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2021届高考物理考前复习大串讲-专题01 直线运动基础知识+查漏补缺 Word版含解析
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这是一份2021届高考物理考前复习大串讲-专题01 直线运动基础知识+查漏补缺 Word版含解析，共31页。试卷主要包含了参考系与质点，坐标系，时间与时刻，位移与路程，速度，速度—时间图像，加速度，x t图象等内容，欢迎下载使用。
知识网络
知识清单
一、参考系与质点
1．参考系
（1）为了描述一个物体的运动，选定来做参考的另一个物体叫做参考系．
（2）参考系的选择：
①参考系的选取原则上是任意的.但实际问题中,应以研究问题方便,对运动的描述尽可能简单为原则.在研究地面上物体的运动时，通常选定地面或者相对于地面静止的其它物体作参考系．
②选择不同的参考系，来观察物体的运动时，其结果可能不同．
（3）参考系的意义
对同一个物体的运动，选择不同的参考系，观察到的物体运动情况往往不同，因此要描述一个物体的运动，必须首先选择参考系。
（4）参考系的“四性”
①标准性：用来选做参考系的物体都是假定不动的，被研究的物体是运动还是静止，都是相对于参考系而言的。
②任意性：参考系的选取具有任意性，但应以观察方便和使运动的描述尽可能简洁为原则；研究地面上物体的运动时，常选地面为参考系。
③统一性：比较物体的运动时，应该选择同一参考系。
④差异性：同一物体的运动选择不同的参考系，观察结果一般不同。
2．质点
（1）质点的概念：当物体的形状、大小、体积对所研究的问题不起作用或所起作用可忽略时，为了研究方便，就可忽略其形状、大小、体积，把物体简化为一个有质量的点．
（2）物体视为质点的条件：
①当物体上各部分的运动情况相同时，物体上任意一点的运动情况都能反映物体的运动，物体可看作质点．
②物体的大小、形状对所研究的问题无影响，或可以忽略不计的情况下，可看成质点．
有转动,但相对平动而言可以忽略时,也可以把物体视为质点.
二、坐标系
1.定量地描述物体的位置及位置的变化．
2.坐标系建立的原因：为了定量地描述物体(质点)的位置以及位置的变化，需要在参考系上建立一个坐标系。
3. 坐标系的种类与特点
种类
对运动的描述
坐标系的建立
举例
一维坐标系
（直线坐标系）
物体沿直线运动
以这条直线为x轴，在直线上规定原点、正方向和标度
M点位置坐标为x＝2 m
二维坐标系
（平面直角坐标系）
物体在某一平面内做曲线运动
以两条互相垂直的直线为x轴、y轴，交点为原点，规定正方向和标度
N点位置坐标为x＝3 m，y＝4 m
三维坐标系
（空间坐标系）
物体在某一空间内运动
以三条互相垂直的直线为x轴、y轴、z轴，交点为原点，规定正方向和标度
P点位置坐标为x＝3 m，y＝4 m，z＝2 m
三、时间与时刻
时刻：表示时间坐标轴上的点即为时刻。
时间：前后两时刻之差。时间坐标轴上用线段表示时间，例如，前几秒内、第几秒内。
(1)时间和时刻的区别与联系：
时间
时刻
区别
物理意义
时间是事物运动、发展、变化所经历的过程长短的量度
时刻是事物运动、发展、变化过程所经历的各个状态先后顺序的标志
时间轴上的表示方法
时间轴上的一段线段表示一段时间
时间轴上的点表示一个时刻
表述方法
“3秒内”、“前3秒内”、“后3秒内”、“第1秒内”、“第1秒到第3秒”均指时间
“3秒末”、“第3秒末”、“第4秒初”、“八点半”等均指时刻
应用
对应的是位移、路程、冲量、功等过程量．时间间隔=终止时刻－开始时刻。
对应的是位置、速度、动量、动能等状态量．
联系
两个时刻的间隔即为一段时间，时间是一系列连续时刻的积累过程，时间对应运动的一个过程，好比是一段录像；时刻对应运动的一瞬间，好比是一张照片
常见说法示意图
(2)在日常生活中所说的“时间”，其含义不尽相同，有时是指时刻，有时是指时间间隔，在物理学中，“时间”的含义就是时间间隔。
四、位移与路程
位移
路程
概念
表示质点位置变化的物理量，是从初位置指向末位置的有向线段
指质点运动轨迹的长度
标矢性
有大小，又有方向，位移是矢量
只有大小没有方向，是标量
决定因素
由初末位置决定而与路径无关
既与质点的初,末位置有关,也与路径有关
联系
都是描述质点运动的空间特征
②都是过程量
物体做单向直线运动时，位移大小等于路 程
图例
五、速度
1．瞬时速度与平均速度
平均速度
瞬时速度
定义
运动物体的位移和所用时间的比值,叫做这段位移(或时间内)的平均速度
运动物体经过某一位置(或在某时刻)的速度.
意义
粗略描述,对应一段时间，是一过程量
精确描述,对应某一时刻，是一状态量
大小
，在x—t图象中等于两时刻连线对应斜率的大小
v=(其中Δt→0)，在x—t图象中等于该时刻对应斜率的大小
方向
与位移方向相同
运动方向
联系
都描述物体运动的快慢和方向,都是矢量,单位都是m/s
瞬时速度是极短时间内的平均速度，匀速直线运动中平均速度等于瞬时速度
备注
平常所说的速度既可能是平均速度,也可能是瞬时速度,要根据上下文来判断
2.速度与速率的区别与联系：
①速度是矢量，而速率是标量；
②平均速度=，平均速率=；
③瞬时速度的大小通常叫速率．
六、速度—时间图像
1．定义
描述速度v与时间t关系的图像，简称速度图像。
2．v－t图像的作法
以横轴表示时间，纵轴表示速度，根据实际数据取单位长度，选定标度，描出数据点，用平滑曲线连接各点得到v－t图像。
七、加速度
1.定义
速度变化量与发生这一变化所用时间的比值。
2.定义式：，(速度的变化率)，单位m/s2．
3.意义：描述物体速度改变快慢的物理量
4.标矢性
矢量，方向与速度变化量的方向相同，由合外力的方向决定，与速度的方向关系不确定．
5．υ－t图像中图线的斜率表示加速度．
匀变速直线运动的研究
知识网络
知识清单
一、匀变速直线运动
1．定义：速度随时间均匀变化即加速度恒定的运动。
匀加速直线运动：加速度与速度方向相同。
2．分类：
匀减速直线运动：加速度与速度方向相反。
二、匀变速直线运动中的速度和时间的关系
1．公式：， at可理解为t时间内速度的变化量，即Δυ＝at．
公式中当υ0＝0时，υ＝at∝t，表示物体从静止开始做匀加速直线运动；当a＝0，υ＝υ0时，表示物体做匀速直线运动．速度的大小和方向都不变．
2．公式的矢量性
因为υ、υ0、a都是矢量，在直线运动中这些矢量只可能有两个方向，所以如果选定该直线的一个方向为正方向，则凡与规定正方向相同的矢量在公式中取正值，与规定正方向相反的矢量取负值．
3．平均速度：
，即匀变速直线运动的平均速度等于初、末速度的平均值，也等于中间时刻的瞬时速度．
三、匀变速直线运动中的位移与时间关系
1．公式： ，
2．位移公式为矢量式，若取初速度方向为正方向，当物体做匀加速运动时，a取正值；物体做匀减速运动，a取负值．并注意x、υ0、a必须选取统一的正方向．
3．若初速度υ0＝0，则公式变成，即x∝t2．
四、匀变速直线运动中的位移与速度的关系
1．公式：
2．如果问题的已知量和未知量都不涉及时间t，利用本公式求解，往往使问题变得简单、方便．
3．应用时要选取正方向，若x、a、υ、υ0的方向与正方向相反应取负值．
五、匀变速直线运动的推论
1．在连续相等的时间T内的位移之差为一恒定值，即Δx＝aT2．，推广为xm－xn＝(m－n)aT2.
