
选项B . 由在上单调递增，在上单调递减.
由，得
所以在在上单调递增，故B正确.
选项C . ，由
则
所以在上单调递减，所以在单调递减，故C不正确.
选项D . 当时， 在上单调递增,故D正确.
故选：BD
2．下列命题正确的是（　　）
A．若，则
B．函数的对称中心是（）
C．“，”的否定是“，”
D．设常数使方程在闭区间上恰有三个解，则
【答案】CD
【分析】
求出函数的解析式，然后求出数列的和判断A，直接求函数对称中心判断B，通过存在量词命题的否定判断C，解出三个零点，求出和，判断D.
【详解】
若，令，可得，



所以A不正确．
函数的对称中心是（），所以B不正确．
“，”的否定是“，”；满足特称命题的否定形式，所以C正确．
设常数使方程化为，在闭区间上恰有三个解，则．所以D正确．
故选：CD．
3．关于函数有下列命题，其中正确的是（ ）
A．的表达式可改写为；
B．是以为最小正周期的周期函数；
C．的图像关于点对称；
D．的图像关于直线对称．
【答案】AC
【分析】
首先利用诱导公式化简可得A选项正确；可判断函数的最小正周期为，计算函数的对称中心及对称轴，可判断C选项正确.
【详解】
对A，，故A正确；对B，的最小正周期为，故B错误；对C，的对称中心为
，当时，对称中心为，故C正确；对D，的对称轴为，故D错误.
故选：AC.
4．若将函数f(x)=cos(2x+)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．g(x)的最小正周期为π B．g(x)在区间[0，]上单调递减
C．x=是函数g(x)的对称轴 D．g(x)在[﹣，]上的最小值为﹣
【答案】AD
【分析】
函数f(x)=cos(2x+)的图象向左平移个单位长度后得函数g(x)的解析式，从而可求出它的最小正周期、对称轴等.
【详解】
函数f(x)=cos(2x+)的图象向左平移个单位长度后得，最小正周期为π，A正确；

为g(x)的所有减区间，其中一个减区间为，故B错；
令，得，故C错；
[﹣，]，，，故 D对
故选：AD
5．已知函数的图象可由函数的图象先向左平移个单位长度，然后将每个点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)得到，则函数图象的对称中心不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】
根据三角函数的图像变换得到，然后解出方程可得答案.
【详解】
将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)
得到的图象
再将所得图象向右平移个单位长度，得到
令()，则()
故选：ACD
6．如图是函数的部分图象，则下列说法正确的是（ ）

A． B．是函数，的一个对称中心
C． D．函数在区间上是减函数
【答案】ACD
【分析】
根据函数图像得函数解析式为，进而判断函数图像性质.
【详解】
由题知，，函数的最小正周期，所以，故A正确；
因为，所以，，解得，，又，所以，故C正确；
函数，因为，所以不是函数的一个对称中心，故B错误；
令，，得，，当时，，因为，所以函数在区间上是减函数，故D正确．
故选：ACD．
【点睛】
已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.

二、单选题
7．己知函数(，)，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数是偶函数.关于函数给出下列命题：
①函数的图象关于直线轴对称；
②函数的图象关于点中心对称；
③函数在上单调递减；
④把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，然后再将所得的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图象.
其中真命题共有（ ）个
A．1 B．2 C．0 D．4
【答案】B
【分析】
根据已知题意可知，则有，根据求出，结合函数是偶函数还可得到的值；由上述分析可得函数，再利用正弦函数的图象和性质就能判断各个命题的真假，从而得解.
【详解】
因为函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，
所以，解得，
因为，所以，则，
，
因为函数是偶函数，
所以，，
因为，所以，
所以函数，
令，，
所以，，故①错误；
因为，，
可知函数图象的对称点为，，当时，对称点为，故②正确；
令，，解得，，
当时，，所以函数在上单调递减，故③正确；
把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，解析式变为，
然后再将图象向左平移个单位长度后，解析式变为，得不到函数的图象，故④错误.
综上，②③是真命题.
故选：B.
【点睛】
关键点睛：本题是一道有关三角函数的题目，掌握正弦函数的图象和性质是解题的关键.
8．设函数，给出下列结论：
①的最小正周期为
②的图像关于直线对称
③在单调递减
④把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象.
其中所有正确结论的编号是（ ）.
A．①④ B．②④ C．①②④ D．①②③
【答案】C
【分析】
根据题意，利用辅助角公式和两角和的正弦公式化简得，根据求出最小正周期即可判断①；利用整体代入法求出的对称轴，即可判断②；利用整体代入法求出的单调减区间，从而可得在区间上先减后增，即可判断③；根据三角函数的平移伸缩的性质和诱导公式化简，即可求出平移后函数，从而可判断④.
【详解】
解：函数，
即：，
所以的最小正周期为，故①正确；
令，解得：，
当时，则直线为的对称轴，故②正确；
令，解得：，
所以的单调递减区间为：，
当时，的一个单调递减区间为，
则区间上单调递减，故在区间上先减后增，故③错误；
把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，
得到
即平移后得到函数的图象，故④正确.
所以所有正确结论的编号是：①②④.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查三角函数的图象和性质，熟练掌握正弦型函数的周期、对称轴、单调区间的求法，以及三角函数的平移伸缩是解题的关键，还考查辅助角公式、两角和的正弦公式以及诱导公式的应用，考查学生化简运算能力.
9．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

