初中数学北师大版七年级下册第六章 频率初步综合与测试习题
展开2021年北师大版七年级下册
《概率初步》单元检测卷
一、选择题
- 在围棋盒中有x颗白色棋子和y颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是，如再往盒中放进3颗黑色棋子，取得白色棋子的概率变为，则原来盒里有白色棋子()
A. 1颗 B. 2颗 C. 3颗 D. 4颗
- 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则下列事件发生的概率最大的是（ ）
A. 两正面都朝上 B. 两背面都朝上
C. 一个正面朝上，另一个背面朝上 D. 三种情况发生的概率一样大
- 甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会4×100米接力跑比赛，如果任意安排四位同学的跑步顺序，那么恰好由甲将接力棒交给乙的概率是（ ）
A. B. C. D.
- 某中学举行数学竞赛，经预赛，七、八年级各有一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入决赛，那么九年级同学获得前两名的概率是（ ）
A. B. C. D.
- 一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的3个红球和2个绿球，随机从中摸出一球，不再放回袋中，充分搅匀后再随机摸出一球．两次都摸到红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
- 一天晚上，小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时，突然停电了，小丽只好把杯盖和茶杯随机搭配在一起，则其颜色搭配一致的概率是（ ）
A. B. C. D. 1
- 在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共60个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在25%左右，则口袋中红色球可能有（ ）
A. 5个 B. 10个 C. 15个 D. 45个
- 袋子里有4个球，标有2，3，4，5，先抽取一个并记住，放回，然后再抽取一个，所抽取的两个球数字之和大于6的概率是（ ）
A. B. C. D.
- 某事件发生的概率为，则下列说法不正确的是（ ）
A. 无数次实验后，该事件发生的频率逐渐稳定在左右
B. 无数次实验中，该事件平均每4次出现1次
C. 每做4次实验，该事件就发生1次
D. 逐渐增加实验次数，该事件发生的频率就和逐渐接近
- 一个盒子中有4个除颜色外其余都相同的玻璃球，1个红色，1个绿色，2个白色，现随机从盒子中一次取出两个球，这两个球都是白球的概率为（ ）
A. B. C. D. 1
二、填空题
- 八年级的小亮和小明是好朋友，他们都报名参加学校的田径运动会，将被教练随机分进甲、乙、丙三个训练队，他俩被分进同一训练队的概率是______ ．
- 在一个不透明的袋中装有除颜色外其余都相同的3个小球，其中一个红球、两个黄球．如果第一次先从袋中摸出一个球后不再放回，第二次再从袋中摸出一个，那么两次都摸到黄球的概率是______ ．
- 三名同学同一天生日，她们做了一个游戏：买来3张相同的贺卡，各自在其中一张内写上祝福的话，然后放在一起，每人随机拿一张．则她们拿到的贺卡都不是自己所写的概率是______ ．
- 某超市为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球面上分别标有“0元”，“10元”，“20元”，“30元”的字样．顾客在该超市一次性消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个小球（每一次摸出后不放回），超市根据两小球上所标金额的和返还等额购物券．若某顾客刚好消费200元，则他所获得购物券的金额不低于30元的概率为______ ．
- 现有四根长3cm、4cm、7cm、9cm的木棒，任取其中的三根，首尾相连后，能组成三角形的概率为______ ．
三、解答题
- 一个不透明的盒子中装有2枚黑色的棋子和1枚白色的棋子，每枚棋子除了颜色外其余均相同．从盒中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回并搅匀，再从盒子中随机摸出一枚棋子，记下颜色，用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的棋子颜色不同的概率．
- 如图，某商场为了吸引顾客，制作了可以自由转动的转盘（转盘被等分成20个扇形），顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转动转盘，转盘停止后指针正好对准红色、黄色或绿色区域，就可以分别获得200元、100元、50元的购物券；如果不愿意，可直接获得30元的购物券．
（1）求转动一次转盘获得购物券的概率；
（2）如果你在该商场消费210元，你会选择转转盘还是直接获得购物券？说明理由．
- 如图是一个被平均分成6等份的转盘，每一个扇形中都标有相应的数字，甲乙两人分别转动转盘，设甲转动转盘后指针所指区域内的数字为x，乙转动转盘后指针所指区域内的数字为y（当指针在边界上时，重转一次，直到指向一个区域为止）．
（1）直接写出甲转动转盘后所指区域内的数字为负数的概率；
（2）用树状图或列表法，求出点（x，y）落在第二象限内的概率．
- 小明参加某智力竞答节目，只要再答对最后两道单选题就能顺利通关．第一道单选题有2个选项，分别记为A、B，第二道单选题有3个选项，分别记为C、D、E，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．
（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是______ ．
（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率．
（3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”．（直接写出答案）
答案和解析
【答案】
1. B 2. C 3. A 4. D 5. A 6. B 7. C
8. C 9. C 10. A
11. 12. 13. 14. 15.