2．某段位移中间位置的瞬时速度υ 与这段位移的初、末速度υ0与υ的关系为
3.某段时间内的平均速度，等于该段时间的中间时刻的瞬时速度，即＝vt/2＝.
4．初速度为零的匀加速直线运动的几个比例式：
设t＝0开始计时，以T为时间单位，则
①1T末、2T末、3T末……瞬时速度之比为
υ1∶υ2∶υ3∶…＝1∶2∶3∶…
②1T内、2T内、3T内……位移之比为
Δx1∶Δx2∶Δx3∶…＝12∶22∶32∶…
③第一个T内，第二个T内，第三个T内，……第n个T内位移之比为
xI∶xII∶xIII∶…∶xn∶＝1∶3∶5∶…(2n -1)
④通过连续相同位移所用时间之比为
Δt1∶Δt2∶Δt3∶…∶Δtn＝
六、自由落体运动
1.自由落体运动：
①定义：物体只在重力作用下从静止开始下落的运动
②特点：初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动
2．自由落体运动的条件：①初速度为零；②仅受重力
3．自由落体加速度（重力加速度g）
①定义：在同一地点，一切物体在自由落体运动中的加速度都相同，这个加速度叫做自由落体加速度
②数值：在地球不同的地方g不相同，随高度增大而减小，随纬度增大而增大，在通常的计算中，g取9.8m/s2，粗略计算g取10m/s2
4．自由落体运动公式：凡是初速度为零的匀加速度直线运动的规律，自由落体运动都适用。
①速度公式。
②位移公式
③速度与位移的关系式
5．伽利略研究自由落体运动的方法：
①假设运动的速度与时间是正比关系；
②推论如果速度与时间成正比，那么位移与时间的平方成正比；
③用小角度的光滑斜面来延长物体的下滑时间，再通过不同角度进行合理的外推来得出结论。
七、竖直上抛运动。
1．竖直上抛运动的条件：物体只在重力作用下，初速度竖直向上
2．运动性质：竖直方向的匀减速直线运动。它的加速度为重力加速度g（g= 9.8m/s2），方向竖直向下。
3．竖直上抛运动的规律。
选定竖直向上的初速度方向为正方向，那么，加速度g的方向应为负值。
①速度公式：
②位移公式：
③速度位移公式：
4．竖直上抛运动的几个特点：
①物体上升到最大高度时的特点是vt = 0。物体上升的最大高度H满足：
②时间对称——“上升阶段”和“下落阶段”通过同一段大小相等、方向相反的位移所经历的时间相等。
上升到最大高度所需要的时间满足： 。
物体返回抛出点所用的时间：
③速率对称——“上升阶段”和“下落阶段”通过同一位置时的速率大小相等
物体返回抛出点时的速度：
八、x t图象
1．定义
描述物体做直线运动的位移随时间变化规律的图像。
2．建立方法
以时间t为横轴，位移x为纵轴建立直角坐标系，在坐标系上描出物体在不同时刻t时的位移x所对应的点，并用平滑的图线连接各点。
3．物理意义：反映了物体做直线运动的位移随时间变化的规律．
4.斜率的意义：图线上某点切线斜率的大小表示物体速度的大小，斜率正负表示物体速度的方向．
九、v t图象
1.定义
描述物体做直线运动的速度随时间变化规律的图像。
2．图像特点
匀变速直线运动的v－t图像是一条倾斜的直线，如图所示。
3．物理意义：反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律．
4.斜率的意义：图线上某点切线斜率的大小表示物体在该点加速度的大小，斜率正负表示物体加速度的方向．
5.“面积”的意义
①图线与时间轴围成的面积表示相应时间内的位移的大小．
②若面积在时间轴的上方，表示位移方向为正；若此面积在时间轴的下方，表示位移方向为负．
十、追及和相遇问题
讨论追及、相遇的问题，其实质就是分析讨论两物体在同一时刻能否到达相同的空间位置问题．
1．追及相遇问题中的两个关系和一个条件
(1)两个关系：
即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画运动示意图得到．
(2)一个条件：
即两者速度相等，它往往是物体间能否追上、追不上(两者)或距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点．
2.追及类问题的提示
①匀加速直线运动追匀速运动，当二者速度相同时相距最远；
②匀速运动追匀加速直线运动，当二者速度相同时追不上以后就永远追不上了，此时二者相距最近；
③匀减速直线运动追匀速运动，当二者速度相同时相距最近，此时假设追不上，以后就永远追不上了；
④匀速运动追匀减速直线运动，当二者速度相同时相距最远；
⑤匀加速直线运动追匀加速直线运动，应当以一个运动当参照物，找出相对速度、相对加速度、相对位移．
【查漏补缺】
一、 匀变速直线运动规律的应用
【常用规律、公式】
1．基本规律
(1) 速度公式：v＝v0＋at.
(2) 位移公式：x＝v0t＋at2.
(3) 位移速度关系式：v2－v＝2ax.
这三个基本公式，是解决匀变速直线运动的基石．均为矢量式，应用时应规定正方向．
2．两个重要推论
(1) 物体在一段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，还等于初、末时刻速度矢量和的一半，即：＝v＝.
(2) 任意两个连续相等的时间间隔T内的位移之差为一恒量，即：Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2.
3．v0＝0的四个重要推论
(1) 1T 末、2T 末、3T 末、……瞬时速度的比为：
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n
(2) 1T 内、2T 内、3T 内……位移的比为：
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2
(3) 第一个T内、第二个T内、第三个T内……位移的比为：
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)
(4) 从静止开始通过连续相等的位移所用时间的比为：
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)
【典例1】．做匀减速直线运动的物体经4 s后停止，若在第1 s内的位移是14 m，则最后1 s的位移是( )
A．3.5 m B．2 m C．1 m D．0
【答案】B
【解析】 匀减速直线运动可看做初速度为零的匀加速直线运动，其在连续相等时间内的位移大小之比为1∶3∶5∶7，已知第4 s内的位移是14 m，所以第1 s内的位移是2 m.