①函数的图象关于点对称
②函数的图象关于直线对称
③函数在单调递减
④该图象向右平移个单位可得的图象
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
【答案】A
【分析】
根据的图象及三角函数图像和性质，解得函数的解析式，得到，再结合三角函数的图像和性质逐一判定即可.
【详解】
由函数的图象可得，周期
所以，
当时函数取得最大值，即，
所以，则，
又，得 ，
故函数，
对于①，当时，，正确；
对于②，当时，，正确；
对于③，令得，
所以函数的单调递减区间为，，所以不正确；
对于④，向右平移个单位，，所以不正确；
故选：A.
【点睛】
求三角函数单调区间的2种方法:
（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角(或)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；
（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.
10．已知函数的图象上相邻的一个最大值点与对称中心分别为，，则函数的单调增区间为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】
由最大值点和对称中心的坐标可以求出的解析式，利用三角函数的性质，整体代换得出该复合函数的单调增区间.
【详解】
图像上相邻的一个最大值点与对称中心分别为，，
，
且，可得，
，

将代入可得，
可得，且，
，
可得，
令，
可得，
故选：A.
【点睛】
方法点睛：根据图像求函数的解析式，根据最高点和对称中心的纵坐标可求出和，根据横坐标可求出周期，进而求出.求该函数的单调区间时，用整体代换的思想，借助正弦函数的单调区间，用解不等式的方法求复合函数的单调区间.
11．已知函数的图像可由函数(，，)的图像先向左平移个单位长度，然后将每个点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)得到，则函数图像的对称中心可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据三角函数的平移伸缩变换方式求出，再令()即可求解.
【详解】
将函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，
得到的图像，
再将所得图像向右平移个单位长度，得到，
令()，则()，
故选：B.
12．对于函数，有以下四种说法：
①函数的最小值是
②图象的对称轴是直线
③图象的对称中心为
④函数在区间上单调递增．
其中正确的说法的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
求出函数的最值，对称中心坐标，对称轴方程，以及函数的单调区间，即可判断正误．
【详解】
函数，
当时，即，函数取得最小值为，故①正确；
当时，即，函数的图象的对称轴是直线，故②错误；
当时，即，函数的图象的对称中心为，故③错误；
当，即，函数的递增区间为，
当时，的递增区间为，故④正确.
故选：B
【点睛】
关键点点睛：函数的递增区间转化为的递减区间.
13．函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
是由和复合而成，因为是单调递减函数，所以函数的单调递增区间也即是求的单调递减区间，
由即可求解.
【详解】
令，则，
因为是单调递减函数，
所以函数的单调递增区间也即是求的单调递减区间，
令，
解得：，
所以函数的单调递增区间为，
故选：B
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是是由和复合而成，因为是单调递减函数，所以函数的单调递增区间也即是求的单调递减区间，利用三角函数的性质即可求解.
14．函数图象的一条对称轴方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由正弦函数的性质，应用整体代入法其对称轴为， 可求对称轴方程，结合选项讨论k值即可知正确选项.
【详解】
由，，
∴，当k＝0时，，
故函数图象的一条对称轴方程是，
故选：C.
15．已知函数，则的图像的一条对称轴方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
本题可根据正弦函数的对称轴的相关性质即可得出结果.
【详解】
令，则，
当时，，
故函数的图像的一条对称轴方程是，
故选：A.
16．函数在下列哪个区间内是减函数（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
令，求出函数的减区间，通过对赋值可得出结果.
【详解】
令，解得，
所以，函数的单调递减区间为，
当时，函数的一个单调递减区间为，
而，所以，函数在区间内为减函数.
故选：D.
【点睛】
方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．

