数学八年级下册第2章 四边形综合与测试精品单元测试同步测试题

这是一份数学八年级下册第2章 四边形综合与测试精品单元测试同步测试题，共10页。

考点一 多边形的内角和与外角和
【例1】小杰在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1 290°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？这个多边形的边数是多少？
【分析】由少算的内角处在0°到180°之间列出关于边数不等式，再求整数解即可得边数.
【解答】设这个多边形的边数为n，少算的这个内角为α，则有：(n-2)·180°-α=1 290°.
α=(n-2)·180°-1 290°.
显然：0°＜α＜180°，
∴0°＜(n-2)·180°-1 290°＜180°.
解得9α=(10-2)·180°-1 290°=150°.
答：这个内角是150°，这个多边形的边数是10.
【方法归纳】通过列不等式求整数解是解决多边形中漏加角或多加角问题的常用方法.
变式练习
1.如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=( )
A.90°-α B.90°+α C.α D.360°-α
2.如果一个多边形的每个内角都相等，每个内角与每个外角的差是90°，求这个多边形的内角和.
考点二 中心对称和中心对称图形
【例2】随着人民生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是( )
【分析】在A选项中，图形绕其中心旋转180°后能与原图重合，是中心对称图形，而其他三项都绕其中心旋转180°后不能与原图重合，所以不是中心对称图形，故选择A.
【解答】A
【方法归纳】识别中心对称图形的方法是根据概念，将这个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与自身重合，那么这个图形就是中心对称图形，这个点是对称中心.最简单的方法是把图形倒置过来看，如果看到的图形与原图形完全相同，就是中心对称图形，否则不是.
3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
考点三 三角形的中位线
【例3】如图所示，点D，E分别在AB，AC上，BD=CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于点P，Q.求证：AP=AQ.
【分析】取BC的中点H，连接MH，NH.根据中位线性质可证MH=NH，进而证明∠HMN=∠HNM，∠HMN=∠PQA，∠HNM=∠APQ，∴∠APQ=∠PQA，∴AP=AQ.
【解答】取BC的中点H，连接MH，NH.
∵M，H分别为BE，BC的中点，
∴MH∥EC，MH=EC.
∵N，H分别为CD，BC的中点，
∴NH∥BD，NH=BD.
∵BD=CE，∴MH=NH.
∴∠HMN=∠HNM.
∵MH∥EC，∴∠HMN=∠PQA.
同理∠HNM=∠QPA.
∴∠APQ=∠PQA，∴AP=AQ.
【方法归纳】已知中点时，常取另一中点，构造三角形的中位线.
4.如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点.求证：△EFG是等腰三角形.
考点四 特殊四边形的性质与判定
【例4】已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形.
【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=BE，再由ASA得△EBD≌△CBD，从而有BC=BE，结合已知BC=CD可得四边形BCDE的四边都相等，∴四边形BCDE是菱形.
【解答】∵AD⊥BD，
∴△ABD是直角三角形.
∵E是AB的中点，∴BE=DE=AB.
∴∠EDB=∠EBD.
∵CB=CD，∴∠CDB=∠CBD.
∵AB∥CD，∴∠EBD=∠CDB.
∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD.
又∵BD=BD，∴△EBD≌△CBD(ASA).
∴BE=BC.
又∵BE=DE，BC=CD，
∴CB=CD=BE=DE.
∴四边形BCDE是菱形.
【方法归纳】要判定一个四边形是菱形，若条件集中于“边”，可以证四边都相等；若先能说明这个四边形是平行四边形，可以证有一组邻边相等，或证对角线互相垂直.
5.如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为点F.求证：DF=DC.
6.如图，在□ABCD中，AE=CG，DH=BF，顺次连接E，F，G，H，E.求证：四边形EFGH是平行四边形.
复习测试
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是( )
A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形
2.下列命题中，错误的是( )
A.平行四边形的对角线互相平分
B.菱形的对角线互相垂直平分
C.矩形的对角线相等且互相垂直平分
D.角平分线上的点到角两边的距离相等
3.下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，若AB＝6，BC＝9，则BF的长为( )
A.4 B.3 C.4.5 D.5
5.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，则∠AEB的度数为( )
A.10° B.15° C.20° D.12.5°
6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，且AC≠BD，则图中全等三角形有( )
A.4对 B.6对 C.8对 D.10对
7.四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是( )
A.OA=OC，OB=OD B.AD∥BC，AB∥DC
C.AB=DC，AD=BC D.AB∥DC，AD=BC
8.如图，分别以线段AC的两个端点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于B，D两点，连接BD，AB，BC，CD，DA.以下结论：①BD垂直平分AC；②AC平分∠BAD；③AC=BD；④四边形ABCD是中心对称图形.其中正确的有( )
A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④
9.如图所示，下列条件中：①BD⊥AC；②OA=OC，OB=OD；③AC=BD；④AB∥CD，AB=BC.能说明四边形ABCD是菱形的组合是( )
A.① B.①② C.② D.③④
10.如图，在□ABCD中，∠A＝70°，将□ABCD折叠，使点D，C分别落在点F,E处(点F,E都在AB所在的直线上)，折痕为MN，则∠AMF等于( )
A.70° B.40° C.30° D.20°
二、填空题(每小题3分，共18分)
11.若一个正多边形的一个内角等于135°，则这个多边形是正__________边形.
12.如图，在□ABCD中，对角线AC.BD相交于点O，如果AC=14，BD=8，AB=x，那么x的取值范围是__________.
13.已知点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，若AC⊥BD且AC≠BD，则四边形EFGH的形状是__________(填“矩形”“菱形”或“正方形”).
14.(2014·扬州)如图，△ABC的中位线DE=5 cm，把△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若A，F两点间的距离是8 cm，则△ABC的面积为__________cm2.
15.以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A,B两点，则线段AB的最小值是__________.
16.(2013·厦门)如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点.若AC+BD＝24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF＝__________厘米.
三、解答题(共52分)
17.(8分)如图所示模板，按规定AB,CD的延长线相交成80°的角，因交点不在板上不便测量，工人师傅测得∠BAE=122°，∠DCF=155°，此时AB,CD的延长线相交所成的角是否符合规定？为什么？
18.(8分)如图，在□ABCD中，AC交BD于点O，点E，点F分别是OA，OC的中点，请判断线段BE，DF的位置关系和数量关系，并说明你的结论.
19.(12分)如图，已知在△ABC中，O是边BC的中点，E是线段AB延长线一点，过点C作CD∥BE，交线段EO的延长线于点D，连接BD，CE.
(1)求证：CD=BE；
(2)如果∠ABD=2∠BED，求证：四边形BECD是菱形.
20.(12分)如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE.
(1)求∠CAE的度数；
(2)取AB边的中点F，连接CF，CE，试证明四边形AFCE是矩形.
21.(12分)如图甲，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F.请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题.