【典例2】．(多选)物体做匀加速直线运动，在时间T内通过位移x1到达A点，接着在时间T内又通过位移x2到达B点，则物体( )
A．在A点的速度大小为
B．在B点的速度大小为
C．运动的加速度为
D．运动的加速度为
【答案】AB
【方法总结】
1．一个做匀减速直线运动的物体，末速度为零，若将整个运动时间分为相等的n个T，整个运动位移分为相等的n个x，可以得到如同初速度为零的匀加速直线运动相似的比例关系式，只是二者首尾颠倒。
2．基本公式加上这么多推论公式，应该如何选择呢？一种方法是不管推论只选基本公式，把已知量代入基本公式求解；再一种方法是分析已知量、相关量与待求量，看这些量共存于哪个公式中，这个公式就是要选取的最合适的公式．前种方法需要列出的方程个数多，求解麻烦；后者选公式需要花点工夫，但列出的方程数目少，求解比较简单。
3. 两类特殊的匀减速直线运动
(1) 刹车类问题：指匀减速到速度为零后即停止运动，加速度a突然消失，求解时要注意确定其实际运动时间．如果问题涉及最后阶段(到停止运动)的运动，可把该阶段看成反向的初速度为零、加速度不变的匀加速直线运动．
(2) 双向可逆类：如沿光滑斜面上滑的小球，到最高点后仍能以原加速度匀加速下滑，全过程加速度大小、方向均不变，故求解时可对全过程列式，但必须注意x、v、a等矢量的正负号及物理意义．
4. 常用的“六种”物理思想方法
（1）一般公式法
一般公式法指速度公式、位移公式及推论三式。它们均是矢量式，使用时要注意方向性。
（2）平均速度法
定义式＝ 对任何性质的运动都适用，而＝v＝(v0＋v)只适用于匀变速直线运动。
（3）比例法
对于初速度为零的匀加速直线运动与末速度为零的匀减速直线运动，可利用初速度为零的匀加速直线运动的重要特征中的比例关系，用比例法求解。
（4）逆向思维法
如匀减速直线运动可视为反方向的匀加速直线运动。
（5）推论法
利用Δx＝aT2：其推广式xm－xn＝(m－n)aT2，对于纸带类问题用这种方法尤为快捷。
（6）图象法
利用v－t图可以求出某段时间内位移的大小，可以比较v与v，还可以求解追及问题；用x－t图象可求出任意时间内的平均速度等。
5. 应用匀变速直线运动规律应注意的问题
（1）正负号的规定：匀变速直线运动的基本公式均是矢量式，应用时要注意各物理量的符号，一般情况下，我们规定初速度的方向为正方向，与初速度同向的物理量取正值，反向的物理量取负值。
（2）在匀变速直线运动中若物体先做匀减速直线运动，减速为零后又反向做匀加速直线运动，全程加速度不变．对这种情况可以将全程看做匀减速直线运动，应用基本公式求解。
（3）刹车类问题：匀减速直线运动，要注意减速为零后停止，加速度变为零的实际情况，注意题目给定的时间若大于刹车时间，计算时应以刹车时间为准。
6. 求解匀变速直线运动问题的一般解题步骤：
(1) 首先确定研究对象，并判定物体的运动性质。
(2) 分析物体的运动过程，要养成画物体运动示意(草)图的习惯。
(3) 如果一个物体的运动包含几个阶段，就要分段分析，各段交接处的速度往往是联系各段的纽带。
(4) 运用基本公式或推论等知识进行求解。
【典例3】．做匀减速直线运动的物体经4 s后停止，若在第1 s内的位移是14 m，则最后1 s的位移是( )
A．3.5 m B．2 m C．1 m D．0
【答案】B
【解析】匀减速直线运动可看做初速度为零的匀加速直线运动，其在连续相等时间内的位移大小之比为1∶3∶5∶7，已知第4 s内的位移是14 m，所以第1 s内的位移是2 m.
【典例4】．(2015·江苏高考)如图所示，某“闯关游戏”的笔直通道上每隔8 m设有一个关卡，各关卡同步放行和关闭，放行和关闭的时间分别为5 s和2 s．关卡刚放行时，一同学立即在关卡1处以加速度2 m/s2由静止加速到2 m/s，然后匀速向前，则最先挡住他前进的关卡是( )
A．关卡2 B．关卡3
C．关卡4 D．关卡5
【答案】C
二、 自由落体运动和竖直上抛运动
1．自由落体运动
(1)条件：物体只受重力作用，从静止开始下落．
(2)运动特点：初速度v0＝0，加速度为重力加速度g的匀加速直线运动．
(3)基本规律：①速度公式：v＝gt.
②位移公式：h＝gt2.
③速度位移关系式：v2＝2gh.
2．竖直上抛运动规律
(1)运动特点：加速度为g，上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做自由落体运动．
(2)基本规律：
①速度公式：v＝v0－gt.
②位移公式：h＝v0t－gt2.
③速度位移关系式：v2－v＝－2gh.
④上升的最大高度：H＝.
⑤上升到最高点所用时间：t＝.
【典例1】如图所示木杆长5 m，上端固定在某一点，由静止放开后让它自由落下(不计空气阻力)，木杆通过悬点正下方20 m处圆筒AB，圆筒AB长为5 m，求：
(1)木杆经过圆筒的上端A所用的时间t1是多少？
(2)木杆通过圆筒AB所用的时间t2是多少？(g取10 m/s2)
【合作探讨】
(1)木杆经过圆筒的过程中，能否将杆或筒视为质点？
提示：木杆经过圆筒的过程中，不能将木杆视为质点，也不能将圆筒视为质点．
(2)木杆下端经过圆筒的上端A和木杆上端经过圆筒的上端A对应木杆下落的高度各为多少？
提示：木杆下端经过圆筒的上端A时木杆下落了15 m.
木杆上端经过圆筒的上端A时木杆下落了20 m.
(3)木杆的上端经过圆筒下端B时木杆下落的高度为多少？
提示：木杆的上端经过圆筒下端B时木杆下落的高度为25 m.
【答案】 (1)(2－)s (2)(－)s
(2)木杆的上端离开圆筒下端B用时t上B＝＝ s＝ s
则木杆通过圆筒所用的时间t2＝t上B－t下A＝(－)s.
【典例2】某校一课外活动小组自制一枚火箭，设火箭从地面发射后，始终在垂直于地面的方向上运动．火箭点火后可认为做匀加速直线运动，经过4 s到达离地面40 m高处时燃料恰好用完，若不计空气阻力，g取10 m/s2，求：
(1)燃料恰好用完时火箭的速度；
(2)火箭上升离地面的最大高度；
(3)火箭从发射到残骸落回地面过程的总时间．
【解题关键】
关键信息
信息解读
火箭从地面发射
火箭的初位置在地面，初速度为零
火箭点火后可认为做匀加速直线运动，经过4 s到达离地面40 m高处
火箭在4 s内做初速度为零的匀加速直线运动
达到离地面40 m高处时燃料恰好用完，不计空气阻力
t＝4 s以后火箭做竖直上抛运动
【答案】 (1)20 m/s (2)60 m (3)(6＋2) s
【解析】 设燃料用完时火箭的速度为v1，所用时间为t1.
火箭的运动分为两个过程，第一个过程做匀加速上升运动，第二个过程做竖直上抛运动至到达最高点．
(1)对第一个过程有h1＝t1，代入数据解得v1＝20 m/s.
(2)对第二个过程有h2＝，代入数据解得h2＝20 m
所以火箭上升离地面的最大高度h＝h1＋h2＝40 m＋20 m＝60 m.
方法二 整体分析法
考虑从燃料用完到残骸落回地面的全过程，以竖直向上为正方向，全过程为初速度v1＝20 m/s，加速度a＝－g＝－10 m/s2，位移h′＝－40 m的匀减速直线运动，即有h′＝v1t－gt2，代入数据解得t＝(2＋2) s或t＝(2－2) s(舍去)，故t总＝t1＋t＝(6＋2) s.
【方法总结】
1．应用自由落体运动规律解题时的两点注意
(1)物体由静止开始的自由下落过程才是自由落体运动，从中间截取的一段运动过程不是自由落体运动，而是竖直下抛运动，应该用初速度不为零的匀变速直线运动规律去解决竖直下抛运动问题．
(2)可充分利用自由落体运动初速度为零的特点、比例关系及推论等规律解题．
①从运动开始连续相等的时间内位移之比为1∶3∶5∶7∶…∶(2n－1)．
②一段时间内的平均速度＝，＝，＝gt.
③连续相等的时间T内位移的增加量相等，即Δh＝gT2.
2．竖直上抛运动的三种对称性
(1)时间的对称性：
①物体上升到最高点所用时间与物体从最高点落回到原抛出点所用时间相等，即t上＝t下＝.