第II卷（非选择题）
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三、解答题
17．已知函数．
（1）当时，求的值域和单调减区间；
（2）若关于对称，且，求的值．
【答案】（1）的值域为，单调减区间为 ；（2）
【分析】
（1）由条件可得，则可得值域，由可得答案.
（2）由关于对称，则可得答案.
【详解】
（1）当时，
当时，，则
所以
由

所以
由，则时，，即此时减区间为
所以当时，的值域为，单调减区间为；
（2）由关于对称，则
即，又，所以
【点睛】
关键点睛：本题考查三角函数的值域、单调性和对称性等性质，解答本题的关键是由，得出，根据关于对称，得到，属于中档题.
18．已知函数，.
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为；（2）最大值为，最小值为.
【分析】
（1）先将函数恒等变换，化为，由得最小正周期为，再利用整体代换的方法，解不等式，求得单调递增区间；
（2）由（1）可知在区间上单调递减，上单调递增，即可求得在该区间的最小值为，再求出两个端点值和，经过比较可知最大值为.
【详解】
解：



（1），所以的最小正周期为.
由，
可得，
的单调递增区间为；
（2）因为在区间上单调递减，
在区间上单调递增，
又，，.
所以在区间上的最大值为，最小值为-1.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是对所给函数进行恒等变换，得到，再利用整体代换的思想求得单调区间.
19．在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴垂合，它的终边过点．
（1）求，的值：
（2）若函数的图象关于直线对称，求函数的单调增区间．
【答案】（1）；.
（2）
【分析】
（1）利用三角函数的定义求出，，再利用诱导公式即可求解.
（2）由（1）可得，由函数图象关于直线对称，可得，结合，求出， 再根据正弦的单调递减区间，整体代入即可求解.
【详解】
（1）根据题意可得，，
所以，
.
（2）由（1）可得，
即，
因为函数的图象关于直线对称，
所以，
所以，又因为，所以，
所以，
所以，
解得，
所以函数的单调增区间为
20．己知函数，其部分图象如图所示．

（1）求和的值；
（2）求函数在的单调增区间．
【答案】（1），；（2）和.
【分析】
（1）根据辅助角公式和两角和的正弦公式化简得，由函数图象可知的最大值为2，可求出，由图象可知，结合，即可求出的值；
（2）由（1）得，利用整体代入法并结合正弦函数的单调性，即可求出在的单调增区间.
【详解】
解：（1）由题可知，
即，
由图象可知，的最大值为2，则，所以，
由图象可知，，则，所以；
（2）由（1）得，
令，
解得：，
又因为，
所以函数在的单调增区间为：和.
【点睛】
思路点睛：本题考查由函数的部分图象求解析式，由函数图象的最大值求出，由周期求出，从而可求出函数解析式，再利用整体代入法求正弦型函数的单调性，熟练掌握正弦函数的图象和性质是解题的关键.
21．已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在上的单调递增区间；
（Ⅲ）若是函数的一个零点，求实数的值及函数在上的值域.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【分析】
利用三角恒等变换公式化简函数解析式，（1）利用周期公式求解；（2）利用换元法或整体代换法求函数单调递增区间；（3）利用换元法求判断函数单调性，并求值域.
【详解】
解：（Ⅰ）
，
；
（Ⅱ）法一：
令；则.
，的单调增区间为.
，解得.
函数在上的单调递增区间.
法二：
，
，
画数轴与所有区间取交集可知：.
函数在上的单调递增区间；
（Ⅲ）是函数的一个零点
.