16. 解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次摸出的棋子颜色不同的有4种情况，
∴两次摸出的棋子颜色不同的概率为：．
17. 解：（1）∵自由转动的转盘被等分成20个扇形，红色、黄色或绿色区域分别占1，3，6个区域，
∴转动一次转盘获得购物券的概率为：=；
（2）选择转转盘．
理由：转转盘：200×+100×+50×=40（元），
∵40＞30，
∴选择转转盘．
18. 解：（1）∵一共有6种等可能的结果，甲转动转盘后所指区域内的数字为负数的有：-1，-2共2种情况，
∴甲转动转盘后所指区域内的数字为负数的概率为：=；
(2)根据题意，列表得：
甲 | -1 | -2 | 0 | 2 | 3 | 4 |
-1 | （-1，-1） | （-2，-1） | （0，-1） | （2，-1） | （3，-1） | （4，-1） |
-2 | （-1，-2） | （-2，-2） | （0，-2） | （2，-2） | （3，-2） | （4，-2） |
0 | （-1，0） | （-2，0） | （0，0） | （2，0） | （3，0） | （4，0） |
2 | （-1，2） | （-2，2） | （0，2） | （2，2） | （3，2） | （4，2） |
3 | （-1，3） | （-2，3） | （0，3） | （2，3） | （3，3） | （4，3） |
4 | （-1，4） | （-2，4） | （0，4） | （2，4） | （3，4） | （4，4） |
∴点（x，y）的坐标一共有36种等可能的结果，且每种结果发生的可能性相等，其中点（x，y）落在第二象限的结果共有6种，
∴点（x，y）落在第二象限内的概率为：=．
19.
【解析】
1. 先根据白色棋子的概率是，得到一个方程，再往盒中放进3颗黑色棋子，取得白色棋子的概率变为，再得到一个方程，求解即可．
2. 解：画树状图为：
共有4种等可能的结果数，其中两正面朝上的占1种，两背面朝上的占1种，一个正面朝上，另一个背面朝上的占2种，
所以两正面朝上的概率=；两反面朝上的概率=；一个正面朝上，另一个背面朝上的概率==．
故选C．
先画出树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两正面朝上的、两背面朝上的和一个正面朝上，另一个背面朝上的结果数，然后分别计算它们的概率，再比较大小即可．
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
3. 解：根据题意，画树状图得：
∴一共有24种跑步顺序，而恰好由甲将接力棒交给乙的有6种，
∴恰好由甲将接力棒交给乙的概率是：=．
故选A．
此题需要三步完成，所以采用树状图法比较简单．注意要做到不重不漏．
此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意画树状图是要做到不重不漏．
4. 解：列表如下：
| 七 | 八 | 九 | 九 |
七 | --- | （八，七） | （九，七） | （九，七） |
八 | （七，八） | --- | （九，八） | （九，八） |
九 | （七，九） | （八，九） | --- | （九，九） |
九 | （七，九） | （八，九） | （九，九） | --- |
所有等可能的情况有12种，其中九年级同学获得前两名的情况有2种，
则P==．
故选D
列表得出所有等可能的情况数，找出九年级同学获得前两名的情况数，即可求出所求概率．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5. 解：列表如下：
| 红 | 红 | 红 | 绿 | 绿 |
红 | --- | （红，红） | （红，红） | （绿，红） | （绿，红） |
红 | （红，红） | --- | （红，红） | （绿，红） | （绿，红） |
红 | （红，红） | （红，红） | --- | （绿，红） | （绿，红） |
绿 | （红，绿） | （红，绿） | （红，绿） | --- | （绿，绿） |
绿 | （红，绿） | （红，绿） | （红，绿） | （绿，绿） | --- |
得到所有可能的情况数为20种，其中两次都为红球的情况有6种，
则P两次红==．
故选：A．
列表得出所有等可能的结果，找出两次都为红球的情况数，即可求出所求的概率．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6. 解：用A和a分别表示粉色有盖茶杯的杯盖和茶杯；用B和b分别表示白色有盖茶杯的杯盖和茶杯、经过搭配所能产生的结果如下：Aa、Ab、Ba、Bb
所以颜色搭配正确的概率是；
故选B．
根据概率的计算公式．颜色搭配总共有4种可能，分别列出搭配正确和搭配错误的可能，进而求出概率即可．
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
7. 解：∵摸到红色球的频率稳定在25%左右，
∴口袋中红色球的频率为25%，故红球的个数为60×25%=15（个）．
故选：C．
由频数=数据总数×频率计算即可．
本题考查了利用频率估计概率，难度适中．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
8. 解：画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，抽取的两个球数字之和大于6的有10种情况，
∴抽取的两个球数字之和大于6的概率是：=．