②物体在上升过程中从某点到达最高点所用的时间和从最高点落回该点所用的时间相等．
(2)速度的对称性：
①物体上抛时的初速度与物体又落回原抛出点时的速度大小相等、方向相反．
②物体在上升阶段和下降阶段经过同一个位置时的速度大小相等、方向相反．
(3)能量的对称性：
竖直上抛运动物体在上升和下降过程中经过同一位置时的动能、重力势能及机械能分别相等．
3．竖直上抛运动的两种处理方法
(1)分段法：将全程分为两个阶段，即上升过程的匀减速阶段和下落过程的自由落体阶段．
(2)全程法：将全过程视为初速度为v0，加速度a＝－g的匀变速直线运动，必须注意物理量的矢量性．习惯上取v0的方向为正方向，则：
①v>0时，物体正在上升；v<0时，物体正在下降．
②h>0时，物体在抛出点上方；h<0时，物体在抛出点下方．
【典例3】 (2017·淮安模拟)有一串佛珠穿在一根长1.8 m的细线上，细线的首尾各固定一个佛珠，中间还有5个佛珠．从最下面的佛珠算起，相邻两个佛珠的距离为5 cm、15 cm、25 cm、35 cm、45 cm、55 cm，如图所示．某人向上提起线的上端，让线自由垂下，且第一个佛珠紧靠水平桌面．松手后开始计时，若不计空气阻力，g取10 m/s2，则第2、3、4、5、6、7个佛珠( )
A．落到桌面上的时间间隔越来越大
B．落到桌面上的时间间隔相等
C．其中的第4个佛珠落到桌面上的速率为4 m/s
D．依次落到桌面上的速率关系为1：∶∶2∶∶
【答案】B
【典例4】 (2014·上海高考)在离地高h处，沿竖直方向同时向上和向下抛出两个小球，它们的初速度大小均为v，不计空气阻力，两球落地的时间差为( )
A. B. C. D.
【答案】A
三、 运动图像的分析与应用
1、常见的动力学图象
v-t图象、a-t图象、F-t图象、F-a图象等。
2、应用运动图像解题“六看”
(1)看“轴”
(2)看“线”
(3)看“斜率”
(4)看“面积”：v－t图像上图线和时间轴围成的“面积”表示位移
(5)看“纵截距”
(6)看“特殊点”
3、 直线运动中三种常见图象的比较(⑥是与t轴重合的直线)
比较
项目
x－t图象
v－t图象
a－t图象
图象
图
线
含
义
图线①表示质点做匀速直线运动(斜率表示速度v)
图线①表示质点做匀加速直线运动(斜率表示加速度a)
图线①表示质点做加速度逐渐增大的直线运动
图线②表示质点静止
图线②表示质点做匀速直线运动
图线②表示质点做匀变速直线运动
图线③表示质点向负方向做匀速直线运动
图线③表示质点做匀减速直线运动
图线③表示质点做加速度减小的直线运动
交点④表示此时三个质点相遇
交点④表示此时三个质点有相同的速度
交点④表示此时三个质点有相同的加速度
点⑤表示t1时刻质点位移为x1(图中阴影部分的面积没有意义)
点⑤表示t1时刻质点速度为v1(图中阴影部分面积表示质点在0～t1时间内的位移)
点⑤表示t1时刻质点加速度为a1(图中阴影部分面积表示质点在0～t1时间内的速度变化量)
图线⑥表示物体静止在原点
图线⑥表示物体静止
图线⑥表示物体加速度为0
【典例1】x t图象]如图所示是一物体的x t图象，则该物体在6 s内的路程是( )
A．0 m B．2 m C．4 m D．12 m
【答案】D
【典例2】速度图象的理解]质点做直线运动的速度－时间图象如图所示，该质点( )
A．在第1秒末速度方向发生了改变
B．在第2秒末加速度方向发生了改变
C．在第2秒内发生的位移为零
D．第3秒末和第5秒末的位置相同
【答案】D
【技巧总结】
(1) 无论是x-t图象还是v-t图象都只能描述直线运动。
(2) x-t图象和v-t图象都不表示物体运动的轨迹。
(3) x-t图象和v-t图象的形状由x与t、v与t的函数关系决定。
(4) 根据斜率判断物体的运动状况，根据位移图像斜率判断速度变化情况、根据速度图像斜率判断加速度变化情况。
(5). 利用图象的物理意义来解决实际问题往往起到意想不到的效果．在中学阶段某些问题根本无法借助初等数学的方法来解决，但如果注意到一些图线的斜率和面积所包含的物理意义，则可利用比较直观的方法解决问题。
6. 运用图象解答物理问题的“三个”步骤
(1)认真审题，根据题中所需求解的物理量，结合相应的物理规律确定所需的横、纵坐标表示的物理量。
(2)根据题意，找出两物理量的制约关系，结合具体的物理过程和相应的物理规律作出函数图象。
(3)由所作图象结合题意，运用函数图象进行表达、分析和推理，从而找出相应的变化规律，再结合相应的数学工具(即方程)求出相应的物理量。
【典例3】(2017·高密模拟)设物体运动的加速度为a、速度为v、位移为s.现有四个不同物体的运动图象如下列选项所示，假设物体在t＝0时的速度均为零，则其中表示物体做单向直线运动的图象是( )
【答案】C
【典例4】．(2016·江苏高考)小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞后回到原高度再次下落，重复上述运动．取小球的落地点为原点建立坐标系，竖直向上为正方向．下列速度v和位置x的关系图象中，能描述该过程的是( )
【答案】A
【解析】由题意知在运动过程中小球机械能守恒，设机械能为E，小球离地面高度为x时速度为v，则有mgx＋mv2＝E，可变形为x＝－＋，由此方程可知图线为开口向左、顶点在(，0)的抛物线，故选项A正确．
四、多角度解决追及相遇问题
1、追及和相遇问题的概述
1. 当两个物体在同一直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，这时就会涉及追及、相遇或避免相碰等问题。
2. 追及与相遇问题的实质是研究两个物体的时空关系，只要满足两个物体在同一时间到达同一地点，即说明两个物体相遇。
2、追及、相遇问题两种典型情况
（1）速度小者追速度大者
追及类型
图像描述
相关结论
匀加速追匀速
设x0为开始时两物体间的距离，则应有下面结论：
①t＝t0以前，后面物体与前面物体间的距离增大；
②t＝t0时，两物体相距最远，为x0＋Δx；
③t＝t0以后，后面物体与前面物体间的距离减小；
④一定能追上且只能相遇一次
匀速追匀减速
匀加速追匀减速
（2） 速度大者追速度小者
追及类型
图像描述
相关结论
匀减速追匀速
设x0为开始时两物体间的距离，开始追及时，后面物体与前面物体间的距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻：
①若Δx＝x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件；
②若Δx
匀减速追匀速
设x0为开始时两物体间的距离，开始追及时，后面物体与前面物体间的距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻：
①若Δx＝x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件；
②若Δx
匀速追匀加速
【典例1】甲、乙两车同时同地同向出发，在同一水平公路上做直线运动，甲的初速度v甲＝16 m/s，加速度大小a甲＝2 m/s2，做匀减速直线运动，乙以初速度v乙＝4 m/s，加速度大小a乙＝1 m/s2，做匀加速直线运动，求：
(1)两车再次相遇前二者间的最大距离；
(2)两车再次相遇所需的时间．
【自主思考】 (1)两车间距最大时应满足什么条件？
提示：甲、乙两车速度相等．
(2)两车相遇时应满足什么条件？
提示：甲、乙两车的位移相等．
【答案】 (1)24 m (2)8 s
【解析】 解法一 用物理分析法求解
(1)甲、乙两车同时同地同向出发，甲的初速度大于乙的初速度，但甲做匀减速运动，乙做匀加速运动，则二者相距最远时的特征条件是：速度相等，即v甲t＝v乙t
v甲t＝v甲－a甲t1；v乙t＝v乙＋a乙t1
得：t1＝＝4 s
相距最远Δx＝x甲－x乙
＝－＝(v甲－v乙)t1－(a甲＋a乙)t＝24 m.