解得：.
.
，，当单调递减区间为.
，解得
在区间上为减函数.
函数在上的单调递增区间，单调递减区间
，，.
函数在上的值域为.
【点睛】
对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ω x＋φ)的形式，则最小正周期为，最大值为，最小值为；奇偶性的判断关键是解析式是否为y＝Asin ωx或y＝Acos ωx的形式．
22．已知函数．
（I）求函数的最小正周期；
（II）求函数的单调增区间；
（III）当时，求函数的最小值．
【答案】（Ⅰ）最小正周期为；（Ⅱ），；（Ⅲ）-1.
【分析】
（I）先将解析式化为，然后利用正弦型函数的周期公式可计算出该函数的最小正周期；
（II）根据正弦函数的单调区间，利用整体法得出，，，即可求出该函数的单调增区间；
（III）由可计算出的取值范围，再根据正弦函数的性质，即可求出函数的最大值和最小值.
【详解】
解：（Ⅰ）因为，
则，
所以函数最小正周期为；
（Ⅱ）因为，，
所以，，
函数的单调增区间为，；
（Ⅲ）因为，所以，
而，，所以，
所以的最小值为．
【点睛】
关键点点睛：本题考查正弦型函数的最小正周期，利用整体法求正弦型函数的单调增区间，以及正弦型函数在给定区间的最值，熟练掌握正弦函数的图像和性质是解题的关键，属于常考题型.
23．已知函数，．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）求在区间上的最大值与最小值．
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）的最大值为3，最小值为
【分析】
（Ⅰ）由可得答案.
（Ⅱ）设，由，则 ,则，从而可得答案.
【详解】
（Ⅰ）由


所以函数的单调递增区间为：
（Ⅱ）设，由，则
所以，则
当时，的最大值为3，最小值为
【点睛】
关键点睛：本题考查求三角函数的单调区间和最值，解答本题的关键是设，由，则 所以，属于中档题.
24．已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调区间；
（3）求函数在的值域．
【答案】（1）；（2）增区间：，减区间：；（3）
【分析】
（1）首先根据三角恒等变换得到，从而得到函数的周期；
（2）根据，解不等式得到函数的增区间，根据，解不等式即可得到函数的减区间.
（3）首先根据题意得到，从而得到，即可得到函数的值域.
【详解】
（1）
.
.
（2）因为，，
解得，.
函数的增区间为.
因为，
解得，.
函数的减区间为.
（3）因为，所以.
所以，.
25．已知函数的最小正周期为.
（1）求与的单调递增区间；
（2）在中，若，求的取值范围.
【答案】（1），；（2）
【分析】
（1）根据函数的最小正周期为，可求，并写出函数式进而求的单调递增区间；
（2）由（1）结论，求角，根据三角形内角和的性质可知角B、C的关系，进而求B的范围，即可求的取值范围.
【详解】
（1）因为的最小正周期为，即
∴，令
解得
∴的单调递增区间是
（2）在中，若，
由（1）得，，所以
因为 所以，即

因为，所以；
所以
所以的取值范围
【点睛】
关键点点睛：
（1）由最小正周期求参数，利用整体代入法求的单调递增区间；
（2）应用三角形内角和性质可得内角B、C的关系，进而用其中一角表示另一角并确定角的范围，进而求函数值的范围.
26．已知函数，．
（1）求的最小正周期；
（2）求的单调递增区间；
（3）求图像的对称轴方程和对称中心的坐标．
【答案】（1）；（2）；
（3）对称轴为，对称中心为.
【分析】
（1）首先可通过三角恒等变换将函数转化为，然后根据周期计算公式即可得出结果；
（2）可通过正弦函数的单调性得出结果；
（3）可通过正弦函数的对称性得出结果.
【详解】
（1）
，
最小正周期.
（2）当时，
即时，函数单调递增，
故函数的单调递增区间为.
（3），即，
，即，
则函数的对称轴方程为，对称中心为.
27．已知函数，其中的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．
（1）求的最小正周期；
（2）当时，求的单调减区间．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由题可得，即得最小正周期；
（2）可求出，令解出单调递减区间再与取交集.
【详解】
（1）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，
，；
（2），，
一个最低点为，，
，则，，
即，，
，，

