专题15 高三下学期开学综合测试-【教育机构专用】2020-2021学年高三数学寒假辅导讲义（全国通用）

综合测试

考试时间：120分钟   满分：150分

一、选择题：本大题共12小题，每个小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，故选B．

2.（   ）

A． B． C． D．

【答案】 A

【解析】，故选A．

3.已知,,,则(    )

A.          B.             C.     D.

【答案】 D．

【解析】,显然,即，故选D.

4.如图是某市年至年文化产业的发展状况统计图,根据下图,下列说法正确的是(   )

A.年至年,该市文化产业从业人口逐年增长

B.年至年,该市文化产业总产值增长率逐年提高

C.年至年,该市文化产业从业人口数量的变化趋势与总产值的变化趋势基本一致

D.年,该市文化产业从业人员人均生产总值比上一年约减少了

【答案】 C．

【解析】

在2017年从业人口和总产值增长率都较上一年有所下降,故AB错误.

从图形分析看,市文化产业从业人口数量的变化趋势与总产值的变化趋势基本一致,故C正确.

年,,减少了,故D错误.

5.一已知圆，拋物线，与相交于两点, 且，则拋物线的方程为（     ）

A．   B．    C．    D．

【答案】

【解析】圆和抛物线均过原点，不妨设，则，解得，将代入抛物线的方程，得，所以抛物线的方程为．

6.一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人操作，现从甲、乙、丙等5名工人中安排4人分别操作一道工序，甲无法操作第一道工序，乙只能操作第四道工序，则不同的安排方案共有(   )

 A.24种 B.36种 C.48种 D.72种

【答案】B

【解析】 

可以根据甲所照看的工序情况分类：

第一类，甲照看第一道工序，满足题意的方案共有种；

第二类，甲照看第四道工序，满足题意的方案共有种；

第三类，甲既不照看第一道工序也不照看第四道工序，满足题意的方案共有种；

则根据加法计数原理，满足题意得不同方案有种，故选B.

7设，则的图像大致为

【答案】B

【解析】 

要使有意义，只需，即，所以函数的定义域为，且关于原点对称，

因为，所以，

则是奇函数，从而图像关于原点对称，

又当时，，则有；当时，，则；

所以的值域为.综上条件只有B满足，故选B.

8.球与棱长为2的正方体的各个面都相切，点为棱的中点，则平面截球所得,截面的面积为（   ）

 A. B. C. D.

【答案】A

【解析】 

设圆心到截面距离为，截面半径为，由,

得到,所以，又，所以.

所以截面的面积为.故选A.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．

9．已知函数（）的图像关于直线对称，则（   ）

 A.函数的图像向左平移个单位长度得到的图像关于原点对称

 B.函数在上单调递增

 C.函数在有且仅有个极大值点

 D.若，则的最小值为

【答案】 ABC．

【解析】

由题意，令，，则，，又，则当时，，此时，故函数的图像向左平移个单位长度得，图像关于原点对称，A正确；当时，，所以在上单调递增，B正确；当时，，结合正弦函数图像，在有且仅有个极大值点，C正确；当时，，分别为函数的一个极大值点和一个极小值点，则的最小值为半个周期，即为，D错误． 故选择ABC．

10．已知双曲线（，）满足条件：（1）焦点为，；（2）离心率为，求得双曲线的方程为.若去掉条件（2），另加一个条件求得双曲线的方程仍为，则下列四个条件中，符合添加的条件可以为（   ）

 A.双曲线上的任意点都满足

 B.双曲线的虚轴长为

 C.双曲线的一个顶点与抛物线的焦点重合

 D.双曲线的渐近线方程为

【答案】 AD．

【解析】

由条件（1）可知，由（2）知，，则， 去掉条件（2），另加一个条件求得双曲线的方程仍为，则若双曲线上的任意点都满足时，即，∴，则A可行；若双曲线的虚轴长为，即，即，则B不行；若双曲线的一个顶点与抛物线的焦点重合，且的焦点为，∴，则C不行；若双曲线的渐近线方程为，即，∴，则D可行.故选择AD．

11．下表为森德拉姆(Sundaram,1934)素数算法矩阵法,其特点是每行每列的数均成等差数列，下列结论正确的是(    )

A.第行第列的数为

B.第行第列的数与第行第列的数相等

C.第行中前列的数之和为

D.会出现在如此矩阵中

【答案】 ABC．

【解析】

第行,第列的数

,故A正确.

,,故B正确.

，,

,故C正确.

通过观察发现以开头不论是向右整行还是向下整列,他们出现的数字完全相等.故只需寻找是否等于.

,,无整数解.

同理可得,,无整数解.

依次类推可得, 不会出现.

12．某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32ppm．由检验知该地下车库一氧化碳浓度（ppm）与排气时间（分钟）之间存在函数关系，其中（为常数）．若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，人就可以安全进入车库了，则（   ）

A．  

B． 

C．排气12分钟后，人可以安全进入车库  

D．排气32分钟后，人可以安全进入车库

【答案】 BD

【解析】

记，，故，（为常数）

把，代入解得，，

，解得，排气32分钟后，人可以安全进入车库，故选BD．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13．曲线在点处的切线方程为        ．

【答案】．

【解析】首先判断点在曲线上，然后求导可得，当时，可得，即，故所求切线方程为.

14．长方体中，，与所成角的正切值为2，则该长方体的体积为            .