(2)再次相遇的特征是：二者的位移相等，即
v甲t2－a甲t＝v乙t2＋a乙t
代入数值化简得
12t2－t＝0
解得：t2＝8 s，t′2＝0(即出发时刻，舍去)．
●迁移1 追者匀速，被追者匀加速
【典例2】．(2017·成都高新区摸底)一步行者以6.0 m/s的速度跑去追赶被红灯阻停的公共汽车，在跑到距汽车25 m处时，绿灯亮了，汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进，则 ( )
A．人能追上公共汽车，追赶过程中人跑了36 m
B．人不能追上公共汽车，人、车最近距离为7 m
C．人能追上公共汽车，追上车前人共跑了43 m
D．人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离越来越远
【答案】B
【解析】在跑到距汽车25 m处时，绿灯亮了，汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进，当汽车加速到6.0 m/s时二者相距最近．汽车加速到6.0 m/s所用时间t＝6 s，人运动距离为6×6 m＝36 m，汽车运动距离为18 m，二者最近距离为18 m＋25 m－36 m＝7 m，选项A、C错误，B正确．人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离先减小后增大，选项D错误．
●迁移2 追者匀减速，被追者匀速
【典例3】．(2017·济宁模拟)A、B两列火车，在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度vA＝10 m/s，B车在后，其速度vB＝30 m/s，因大雾能见度低，B车在距A车x0＝85 m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过180 m才能停止，问：B车刹车时A车仍按原速率行驶，两车是否会相撞？若会相撞，将在B车刹车后何时相撞？若不会相撞，则两车最近距离是多少？
【答案】 不会相撞 5 m
【解析】 设B车刹车过程的加速度大小为aB，
由v2－v＝2ax
可得：02－302＝2(－aB)×180
解得：aB＝2.5 m/s2
设经过时间t两车相撞，则有：vBt－aBt2＝x0＋vAt，
即30t－×2.5t2＝85＋10t
整理得t2－16t＋68＝0
●迁移3 追者匀速，被追者匀减速
【典例4】．如图所示，A、B两物体相距s＝7 m时，A在水平拉力和摩擦力作用下，正以vA＝4 m/s的速度向右匀速运动，而物体B此时正以vB＝10 m/s向右匀减速运动，加速度a＝－2 m/s2，则A追上B所经历时间是( )
A．7 s B．8 s
C．9 s D．10 s
【答案】B
●迁移4 追者匀加速，被追者匀减速
【典例5】．甲、乙两车相距40.5 m，同时沿平直公路做直线运动，甲车在前，以初速度v1＝16 m/s，加速度a1＝2 m/s2做匀减速直线运动，乙车在后，以初速度v2＝4 m/s，加速度a2＝1 m/s2，与甲同向做匀加速直线运动．求：
(1)甲、乙两车相遇前相距的最大距离．
(2)乙车追上甲车经历的时间.
【答案】 (1)64.5 m (2)11 s
【解析】 (1)甲、乙两车速度相等时距离最大，设时间为t1时，两车的速度相等，则：
v1－a1t1＝v2＋a2t1
即16－2t1＝4＋t1，解得：t1＝4 s
对甲车：x1＝v1t1－a1t＝48 m
对乙车：x2＝v2t1＋a2t＝24 m
故甲、乙两车相遇前相距的最大距离：
xmax＝x0＋x1－x2＝64.5 m.
(2)甲车运动的时间t2＝＝8 s
在甲车运动时间内，甲车位移：
x1′＝t2＝64 m
乙车位移：x2′＝v2t2＋a2t＝64 m
方法总结：
三、追及与相遇问题的求解方法
1．追及相遇问题中的一个条件和两个关系
(1)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能够追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点．
(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画运动示意图得到．
2．追及相遇问题常见的三种情况
假设物体A追物体B，开始时，两个物体相距x0，则：
(1)A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB.
(2)要使两物体恰好不相撞，两物体同时到达同一位置时速度相同，必有xA－xB＝x0，vA＝vB.
(3)若使两物体保证不相撞，则要求当vA＝vB时，xA－xB＜x0，且之后vA≤vB.
3．解答追及相遇问题的三种常用方法
(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立一幅物体运动关系的图景．
(2)数学极值法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于时间t的一元二次方程，用根的判别式进行讨论．若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ＜0，无解，说明追不上或不能相遇．
(3)图象法：将两个物体运动的速度—时间关系在同一图象中画出，然后利用图象分析求解相关问题．
高考预测补缺训练
1．某同学以校门口为原点，以向东为正方向建立坐标，记录了甲、乙两位同学的位移—时间(x t)图线，如图所示，下列说法中正确的是( )
A．在t1时刻，甲的瞬时速度为零，乙的速度不为零
B．在t2时刻，甲、乙速度可能相同
C．在t2时刻，甲、乙两同学相遇
D．在t3时刻，乙的速度为零，加速度不为零
【答案】C
2．(2017·海口模拟)一质点从原点出发做直线运动的v t图象如图134所示．下列说法正确的是( )
图134
A．质点6 s时刻到原点的距离为10 m
B．在0～2 s和4～6 s，质点的加速度相同
C．在2～4 s，质点的速度和加速度大小都减小
D．在2～4 s，质点的速度和加速度方向相同
【答案】C
【解析】质点在0～2 s内的位移大小等于4～6 s内的位移大小，方向相反，则质点在0～6 s内的位移等于2～4 s内的位移，其大小小于10 m，A错误；在0～2 s和4～6 s，质点的加速度方向相反，B错误；在2～4 s，质点做减速运动，速度减小，图线越来越平缓，则加速度减小，C正确；在2～4 s，质点的速度为正，加速度为负，二者方向相反，D错误．
3．【河北省武邑中学2017届高三上学期周考】（多选）甲、乙两物体沿同一方向做直线运动，6s末在途中相遇，它们的速度图像如图所示，可以确定： （ ）
A．t＝0时甲在乙的前方27m处
B．t＝0时乙在甲的前方27m处
C．6s之后两物体不会再相遇
D．6s之后两物体还会再相遇
【答案】AC
4． 【河北省武邑中学2017届高三上学期周考】（多选）一个从地面竖直上抛的小球，到达最高点前1s上升的高度是它上升的最大高度的1/4，不计空气阻力，g=10m/s2．则： （ ）
A．小球上升的最大高度是5m B．小球上抛的初速度是20m/s
C．2.5s时物体正在上升 D．1s末、3s末物体处于同一位置
【答案】BD
【解析】小球到达最高点前上升的高度是，由题知，小球上升的最大高度是，故A错误；由，得小球上抛的初速度是，故B正确；小球上升的总时间，则时物体正在下降，故C错误；由于小球上升的总时间是，则根据末、末物体处于同一位置，故D正确。
5．【四川省双流中学2017届高三9月月考理科综合】（多选）将甲乙两小球先后以同样的速度在距地面不同高度处竖直向上抛出，抛出时间相隔2 s，它们运动的图像分别如直线甲乙所示。则： （ ）
A．t＝2 s时，两球的高度相差一定为40 m
B．t＝4 s时，两球相对于各自的抛出点的位移相等
C．两球从抛出至落到地面所用的时间间隔相等
D．甲球从抛出至到达最高点的时间间隔与乙球相等
【答案】BD
6. 【湖北省沙市中学2017届高三上学期第二次考试】如图所示，光滑斜面倾角为30o，AB物体与水平面间摩擦系数均为μ=0.4，现将A、B两物体（可视为质点）同时由静止释放，两物体初始位置距斜面底端O的距离为LA=2.5m，LB=10m。不考虑两物体在转折O处的能量损失。
O
A
B
（1）求两物体滑到O点的时间差。
（2）B从开始释放，需经过多长时间追上A？（结果可用根号表示）
【答案】（1）1s（2）2.34s
【解析】（1）A到达底端时间
B到达底端时间
A B到达底端时间差
知识网络
知识清单
一、参考系与质点
1．参考系
（1）为了描述一个物体的运动，选定来做参考的另一个物体叫做参考系．
（2）参考系的选择：
①参考系的选取原则上是任意的.但实际问题中,应以研究问题方便,对运动的描述尽可能简单为原则.在研究地面上物体的运动时，通常选定地面或者相对于地面静止的其它物体作参考系．
②选择不同的参考系，来观察物体的运动时，其结果可能不同．
（3）参考系的意义
对同一个物体的运动，选择不同的参考系，观察到的物体运动情况往往不同，因此要描述一个物体的运动，必须首先选择参考系。
（4）参考系的“四性”
①标准性：用来选做参考系的物体都是假定不动的，被研究的物体是运动还是静止，都是相对于参考系而言的。
②任意性：参考系的选取具有任意性，但应以观察方便和使运动的描述尽可能简洁为原则；研究地面上物体的运动时，常选地面为参考系。
③统一性：比较物体的运动时，应该选择同一参考系。
④差异性：同一物体的运动选择不同的参考系，观察结果一般不同。
2．质点
（1）质点的概念：当物体的形状、大小、体积对所研究的问题不起作用或所起作用可忽略时，为了研究方便，就可忽略其形状、大小、体积，把物体简化为一个有质量的点．
（2）物体视为质点的条件：
①当物体上各部分的运动情况相同时，物体上任意一点的运动情况都能反映物体的运动，物体可看作质点．
②物体的大小、形状对所研究的问题无影响，或可以忽略不计的情况下，可看成质点．
有转动,但相对平动而言可以忽略时,也可以把物体视为质点.