令，，解得，，
则在，单调递减，
，的单调递减区间为.
28．函数f（x）＝sin（πx+），
（1）求函数f（x）的周期；
（2）判断在[0，1]上单调性.
【答案】（1）2；（2）单调递减.
【分析】
（1）首先化简函数，并根据公式求周期；（2）求函数的单调递减区间，再赋值后作出判断.
【详解】
（1），
在函数的周期.
（2）由2kπ≤πx≤2kπ+π，k∈Z，
得2k≤x≤2k+1，
当k＝0时，0≤x≤1，即此时函数f（x）为减函数，
即f（x）在[0，1]上单调递减.
29．已知函数+1.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的递增区间.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用余弦的二倍角公式化简函数，再函数的周期公式求得其最小正周期；
（2）原问题等价为求的递减区间，由余弦函数的性质，整体代入可求得函数单调递增区间.
【详解】
解：（1）+1+1，
则函数最小正周期；
（2）要求函数的递增区间，等价为求的递减区间，
由2kπ≤2x﹣≤2kπ+π，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，
所以函数单调递增区间为：[kπ+，kπ+]，k∈Z.
30．求函数的对称轴，对称中心及单调区间.
【答案】对称轴；对称中心；
增区间为；
减区间为.
【分析】
利用整体代换法，根据余弦函数的对称性，单调性依次求解即可.
【详解】
解：函数，
令
,
对称轴，
令
，
对称中心，
令，
，
增区间为
令，
，
减区间为，
【点睛】
本题考查余弦性函数的性质，利用整体代换法求正弦型，余弦型，正切型三角函数的中心、对称轴、单调区间，利用整体代换法求解是常用的方法，在利用整体代换法求函数的单调区间时要注意的系数的正负对函数单调增减性的不同影响.
31．设函数的最小正周期为，且.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在上的值域.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）由函数的最小正周期为，求得，再由，求得的值，即可求得函数的解析式；
（2）由（1）知，根据余弦型函数的性质，即可求得函数的递增区间；
（3）根据三角函数的图象变换，求得，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数的最小正周期为，
所以，可得，所以，
又由，可得，
可得，即，
因为，所以，
所以函数的解析式为.
（2）由（1）知，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
（3）将函数的图象向左平移个单位长度，
得到函数，
再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
得到函数，
因为，可得，所以，
所以函数的值域为.
【点睛】
解答三角函数的图象与性质的基本方法：
1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为的形式；
2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.
32．求函数的单调递减区间.
【答案】.
【分析】
，然后解出不等式即可得到答案.
【详解】

令，解得
所以函数的单调递减区间是
33．求下列函数的单调递增区间：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）解出不等式可得答案；
（2），然后解出不等式即可.
【详解】
（1）令，解得
所以的单调递增区间是
（2）
令，解得
所以的单调递增区间是
34．已知向量，，设函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若方程有两个不相等的实数根，，求，的值．
【答案】（1）时，单调递增；时，单调递减；（2）,．
【分析】
（1）根据平面向量的数量积和三角恒等变换，求出函数的解析式，再根据x的范围，即可得到的单调性；
（2）由方程有两个不相等的实数根、，根据对称性求出的值，再计算和的值即可．
【详解】
（1）因为向量，，
所以函数
，，
当时，，
令，解得，
所以时，即时，单调递增，
时，即时，单调递减；
（2）当时，；
所以，即；
又方程在上有两个不相等的实数根、，
所以，解得，
所以；
由，
所以．
【点睛】
解题的关键是熟练掌握三角函数的图象与性质、数量积公式、三角恒等变换公式，并灵活应用，需结合余弦函数的对称性与值域进行求解，综合性较强，属中档题.
35．已知函数.
（1）求的单调增区间.
（2）当，求的值域.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由恒等变换得，进而根据解得的增区间为；
（2）由得，进而得，即的值域为.
【详解】
解：（1），
∵，，
∴，，
∴的增区间为.
（2）∵，
∴，
∴，
∴的值域为.
【点睛】
本题解题的关键是根据三角恒等变换得，进而根据整体换元的思想求函数的单调区间与值域，考查运算求解能力，是中档题.
36．已知的图象与直线相切，并且切点横坐标依次成公差为的等差数列．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若函数在上有零点，求实数的取值范围．
（3）已知中，角、、所对的边分别为、、，其中，若锐角满足，且，求内切圆的面积．
【答案】（1），；（2）；（3）．
【分析】
（1）利用诱导公式、三角恒等变换思想化简函数的解析式为，根据已知条件求出、的值，即可得出函数的解析式为，解不等式可得出函数的单调递增区间；
（2）利用三角函数图象变换原则可得，求出函数在区间上的值域，即可得出实数的取值范围；
（3）由可求得，利用平面向量数量积的定义以及余弦定理求出，利用三角形的面积公式可求出的内切圆半径，即可求得的内切圆的面积.
【详解】
（1）