【答案】或4 

【解析】

设长方体的高.分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，.∴，

又∵与所成角的正切值为2，∴

即 ，解得或.故该长方体的体积为或4.

15．已知向量，满足且，则的取值范围是              ，的最大值是              ．

【答案】 （2分），（3分，填也给3分）

【解析】，所以，所以的取值范围是．

．所以的最大值是．

16．甲、乙两队进行篮球冠军争夺赛，比赛采取三局二胜制，甲队每局取胜的概率为.甲队有一名核心球员，如果核心球员在比赛中受伤，将不能参加后续比赛，甲队每局取胜的概率降为.若核心球员在每局比赛受伤的概率为，则甲队获得冠军的概率为        ．

【答案】 ．

【解析】

分类讨论：

（1）若甲、乙两队的比分是，则可分为第二局比赛核心队员受伤与未受伤两种情况考虑，则概率是；

（2）若甲、乙两队的比分是，则可分为第二局比赛核心队员受伤与未受伤两种情况，第三局必须是甲队胜，则概率是；

综上，甲队获得冠军的概率为.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．在①，②③这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求三角形的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在，它的内角，，的对边分别是，，，且，_______，_______？

注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分．

【答案】 选条件①和②，面积为；选择条件①和③，不存在这样的三角形；条件②和③，面积为

【解析】由，可得，

因为，所以，因此，即，

因为，所以．

方案一：选条件①和②

由和，可得，

由和，得，解得或（舍去），

则，这样的三角形存在．

其面积．

方案二：选条件①和③

因为，

又，解得，，

与矛盾，所以这样的△不存在．

方案三：选条件②和③

因为，则，

所以，则，，

因为，则，

所以，这样的三角形存在． 其面积．

18．如图，在直三棱柱中，侧面的面积依次为，分别为的中点.

 （1）求证：平面平面；

 （2）求证：//平面.

【答案】 见证明过程.

【解析】

（1）在直棱柱中，平面，………………………………………1分

平面，∴， …………………………………………………………………………2分

∵侧面的面积依次为，∴，

∴，即，………………………………………………………………………4分

又，∴平面，…………………………5分

又平面，∴平面平面． ………………6分

（2）取的中点为，连接， …………………………7分

∵分别是的中点，∴且，……8分

∵为的中点，∴，又， …9分

∴且，∴四边形是平行四边形，…………………………………………10分

∴，又平面，平面，

∴平面．………………………………………………………………………………………12分

19．在数列,中,已知数列的前项和满足.

(1)    若,求证数列是常数列,并求数列的通项公式

(2)    若,求数列的前项和.

【答案】 (1) ,;(2)

【解析】

（1）由题设可得，

当时，，得，

当时，，两式相减得，

所以，即，所以是常数列，

首项，即，

所以，所以数列的通项公式为．

（2）因为，则是首项，公比的等比数列，

所以，

由题设知，得，

所以

．

20. 随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载用户每日健步的步数．某市大型企业为了了解其员工每日健步走的情况，从正常上班的员工中随机抽取了2000人，统计了他们手机计步软件上同一天健步的步数（单位:千步，假设每天健步的步数均在3千步至21千步之间).将样本数据分成[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13),[13,15),[15,17),[17,19),[19,21]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图，并用样本的频率分布估计总体的频率分布.

（1）求图中的值；

（2）设该企业正常上班的员工健步步数（单位:千步)近似服从正态分布，其中近似为样本的平均数（各区间数据用中点值近似计算)，取，若该企业恰有10万人正常上班的员工,试估计这些员工中日健步步数位于区间[4.88,15.8]范围内的人数;

(3）现从该企业员工中随机抽取20人，其中有名员工的日健步步数在13千步至15千步内的概率为，其中，当最大时,求的值.

参考数据：若随机变量服从正态分布，则

.

【答案】（1）．（2）

【解析】 

（1）由，解得．

（2），

，

则（人），所以日健步步数位于区间范围内的人数约为人

（3）设从该企业员工中随机抽取20人日健步步数在13千步至15千步内的员工有人，则，

其中有名员工的概率为，其中．

记，

当时，，则；

当时，，则．

所以当时，最大.

21．已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在 轴上，焦距为2，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点，分别为椭圆的左顶点、右焦点，过点的直线交椭圆于，,直线， 分别与直线交于点，，求证：直线和直线的斜率之积为定值.

【答案】（1）椭圆的标准方程为 ；（2）

【解析】

（1）设椭圆的标准方程为，焦距为，                  ……1分

由题意得，解得，，                                    ……2分

又，则，                                                ……3分

所以椭圆的标准方程为.                                       ……4分

（2）由（1）得，，设直线，，，……5分

联立，消元，整理得，                 ……6分

则，，                                ……7分

由题意可设，，则由，可得 ……8分

同理，可得，                                               ……9分

所以直线和直线的斜率之积

                           ……11分

所以直线和直线的斜率之积为定值.                           ……12分

22．已知函数.

（1）若，判断函数有几个零点，并说明理由；

（2）当，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】 （1）有个零点；（2）.

【解析】

（1）令，则由于，当且仅当.

∵，且，

∴当时，且等号成立当且仅当，当时，.

因此，在上单调递减，在上单调递增.

取，则，

又，，

根据零点存在定理，在，上各有一个零点.

因此，有且只有两个零点，进而有且只有两个零点.

（2）①当时，恒成立，即对任意实数均成立，

②当，原不等式等价于恒成立，令.

则，

令，则（），故在单调递增．

因此，当时，，即，

综上，的取值范围为．