二、坐标系
1.定量地描述物体的位置及位置的变化．
2.坐标系建立的原因：为了定量地描述物体(质点)的位置以及位置的变化，需要在参考系上建立一个坐标系。
3. 坐标系的种类与特点
种类
对运动的描述
坐标系的建立
举例
一维坐标系
（直线坐标系）
物体沿直线运动
以这条直线为x轴，在直线上规定原点、正方向和标度
M点位置坐标为x＝2 m
二维坐标系
（平面直角坐标系）
物体在某一平面内做曲线运动
以两条互相垂直的直线为x轴、y轴，交点为原点，规定正方向和标度
N点位置坐标为x＝3 m，y＝4 m
三维坐标系
（空间坐标系）
物体在某一空间内运动
以三条互相垂直的直线为x轴、y轴、z轴，交点为原点，规定正方向和标度
P点位置坐标为x＝3 m，y＝4 m，z＝2 m
三、时间与时刻
时刻：表示时间坐标轴上的点即为时刻。
时间：前后两时刻之差。时间坐标轴上用线段表示时间，例如，前几秒内、第几秒内。
(1)时间和时刻的区别与联系：
时间
时刻
区别
物理意义
时间是事物运动、发展、变化所经历的过程长短的量度
时刻是事物运动、发展、变化过程所经历的各个状态先后顺序的标志
时间轴上的表示方法
时间轴上的一段线段表示一段时间
时间轴上的点表示一个时刻
表述方法
“3秒内”、“前3秒内”、“后3秒内”、“第1秒内”、“第1秒到第3秒”均指时间
“3秒末”、“第3秒末”、“第4秒初”、“八点半”等均指时刻
应用
对应的是位移、路程、冲量、功等过程量．时间间隔=终止时刻－开始时刻。
对应的是位置、速度、动量、动能等状态量．
联系
两个时刻的间隔即为一段时间，时间是一系列连续时刻的积累过程，时间对应运动的一个过程，好比是一段录像；时刻对应运动的一瞬间，好比是一张照片
常见说法示意图
(2)在日常生活中所说的“时间”，其含义不尽相同，有时是指时刻，有时是指时间间隔，在物理学中，“时间”的含义就是时间间隔。
四、位移与路程
位移
路程
概念
表示质点位置变化的物理量，是从初位置指向末位置的有向线段
指质点运动轨迹的长度
标矢性
有大小，又有方向，位移是矢量
只有大小没有方向，是标量
决定因素
由初末位置决定而与路径无关
既与质点的初,末位置有关,也与路径有关
联系
都是描述质点运动的空间特征
②都是过程量
物体做单向直线运动时，位移大小等于路 程
图例
五、速度
1．瞬时速度与平均速度
平均速度
瞬时速度
定义
运动物体的位移和所用时间的比值,叫做这段位移(或时间内)的平均速度
运动物体经过某一位置(或在某时刻)的速度.
意义
粗略描述,对应一段时间，是一过程量
精确描述,对应某一时刻，是一状态量
大小
，在x—t图象中等于两时刻连线对应斜率的大小
v=(其中Δt→0)，在x—t图象中等于该时刻对应斜率的大小
方向
与位移方向相同
运动方向
联系
都描述物体运动的快慢和方向,都是矢量,单位都是m/s
瞬时速度是极短时间内的平均速度，匀速直线运动中平均速度等于瞬时速度
备注
平常所说的速度既可能是平均速度,也可能是瞬时速度,要根据上下文来判断
2.速度与速率的区别与联系：
①速度是矢量，而速率是标量；
②平均速度=，平均速率=；
③瞬时速度的大小通常叫速率．
六、速度—时间图像
1．定义
描述速度v与时间t关系的图像，简称速度图像。
2．v－t图像的作法
以横轴表示时间，纵轴表示速度，根据实际数据取单位长度，选定标度，描出数据点，用平滑曲线连接各点得到v－t图像。
七、加速度
1.定义
速度变化量与发生这一变化所用时间的比值。
2.定义式：，(速度的变化率)，单位m/s2．
3.意义：描述物体速度改变快慢的物理量
4.标矢性
矢量，方向与速度变化量的方向相同，由合外力的方向决定，与速度的方向关系不确定．
5．υ－t图像中图线的斜率表示加速度．
匀变速直线运动的研究
知识网络
知识清单
一、匀变速直线运动
1．定义：速度随时间均匀变化即加速度恒定的运动。
匀加速直线运动：加速度与速度方向相同。
2．分类：
匀减速直线运动：加速度与速度方向相反。
二、匀变速直线运动中的速度和时间的关系
1．公式：， at可理解为t时间内速度的变化量，即Δυ＝at．
公式中当υ0＝0时，υ＝at∝t，表示物体从静止开始做匀加速直线运动；当a＝0，υ＝υ0时，表示物体做匀速直线运动．速度的大小和方向都不变．
2．公式的矢量性
因为υ、υ0、a都是矢量，在直线运动中这些矢量只可能有两个方向，所以如果选定该直线的一个方向为正方向，则凡与规定正方向相同的矢量在公式中取正值，与规定正方向相反的矢量取负值．
3．平均速度：
，即匀变速直线运动的平均速度等于初、末速度的平均值，也等于中间时刻的瞬时速度．
三、匀变速直线运动中的位移与时间关系
1．公式： ，
2．位移公式为矢量式，若取初速度方向为正方向，当物体做匀加速运动时，a取正值；物体做匀减速运动，a取负值．并注意x、υ0、a必须选取统一的正方向．
3．若初速度υ0＝0，则公式变成，即x∝t2．
四、匀变速直线运动中的位移与速度的关系
1．公式：
2．如果问题的已知量和未知量都不涉及时间t，利用本公式求解，往往使问题变得简单、方便．
3．应用时要选取正方向，若x、a、υ、υ0的方向与正方向相反应取负值．
五、匀变速直线运动的推论
1．在连续相等的时间T内的位移之差为一恒定值，即Δx＝aT2．，推广为xm－xn＝(m－n)aT2.
2．某段位移中间位置的瞬时速度υ 与这段位移的初、末速度υ0与υ的关系为
3.某段时间内的平均速度，等于该段时间的中间时刻的瞬时速度，即＝vt/2＝.