，
的图象与直线相切，且，，，
又的图象与直线的切点横坐标依次成公差为的等差数列，
所以，函数的最小正周期为，，可得，
，
令，解得：，
函数的单调递增区间是，；
（2）将的图象向左平移个单位，
得到函数的图象，
在上有零点，
即和图象与的图象在上有交点，
所以，实数的取值范围即为函数在区间上的值域，
当时，，所以，，
所以，，即，
若在上有零点，则实数的取值范围为；
（3）由得，可得，
为锐角，则，
，则，
由余弦定理得，
，记为内切圆半径，
的面积，即，，
内切圆的面积．
【点睛】
方法点睛：求函数在区间上值域的一般步骤：
第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式；
第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或)的取值范围；
第三步：求出所求函数的值域（或最值）.

四、填空题
37．已知函数，将函数的图像向右平移个单位长度后，得到函数的图像，现有如下命题：：函数的最小正周期是；：函数在区间上单调递增；：函数在区间上的值域为.则下述命题中所有真命题的序号是________.
①；②；③；④.
【答案】①③
【分析】
首先根据平移变换规律求函数，再根据三角函数的性质判断三个命题的真假，最后根据复合命题真假的判断方法判断选项.
【详解】
，
的周期，所以函数的最小正周期是，所以是假命题；
当时，，再次区间函数先减后增，所以是假命题；
时，，所以，函数的值域是，所以是真命题.
根据复合命题真假的判断方法可知①③正确.
故答案为：①③
【点睛】
思路点睛：本题考查的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线或点是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求的范围，验证次区间是否是函数的增或减区间.
38．已知函数的图像关于直线对称，则________.
【答案】
【分析】
令求出其对称轴，再令对称轴等于结合，即可求解
【详解】
令，可得：，
令，解得，
因为，所以，，
故答案为：
39．已知函数f（x）＝|sinx|﹣cosx，给出以下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称；
②f（x）在[﹣π，0]上是减函数；
③f（x）是周期函数；
④f（x）在[﹣π，π]上恰有三个零点．
其中真命题的序号是_____．（请写出所有真命题的序号）
【答案】①③
【分析】
求函数的奇偶性即可判断①；结合取值范围，可去绝对值号，结合辅助角公式求出函数的解析式，从而可求单调性即可判断②；由f（x+2π）＝f（x）可判断③；求[﹣π，0]上的解析式，从而可求出该区间上的零点，结合函数的奇偶性即可判断[﹣π，π]上零点个数 .
【详解】
解：对于①，函数f（x）＝sinx﹣cosx的定义域为R，且满足f（﹣x）＝f（x），
所以f（x）是定义域在R上的偶函数，其图象关于y轴对称，①为真命题；
对于②，当x∈[﹣π，0]时，sinx≤0，，
对于，，所以在[﹣π，0]上先减后增，那么f（x）在[﹣π，0]上先增后减，②为假命题；
对于③，因为f（x+2π）＝|sin（x+2π）|﹣cos（x+2π）＝|sinx|﹣cosx＝f（x），函数f（x）是周期为2π的周期函数，③为真命题；
对于④，当x∈[﹣π，0]时，sinx≤0，，且，f（x）在[﹣π，0]上恰有一个零点是，又由①知道f（x）是定义在R上的偶函数，所以在（0，π]上有一个零点是，则④为假命题．
故答案为: ①③.
【点睛】
关键点睛：在判断命题②④时，关键是结合自变量的取值范围去掉绝对值号，结合辅助角公式求出函数的解析式，再结合正弦函数的性质进行判断.
40．已知函数，则的对称中心是______．
【答案】
【分析】
根据余弦函数的对称性，列出等式求解，即可得出对称中心的横坐标，进而可得对称中心.
【详解】
由得，
∴，，
此时，故的对称中心是.
故答案为：．