故选：C．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽取的两个球数字之和大于6的情况，再利用概率公式即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9. 解：A、无数次实验后，该事件发生的频率逐渐稳定在左右，正确，不符合题意；
B、无数次实验中，该事件平均每4次出现1次，正确，不符合题意；
C、每做4次试验，该事件可能发生一次，也可能发生两次，也有可能不发生，故错误，符合题意；
D、逐渐增加实验次数，该事件发生的频率就和逐渐接近，正确，不符合题意，
故选C．
利用概率的意义分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解概率的意义，某事件发生的概率为，不一定试验4次就一定有一次发生，难度不大．
10. 解：共12种等可能的情况，2次都是白球的情况数有2种，
所以概率为．
故选A．
列举出所有情况，看这两个球都是白球的情况数占总情况数的多少即可．
考查概率的求法；得到这两个球都是白球的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
11. 解：假设小亮在甲，则小明有甲、乙、丙三种，那么他们要在同一队的可能只有，
同理，小亮在乙或丙，他们要在同一队的可能也只有，
因此概率为．
本题可假设小亮在某一个训练队，则小明有3种被安排的可能，要与小亮在同一个训练队，那么就只有的可能，因此可知概率的值．
本题考查了概率的公式．解本题时学生常常会认为小亮、小明都是三种其中一种而算出×=的错误答案．
12. 解：共有3×2=6种可能，两次都摸到黄球的有2种，所以概率是．
依据题意先分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13. 解：第一个同学的贺卡为A，第二个同学的贺卡为B，第三个同学的贺卡为C，
共有（A，B，C）、（A，C，B）、（B，A，C）、（B，C，A）、（C，A，B）、（C，B，A），6种情况，
她们拿到的贺卡都不是自己的有：（B，C，A）、（C，A，B），共2种，
故她们拿到的贺卡都不是自己所写的概率==
故答案为：．
三个人抽贺卡的情况有6种，抽到不是自己的情况有两种，用2除以6即可得出概率的值．
本题考查的是概率的公式．每个人抽到与自己不同的卡片只有两种情况，根据“若其中一个人确定抽到的卡片时，另外两个人手中卡片也是固定的”可知满足条件的只有两种情况．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14. 解：根据题意画树状图如下：
从图上可以看出，共有12种可能的情况数，其中他所获得购物券的金额不低于30元的有8种可能结果，
因此P（不低于30元）==；
故答案为：．
根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15. 解：共有4种等可能的结果数，其中有2种能组成三角形，
所以能组成三角形的概率=．
先展示所有可能的结果数，再根据三角形三边的关系得到能组成三角形的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
16. 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的棋子颜色不同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17. （1）由自由转动的转盘被等分成20个扇形，红色、黄色或绿色区域分别占1，3，6个区域，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先求得转转盘可能得到的购物券钱数，再比较即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．注意掌握选择转转盘获得购物券的钱数的求解方法是关键．
18. （1）根据古典概率的知识，利用概率公式即可求得答案；
（2）根据题意列出表格，然后根据表格即可求得所有等可能的结果与点（x，y）落在第二象限内的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了树状图法与列表法求概率．此题难度不大，解题的关键是根据题意画出树状图或列出表格，注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19. 解：（1）∵第一道单选题有2个选项，
∴如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是：；
故答案为：；
（2）画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况，
∴小明顺利通关的概率为：；
（3）∵如果在第一题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；
如果在第二题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；
∴建议小明在第一题使用“求助”．
（1）由第一道单选题有2个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明顺利通关的情况，继而利用概率公式即可求得答案；
（3）分别计算出在第一题使用“求助”小明顺利通关的概率和在第二题使用“求助”小明顺利通关的概率即可求得答案．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
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