4．初速度为零的匀加速直线运动的几个比例式：
设t＝0开始计时，以T为时间单位，则
①1T末、2T末、3T末……瞬时速度之比为
υ1∶υ2∶υ3∶…＝1∶2∶3∶…
②1T内、2T内、3T内……位移之比为
Δx1∶Δx2∶Δx3∶…＝12∶22∶32∶…
③第一个T内，第二个T内，第三个T内，……第n个T内位移之比为
xI∶xII∶xIII∶…∶xn∶＝1∶3∶5∶…(2n -1)
④通过连续相同位移所用时间之比为
Δt1∶Δt2∶Δt3∶…∶Δtn＝
六、自由落体运动
1.自由落体运动：
①定义：物体只在重力作用下从静止开始下落的运动
②特点：初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动
2．自由落体运动的条件：①初速度为零；②仅受重力
3．自由落体加速度（重力加速度g）
①定义：在同一地点，一切物体在自由落体运动中的加速度都相同，这个加速度叫做自由落体加速度
②数值：在地球不同的地方g不相同，随高度增大而减小，随纬度增大而增大，在通常的计算中，g取9.8m/s2，粗略计算g取10m/s2
4．自由落体运动公式：凡是初速度为零的匀加速度直线运动的规律，自由落体运动都适用。
①速度公式。
②位移公式
③速度与位移的关系式
5．伽利略研究自由落体运动的方法：
①假设运动的速度与时间是正比关系；
②推论如果速度与时间成正比，那么位移与时间的平方成正比；
③用小角度的光滑斜面来延长物体的下滑时间，再通过不同角度进行合理的外推来得出结论。
七、竖直上抛运动。
1．竖直上抛运动的条件：物体只在重力作用下，初速度竖直向上
2．运动性质：竖直方向的匀减速直线运动。它的加速度为重力加速度g（g= 9.8m/s2），方向竖直向下。
3．竖直上抛运动的规律。
选定竖直向上的初速度方向为正方向，那么，加速度g的方向应为负值。
①速度公式：
②位移公式：
③速度位移公式：
4．竖直上抛运动的几个特点：
①物体上升到最大高度时的特点是vt = 0。物体上升的最大高度H满足：
②时间对称——“上升阶段”和“下落阶段”通过同一段大小相等、方向相反的位移所经历的时间相等。
上升到最大高度所需要的时间满足： 。
物体返回抛出点所用的时间：
③速率对称——“上升阶段”和“下落阶段”通过同一位置时的速率大小相等
物体返回抛出点时的速度：
八、x t图象
1．定义
描述物体做直线运动的位移随时间变化规律的图像。
2．建立方法
以时间t为横轴，位移x为纵轴建立直角坐标系，在坐标系上描出物体在不同时刻t时的位移x所对应的点，并用平滑的图线连接各点。
3．物理意义：反映了物体做直线运动的位移随时间变化的规律．
4.斜率的意义：图线上某点切线斜率的大小表示物体速度的大小，斜率正负表示物体速度的方向．
九、v t图象
1.定义
描述物体做直线运动的速度随时间变化规律的图像。
2．图像特点
匀变速直线运动的v－t图像是一条倾斜的直线，如图所示。
3．物理意义：反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律．
4.斜率的意义：图线上某点切线斜率的大小表示物体在该点加速度的大小，斜率正负表示物体加速度的方向．
5.“面积”的意义
①图线与时间轴围成的面积表示相应时间内的位移的大小．
②若面积在时间轴的上方，表示位移方向为正；若此面积在时间轴的下方，表示位移方向为负．
十、追及和相遇问题
讨论追及、相遇的问题，其实质就是分析讨论两物体在同一时刻能否到达相同的空间位置问题．
1．追及相遇问题中的两个关系和一个条件
(1)两个关系：
即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画运动示意图得到．
(2)一个条件：
即两者速度相等，它往往是物体间能否追上、追不上(两者)或距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点．
2.追及类问题的提示
①匀加速直线运动追匀速运动，当二者速度相同时相距最远；
②匀速运动追匀加速直线运动，当二者速度相同时追不上以后就永远追不上了，此时二者相距最近；
③匀减速直线运动追匀速运动，当二者速度相同时相距最近，此时假设追不上，以后就永远追不上了；
④匀速运动追匀减速直线运动，当二者速度相同时相距最远；
⑤匀加速直线运动追匀加速直线运动，应当以一个运动当参照物，找出相对速度、相对加速度、相对位移．
【查漏补缺】
一、 匀变速直线运动规律的应用
【常用规律、公式】
1．基本规律
(1) 速度公式：v＝v0＋at.
(2) 位移公式：x＝v0t＋at2.
(3) 位移速度关系式：v2－v＝2ax.
这三个基本公式，是解决匀变速直线运动的基石．均为矢量式，应用时应规定正方向．
2．两个重要推论
(1) 物体在一段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，还等于初、末时刻速度矢量和的一半，即：＝v＝.
(2) 任意两个连续相等的时间间隔T内的位移之差为一恒量，即：Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2.
3．v0＝0的四个重要推论
(1) 1T 末、2T 末、3T 末、……瞬时速度的比为：
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n
(2) 1T 内、2T 内、3T 内……位移的比为：
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2
(3) 第一个T内、第二个T内、第三个T内……位移的比为：
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)
(4) 从静止开始通过连续相等的位移所用时间的比为：
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)
【典例1】．做匀减速直线运动的物体经4 s后停止，若在第1 s内的位移是14 m，则最后1 s的位移是( )
A．3.5 m B．2 m C．1 m D．0
【答案】B
【解析】 匀减速直线运动可看做初速度为零的匀加速直线运动，其在连续相等时间内的位移大小之比为1∶3∶5∶7，已知第4 s内的位移是14 m，所以第1 s内的位移是2 m.
【典例2】．(多选)物体做匀加速直线运动，在时间T内通过位移x1到达A点，接着在时间T内又通过位移x2到达B点，则物体( )
A．在A点的速度大小为
B．在B点的速度大小为
C．运动的加速度为
D．运动的加速度为
【答案】AB
【方法总结】
1．一个做匀减速直线运动的物体，末速度为零，若将整个运动时间分为相等的n个T，整个运动位移分为相等的n个x，可以得到如同初速度为零的匀加速直线运动相似的比例关系式，只是二者首尾颠倒。
2．基本公式加上这么多推论公式，应该如何选择呢？一种方法是不管推论只选基本公式，把已知量代入基本公式求解；再一种方法是分析已知量、相关量与待求量，看这些量共存于哪个公式中，这个公式就是要选取的最合适的公式．前种方法需要列出的方程个数多，求解麻烦；后者选公式需要花点工夫，但列出的方程数目少，求解比较简单。
3. 两类特殊的匀减速直线运动
(1) 刹车类问题：指匀减速到速度为零后即停止运动，加速度a突然消失，求解时要注意确定其实际运动时间．如果问题涉及最后阶段(到停止运动)的运动，可把该阶段看成反向的初速度为零、加速度不变的匀加速直线运动．
(2) 双向可逆类：如沿光滑斜面上滑的小球，到最高点后仍能以原加速度匀加速下滑，全过程加速度大小、方向均不变，故求解时可对全过程列式，但必须注意x、v、a等矢量的正负号及物理意义．
4. 常用的“六种”物理思想方法
（1）一般公式法
一般公式法指速度公式、位移公式及推论三式。它们均是矢量式，使用时要注意方向性。
（2）平均速度法
定义式＝ 对任何性质的运动都适用，而＝v＝(v0＋v)只适用于匀变速直线运动。
（3）比例法
对于初速度为零的匀加速直线运动与末速度为零的匀减速直线运动，可利用初速度为零的匀加速直线运动的重要特征中的比例关系，用比例法求解。
（4）逆向思维法
如匀减速直线运动可视为反方向的匀加速直线运动。
（5）推论法
利用Δx＝aT2：其推广式xm－xn＝(m－n)aT2，对于纸带类问题用这种方法尤为快捷。
（6）图象法
利用v－t图可以求出某段时间内位移的大小，可以比较v与v，还可以求解追及问题；用x－t图象可求出任意时间内的平均速度等。
5. 应用匀变速直线运动规律应注意的问题
（1）正负号的规定：匀变速直线运动的基本公式均是矢量式，应用时要注意各物理量的符号，一般情况下，我们规定初速度的方向为正方向，与初速度同向的物理量取正值，反向的物理量取负值。
（2）在匀变速直线运动中若物体先做匀减速直线运动，减速为零后又反向做匀加速直线运动，全程加速度不变．对这种情况可以将全程看做匀减速直线运动，应用基本公式求解。
（3）刹车类问题：匀减速直线运动，要注意减速为零后停止，加速度变为零的实际情况，注意题目给定的时间若大于刹车时间，计算时应以刹车时间为准。
6. 求解匀变速直线运动问题的一般解题步骤：
(1) 首先确定研究对象，并判定物体的运动性质。
(2) 分析物体的运动过程，要养成画物体运动示意(草)图的习惯。
(3) 如果一个物体的运动包含几个阶段，就要分段分析，各段交接处的速度往往是联系各段的纽带。
(4) 运用基本公式或推论等知识进行求解。
【典例3】．做匀减速直线运动的物体经4 s后停止，若在第1 s内的位移是14 m，则最后1 s的位移是( )
A．3.5 m B．2 m C．1 m D．0
【答案】B
【解析】匀减速直线运动可看做初速度为零的匀加速直线运动，其在连续相等时间内的位移大小之比为1∶3∶5∶7，已知第4 s内的位移是14 m，所以第1 s内的位移是2 m.