(1)探究1：小强看到图甲后，很快发现AE=EF.这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等(一个直角三角形，一个钝角三角形).考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证明△AEM≌△EFC就行了.随即小强写出了如下的证明过程：
证明：如图乙，取AB的中点M，连接EM.
∵∠AEF=90°，∴∠FEC+∠AEB=90°.
又∵∠EAM+∠AEB=90°，
∴∠EAM=∠FEC.
∵点E,M分别为正方形的边BC和AB的中点，
∴AM=EC.
∵△BME是等腰直角三角形，
∴∠AME=135°.
又∵CF是正方形外角的平分线，
∴∠ECF=135°.
∴△AEM≌△EFC(ASA).∴AE=EF.
(2)探究2：小强继续探索，如图丙，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立.请你证明这一结论.
(3)探究3：小强进一步还想试试，如图丁，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立，请你完成证明过程给小强看；若不成立，请你说明理由.
参考答案
变式练习
1.C
2.设每一个外角为x°，则每一个内角为(x+90)°，根据题意，得
x+x+90=180.解得x=45.
∴360÷45=8，(8-2)×180°=1 080°.
3.C
4.证明：∵E，F，G分别是AB，CD，AC的中点.
∴GF=AD，GE=BC.
又∵AD=BC，
∴GF=GE，
即△EFG是等腰三角形.
5.证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD∥BC，∠B=90°.
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=∠B=90°.
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB.
又∵AD=AE，
∴△ADF≌△EAB（AAS）.
∴DF=AB.
∴DF=DC.
6.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，∠B=∠D.
∵AE=CG，DH=BF，
∴AH=CF，BE=DG.
∴△AEH≌△CGF(SAS)，△EBF≌△GDH(SAS).
∴EF=HG，EH=FG.
∴四边形EFGH是平行四边形.
复习测试
1.B 2.C 3.B 4.A 5.B 6.C 7.D 8.C 9.B 10.B
11.八 12.3＜x＜11 13.矩形 14.40 15.2 16.3
17.不符合.
∵五边形的内角和是540°，
∴∠G=540°-122°-155°-180°=83°.
∴不符合规定.
18.BE=DF，BE∥DF.
∵ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD.
∵E，F分别是OA，OC的中点，
∴OE=OF.
∴BFDE是平行四边形.
∴BE=DF，BE∥DF.
19.证明：(1)∵CD∥BE，∴∠CDE=∠DEB.
∵O是边BC的中点，∴CO=BO.
在△COD和△BOE中，∠CDO=∠BEO，∠COD=∠BOE，CO=BO，
∴△COD≌△BOE（AAS）.
∴CD=BE.
(2)∵CD∥BE，CD=BE，
∴四边形BECD是平行四边形.
∵∠ABD=2∠BED，∠ABD=∠BED+∠BDE，
∴∠BED=∠BDE.
∴BD=BE.
∴四边形BECD是菱形.
20.(1)∵△ABC是等边三角形，且D是BC中点，
∴DA平分∠BAC，即∠DAB=∠DAC=30°.
∵△DAE是等边三角形，
∴∠DAE=60°.
∴∠CAE=∠DAE-∠CAD=30°；
(2)证明：∵△BAC是等边三角形，F是AB中点，
∴CF⊥AB.
由(1)知：∠CAE=30°，∠BAC=60°.
∴∠FAE=90°.
∴AE∥CF.
∵△BAC是等边三角形，且AD，CF分别是BC，AB边的中线，
∴AD=CF.
又AD=AE，
∴CF=AE.
∴四边形AFCE是平行四边形.
∵∠AFC=∠FAE=90°，
∴四边形AFCE是矩形.
21.(2)探究2：在AB上截取AM=EC，连接ME.
由(1)知∠EAM=∠FEC.
∵AM=EC，AB=BC，
∴BM=BE.
∴∠BME=45°.
∴∠AME=∠ECF=135°.
∴△AEM≌△EFC(ASA).
∴AE=EF.
(3)探究3：成立.
证明如下：延长BA到M，使得AM=CE，连接ME.
∴BM=BE.
∴∠BME=45°.
∴∠BME=∠ECF.
又∵AD∥BE，
∴∠DAE=∠BEA.
∴∠MAE=∠CEF.
∴△MAE≌△CEF（ASA）.
∴AE=EF.