专题07 高考创新与数学素养（分层训练）-【教育机构专用】2020-2021学年高三数学寒假辅导讲义（全国通用）

专题07 高考创新与数学素养

A组 基础巩固

1.定义行列式运算，将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于轴对称，则的最小值为（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】D

【解析】函数的图象向左平移n（n＞0）个单位，

所得图象对应的函数为y=2cos（x+n+），根据所得函数为偶函数，可得n+=kπ，k∈z，

则n的最小值为，故选：D

2．【北京市海淀区2018第一学期期末】已知正方体的棱长为，点是棱的中点，点在底面内，点在线段上，若，则长度的最小值为_____．

3.设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b＝，a∨b＝若正数a，b，c，d满足ab≥4，c＋d≤4，则（    ）

A． a∧b≥2，c∧d≤2    B． a∧b≥2，c∨d≥2    C． a∨b≥2，c∧d≤2    D． a∨b≥2，c∨d≥2

【答案】

【解析】 由题意得，过点作平面，垂足为，

 在点在线段上，分别连接,

 在直角中， ，

 在平面内过点作，则，即到直线的最短距离为， 又，当时，此时,

 所以的最小值为．

4.【江西省抚州市临川区一中2018上学期质检】已知正方体的体积为1，点在线段上（点异于、两点），点为线段的中点，若平面截正方体所得的截面为四边形，则线段的取值范围为（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】B

【解析】

依题意，当点为线段的中点时，由题意可知，截面为四边形，从而当时，截面为四边形，当时，该截面与正方体的上底面也相交，所以截面为五边形，故线段的取值范围是，故选B

5．【湖南师大附中2018上学期月考】狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若，则称为狄利克雷函数．对于狄利克雷函数，给出下面4个命题：①对任意，都有；②对任意，都有；③对任意，都有， ；④对任意，都有．其中所有真命题的序号是（  ）[来

A． ①④    B． ②③    C． ①②③    D． ①③④

【答案】D[来源:学。科。网]

（x）≥0恒成立，∴对任意a，b∈（-∞，0），都有 ，故④正确，故正确的命题是①③④，故选D．

6．【北京市朝阳区2019届第一学期期末】如图， 为等边三角形，四边形为正方形，平面平面．若点为平面内的一个动点，且满足，则点在正方形及其内部的轨迹为（   ）

A． 椭圆的一部分    B． 双曲线的一部分    C． 一段圆弧    D． 一条线段

【答案】D

【解析】在空间中，存在过线段中点且垂直线段的平面，平面上点到两点的距离相等，记此平面为，平面与平面 有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线．故点在正方形及其内部的轨迹为一条线段，选A．

7.设D是函数y＝f(x)定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使得f(x0)＝－x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间D上存在“次不动点”．若函数f(x)＝ax2－3x－a＋在区间[1,4]上存在“次不动点”，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，0]　　　　　　　　 B.

C.   D.[来源:学科网ZXXK]

【答案】C

【解析】由题意，方程ax2－3x－a＋＝－x在区间[1,4]上有解，显然x≠1，所以方程ax2－3x－a＋＝－x在区间(1,4]上有解，即求函数a＝在区间(1,4]上的值域，

令t＝4x－5，则t∈(－1,11]，a＝，当t∈(－1,0]时，a≤0；

当t∈(0,11]时，0＜a＝≤＝，当且仅当t＝3时取等号．

综上，实数a的取值范围是.

8.【北京市石景山区2018届第一学期期末】小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点出发，沿箭头方向经过点跑到点，共用时，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为，他与教练间的距离为，表示与的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（    ）

A． 点    B． 点    C． 点    D． 点

【答案】D

9.若集合，且，

，用表示集合中的元素个数，

则（    ）

A．          B．          C．             D．

【答案】A

【解析】当时，，，都是取，，，中的一个，有种，当时，，，

都是取，，中的一个，有种，当时，，，都是取，中的一个，有

种，当时，，，都取，有种，所以，当时，取，，

，中的一个，有种，当时，取，，中的一个，有种，当时，取，中的一个，

有种，当时，取，有种，所以、的取值有种，

同理，、的取值也有种，所以，

所以，故选D．

10．若直角坐标平面内不同两点P，Q满足条件：

①P，Q都在函数y＝f(x)的图象上；

②P，Q关于原点对称，则称(P，Q)是函数y＝f(x)的一个“伙伴点组”(点组(P，Q)与(Q，P)可看成同一个“伙伴点组”)．已知函数f(x)＝有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是______________．

 【答案】

【解析】设点是函数的一个“伙伴点组”中的一个点，则其关于原点的对称点必在该函数图象上，故，消去，整理得．若函数有两个“伙伴点组”，则该方程有两个不等的正实数根，得，解得，即实数的取值范围是，故答案为．

B组 能力提升

11．【河南省焦作市2017届高三下学期第二次模拟】《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖，周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能装多少斛米.”则该圆柱形容器能装米__________斛.（古制1丈=10尺，1斛=1.62立方尺，圆周率）

12.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形

的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

A．       B．

C．       D．

【答案】B

【解析】由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率，故选B。

13.2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③<；④c1a2>a1c2.

其中正确式子的序号是(　　)

A.①③   B.①④   C.②③   D.②④

【解析】观察图形可知a1>a2，c1>c2，∴a1＋c1>a2＋c2，即①式不正确；

a1－c1＝a2－c2＝|PF|，即②式正确；由a1－c1＝a2－c2>0，c1>c2>0，

知<，即<，从而c1a2>a1c2，>.即④式正确，③式不正确，答案　D

14.某产品进入商场销售，商场第一年免收管理费，因此第一年该产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件，从第二年开始，商场对该产品征收销售额的的管理费（即销售100元要征收元），于是该产品定价每件比第一年增加了元，预计年销售量减少万件，要使第二年商场在该产品经营中收取的管理费不少于14万元，则的最大值是（    ）

A. 2    B. 6    C. 8.5    D. 10

【答案】D

15.【2017届河南省安阳市高三第一次模拟考试数学】三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用勾股股勾朱实黄实弦实，化简，得勾股弦．设勾股形中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（   ）

A. 866    B. 500    C. 300    D. 134

【答案】D

【解析】由题意，大正方形的边长为2，中间小正方形的边长，则所求黄色图形内的图钉数大约为

，故正确答案是D。

16. 【2019全国II理4】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面

软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问

题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿

着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球

质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和

万有引力定律，r满足方程：

.

设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为

A． B．   

C． D．

【答案】D

【解析】解法一（直接代换运算）：由及可得，

.

因为，所以，则，.故选D.

解法二（由选项结构特征入手）：因为，所以，

r满足方程：．

所以，

所以故选D.