初中数学北师大版九年级下册第二章 二次函数综合与测试单元测试练习

北师大版2021年数学九年级下册《二次函数》单元测试一

一、选择题(本大题共7小题，共28分)

1．已知抛物线y=ax2＋bx＋c的开口向下，顶点坐标为(2，－3)，那么该抛物线有(　　)

A．最小值－3　  B．最大值－3

C．最小值2  D．最大值2

2．已知二次函数y=ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表：

则该二次函数图象的对称轴为(　　)

A．y轴　  B．直线x=      C．直线x=2　  D．直线x=

3．若二次函数y=(m－1)x2－mx－m2＋1的图象过原点，则m的值为(　　)

A．±1  B．0  C．1  D．－1

4．一次函数y=ax＋b和反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y=ax2＋bx＋c的图象大致为(　　)

5．国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系式为(　　)

A．y=36(1－x)  B．y=36(1＋x)    C．y=18(1－x)2  D．y=18(1＋x2)

6．如图是二次函数y=ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点(－3，0)，对称轴为直线x=－1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b=0；③a＋b＋c>0；④若点B，C为函数图象上的两点，则y1＜y2.其中正确的是(　　)

A．②④  B．①④     C．①③  D．②③

7．如图，Rt△OAB的顶点A(－2，4)在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为(　　)

A．(，)  B．(2，2)   C．(，2)  D．(2，)

二、填空题(本大题共5小题，共25分)

8．函数y=(x－2)(3－x)取得最大值时，x=________．

9．将抛物线y=2(x－1)2＋2向左平移3个单位，再向下平移4个单位长度，那么得到的抛物线的表达式为____________．

10．如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为8 m，以隧道底部宽AB所在直线为x轴，以AB垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线的表达式为y=－x2＋b，则隧道底部宽AB为________m.

11．如图所示，已知抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线y=a1x2＋b1x＋c1，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)

①b>0；②a－b＋c<0；③阴影部分的面积为4；④若c=－1，则b2=4a.

12．二次函数y=x2－2x－3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为2 个单位长度，以AB为边作等边三角形ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为________________．

三、解答题(共47分)

13．如图，已知矩形ABCD的周长为12，E，F，G，H为矩形ABCD的各边中点，若AB=x，四边形EFGH的面积为y.

(1)请直接写出y与x之间的函数关系式；

(2)根据(1)中的函数关系式，计算当x为何值时，y最大，并求出最大值．

14．大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店．该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元，每月要少卖10件；售价每下降1元，每月要多卖20件．为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为(60＋x)元/件(x＞0即售价上涨，x＜0即售价下降)，每月饰品销量为y件，月利润为w元．

(1)直接写出y与x之间的函数关系式；

(2)如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；

(3)为了使每月利润不少于6000元，应如何控制销售价格？

15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－4)三点，P是直线BC下方抛物线上一动点．

(1)求这个二次函数的表达式．

(2)是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)动点P运动到什么位置时，△PBC的面积最大，求出此时点P的坐标和△PBC的最大面积．

参考答案

1．B　[解析] 因为抛物线开口向下，其顶点坐标为(2，－3)，所以该抛物线有最大值－3.故选B.

2．D　[解析] 观察表格可知，点(0，1)与点(3，1)、点(1，－1)与点(2，－1)的纵坐标分别相等，所以可知它们分别关于图象的对称轴对称，进而可求得对称轴为直线x=(或)=.故选D.

3．D　4.C　5.C

6．B　[解析] ①由抛物线与x轴有两个交点，得b2－4ac＞0，所以①正确；②因为对称轴为直线x=－1，则－=－1，即2a－b=0，所以②错误；③因为抛物线经过点A(－3，0)，对称轴为直线x=－1，则抛物线与x轴的另一个交点为(1，0)，于是有a＋b＋c=0，所以③错误；④点B在对称轴左侧1.5个单位长度处，点C在对称轴右侧0.5个单位长度处，找出相应的点，显然y1＜y2，所以④正确．故选B.

7．C　8.

9．y=2(x＋2)2－2(或y=2x2＋8x＋6)

10．8　[解析] 由题意可知抛物线y=－x2＋b的顶点坐标为(0，8)，

∴b=8，∴抛物线的函数表达式为y=－x2＋8.

当y=0时，0=－x2＋8，解得x=4或－4，

∴水面宽AB=4＋4=8(m)．故答案为8.

11．③④　[解析] 由题图知，抛物线开口向上，

∴a>0.又对称轴在y轴的右侧，

∴x=－>0，

∴b<0，①错误．当x=－1时，抛物线在x轴上方，

∴y=a－b＋c>0，②错误．设平移后的抛物线顶点为E，与x轴右边的交点为D，则阴影部分的面积与平行四边形CEDB的面积相同．

∵平移了2个单位长度，点C的纵坐标是－2，∴S=2×2=4，③正确．由抛物线的顶点坐标公式，得yC=－2，

∴=－2.

∵c=－1，解得b2=4a，④正确．故填③④.

12．(1＋，3)或(2，－3)

13．解：(1)∵矩形ABCD的周长为12，AB=x，

∴BC=×12－x=6－x.

∵E，F，G，H为矩形ABCD的各边中点，

∴y=x(6－x)=－x2＋3x，

即y=－x2＋3x.

(2)y=－x2＋3x=－(x－3)2＋4.5，

∵a=－＜0，

∴y有最大值，

当x=3时，y有最大值，为4.5.

14．解：(1)由题意可得：

y=

(2)由题意可得：

w=

化简得：

w=

即w=

由题意可知x应取整数，所以当x=－2或x=－3时，w＜6125＜6250，

故当销售价格为每件65元时，月利润最大，最大月利润为6250元．

(3)由题意得w≥6000，如图，令w=6000，

即6000=－20(x＋)2＋6125，6000=－10(x－5)2＋6250，

解得x1=－5，x2=0，x3=10，

∴－5≤x≤10，

故将销售价格控制在55元到70元之间(含55元和70元)，才能使每月利润不少于6000元．

15．解：(1)设这个二次函数的表达式为y=ax2＋bx＋c，

把A，B，C三点的坐标分别代入可得解得

∴这个二次函数的表达式为y=x2－3x－4.

(2)作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，连接OP，CP，如图①，

∴PO=PC，此时点P即为满足条件的点．

∵C(0，－4)，

∴D(0，－2)，

∴点P的纵坐标为－2.

当y=－2时，即x2－3x－4=－2，

解得x1=(不合题意，舍去)，x2=.

∴存在满足条件的点P，其坐标为(，－2)．

(3)∵点P在抛物线上，

∴可设P(t，t2－3t－4)．

过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图②，

∵B(4，0)，C(0，－4)，

∴直线BC的函数表达式为y=x－4，

∴F(t，t－4)，

∴PF=(t－4)－(t2－3t－4)=－t2＋4t，

∴S△PBC=S△PFC＋S△PFB=PF·OE＋PF·BE=PF·(OE＋BE)=PF·OB=(－t2＋4t)×4=－2(t－2)2＋8，

∴当t=2时，S△PBC最大，且最大值为8，

此时t2－3t－4=－6，

∴当点P的坐标为(2，－6)时，△PBC的面积最大，最大面积为8.