专题12 极坐标与参数方程（重难点突破）-【教育机构专用】2020-2021学年高三数学寒假辅导讲义（全国通用）

专题12 极坐标与参数方程

【重难点知识点网络】：

【重难点题型突破】：

一、直角坐标方程 参数方程与极坐标方程的性质及其互化

例1.在极坐标系下，已知圆O：和直线

（1）.求圆0和直线l的直角坐标方程；

（2）.当时，求圆0和直线l公共点的极坐标.

【答案】（1），，（2）

【解析】（1）由题意得：圆O的极坐标方程：，

，

所以圆O的直角坐标方程：，

直线，，

整理：，所以直线的直角坐标方程：，

（2）当时，联立直线与圆的极坐标方程：

联立， 解得：，

带回直线方程，得，故直线与圆的交点极坐标为

【变式训练1】在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（I）直接写出圆的普通方程；

（II）直线的极坐标方程为，射线与圆的交点为，两点，与直线的交点为，求线段的长.

【解析】：（I）；

（II）圆的极坐标方程为.

设，则，解得，解得.

【变式训练2】在直角坐标系中，圆的参数方程为为参数，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求的极坐标方程；

（2）射线:与圆的交点为，与，直线的交点为，求的范围.

【解析】（1）圆的普通方程是，将，，代入上述方程，

得，              

由，化简得圆的极坐标方程为. 

（2）设，则有，        

设，且直线的方程是，则有，      

所以，

所以.                     

二、直线的参数方程应用

例2.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，，为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为.
（1）求，，的值；
（2）已知点的直角坐标为，与曲线交于，两点，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由，得，
则，所以，所以曲线的参数方程为，
因为，，所以.
（2）将代入，得.
设，两点对应的参数分别为，，则，.
所以.

【变式训练1】.  在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

（Ⅰ）写出直线l的直角坐标方程；

（Ⅱ）设点M的极坐标为，若点M是曲线C截直线l所得线段的中点，求l的斜率．

【解析】：（Ⅰ）当时，直线的直角坐标方程为；（1分）

当时，直线的直角坐标方程为． （2分）

（Ⅱ）点的直角坐标为，曲线的直角坐标方程为，（6分）

把代入曲线的直角坐标方程，化简得，由，得，所以直线的斜率为．（10分）

【变式训练2】.(2018全国卷Ⅱ)在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．

(1)求和的直角坐标方程；

(2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．

【解析】(1)曲线的直角坐标方程为．

当时，的直角坐标方程为，

当时，的直角坐标方程为．

(2)将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程

．①

因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．

又由①得，故，于是直线的斜率．

三、椭圆及圆的参数方程应用

例3．已知平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求直线的普通方程以及曲线的参数方程；

（2）过曲线上任意一点作与直线的夹角为的直线，交于点，求的最小值．

【答案】：（1）；（2）

【解析】：（1）

（2）设

【变式训练1】.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（为实数）。
（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）当时，设分别为曲线和曲线上的动点，求的最小值。

【答案】：（1） （2）           

【解析】：（1）由：

普通方程为

由：有：

直角坐标方程为：

（2）当时，即：

设，则为点到直线距离的最小值

当时，.

【变式训练2】.（2017新课标Ⅰ）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，(为参数)，

直线的参数方程为(为参数)．

(1)若，求与的交点坐标；

(2)若上的点到距离的最大值为，求．

【解析】（1）曲线的普通方程为．

当时，直线的普通方程为．由解得或．

从而与的交点坐标为，．

（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为

．

当时，的最大值为．由题设得，所以；

当时，的最大值为．由题设得，所以．

综上，或．