【典例4】．(2015·江苏高考)如图所示，某“闯关游戏”的笔直通道上每隔8 m设有一个关卡，各关卡同步放行和关闭，放行和关闭的时间分别为5 s和2 s．关卡刚放行时，一同学立即在关卡1处以加速度2 m/s2由静止加速到2 m/s，然后匀速向前，则最先挡住他前进的关卡是( )
A．关卡2 B．关卡3
C．关卡4 D．关卡5
【答案】C
二、 自由落体运动和竖直上抛运动
1．自由落体运动
(1)条件：物体只受重力作用，从静止开始下落．
(2)运动特点：初速度v0＝0，加速度为重力加速度g的匀加速直线运动．
(3)基本规律：①速度公式：v＝gt.
②位移公式：h＝gt2.
③速度位移关系式：v2＝2gh.
2．竖直上抛运动规律
(1)运动特点：加速度为g，上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做自由落体运动．
(2)基本规律：
①速度公式：v＝v0－gt.
②位移公式：h＝v0t－gt2.
③速度位移关系式：v2－v＝－2gh.
④上升的最大高度：H＝.
⑤上升到最高点所用时间：t＝.
【典例1】如图所示木杆长5 m，上端固定在某一点，由静止放开后让它自由落下(不计空气阻力)，木杆通过悬点正下方20 m处圆筒AB，圆筒AB长为5 m，求：
(1)木杆经过圆筒的上端A所用的时间t1是多少？
(2)木杆通过圆筒AB所用的时间t2是多少？(g取10 m/s2)
【合作探讨】
(1)木杆经过圆筒的过程中，能否将杆或筒视为质点？
提示：木杆经过圆筒的过程中，不能将木杆视为质点，也不能将圆筒视为质点．
(2)木杆下端经过圆筒的上端A和木杆上端经过圆筒的上端A对应木杆下落的高度各为多少？
提示：木杆下端经过圆筒的上端A时木杆下落了15 m.
木杆上端经过圆筒的上端A时木杆下落了20 m.
(3)木杆的上端经过圆筒下端B时木杆下落的高度为多少？
提示：木杆的上端经过圆筒下端B时木杆下落的高度为25 m.
【答案】 (1)(2－)s (2)(－)s
(2)木杆的上端离开圆筒下端B用时t上B＝＝ s＝ s
则木杆通过圆筒所用的时间t2＝t上B－t下A＝(－)s.
【典例2】某校一课外活动小组自制一枚火箭，设火箭从地面发射后，始终在垂直于地面的方向上运动．火箭点火后可认为做匀加速直线运动，经过4 s到达离地面40 m高处时燃料恰好用完，若不计空气阻力，g取10 m/s2，求：
(1)燃料恰好用完时火箭的速度；
(2)火箭上升离地面的最大高度；
(3)火箭从发射到残骸落回地面过程的总时间．
【解题关键】
关键信息
信息解读
火箭从地面发射
火箭的初位置在地面，初速度为零
火箭点火后可认为做匀加速直线运动，经过4 s到达离地面40 m高处
火箭在4 s内做初速度为零的匀加速直线运动
达到离地面40 m高处时燃料恰好用完，不计空气阻力
t＝4 s以后火箭做竖直上抛运动
【答案】 (1)20 m/s (2)60 m (3)(6＋2) s
【解析】 设燃料用完时火箭的速度为v1，所用时间为t1.
火箭的运动分为两个过程，第一个过程做匀加速上升运动，第二个过程做竖直上抛运动至到达最高点．
(1)对第一个过程有h1＝t1，代入数据解得v1＝20 m/s.
(2)对第二个过程有h2＝，代入数据解得h2＝20 m
所以火箭上升离地面的最大高度h＝h1＋h2＝40 m＋20 m＝60 m.
方法二 整体分析法
考虑从燃料用完到残骸落回地面的全过程，以竖直向上为正方向，全过程为初速度v1＝20 m/s，加速度a＝－g＝－10 m/s2，位移h′＝－40 m的匀减速直线运动，即有h′＝v1t－gt2，代入数据解得t＝(2＋2) s或t＝(2－2) s(舍去)，故t总＝t1＋t＝(6＋2) s.
【方法总结】
1．应用自由落体运动规律解题时的两点注意
(1)物体由静止开始的自由下落过程才是自由落体运动，从中间截取的一段运动过程不是自由落体运动，而是竖直下抛运动，应该用初速度不为零的匀变速直线运动规律去解决竖直下抛运动问题．
(2)可充分利用自由落体运动初速度为零的特点、比例关系及推论等规律解题．
①从运动开始连续相等的时间内位移之比为1∶3∶5∶7∶…∶(2n－1)．
②一段时间内的平均速度＝，＝，＝gt.
③连续相等的时间T内位移的增加量相等，即Δh＝gT2.
2．竖直上抛运动的三种对称性
(1)时间的对称性：
①物体上升到最高点所用时间与物体从最高点落回到原抛出点所用时间相等，即t上＝t下＝.
②物体在上升过程中从某点到达最高点所用的时间和从最高点落回该点所用的时间相等．
(2)速度的对称性：
①物体上抛时的初速度与物体又落回原抛出点时的速度大小相等、方向相反．
②物体在上升阶段和下降阶段经过同一个位置时的速度大小相等、方向相反．
(3)能量的对称性：
竖直上抛运动物体在上升和下降过程中经过同一位置时的动能、重力势能及机械能分别相等．
3．竖直上抛运动的两种处理方法
(1)分段法：将全程分为两个阶段，即上升过程的匀减速阶段和下落过程的自由落体阶段．
(2)全程法：将全过程视为初速度为v0，加速度a＝－g的匀变速直线运动，必须注意物理量的矢量性．习惯上取v0的方向为正方向，则：
①v>0时，物体正在上升；v<0时，物体正在下降．
②h>0时，物体在抛出点上方；h<0时，物体在抛出点下方．
【典例3】 (2017·淮安模拟)有一串佛珠穿在一根长1.8 m的细线上，细线的首尾各固定一个佛珠，中间还有5个佛珠．从最下面的佛珠算起，相邻两个佛珠的距离为5 cm、15 cm、25 cm、35 cm、45 cm、55 cm，如图所示．某人向上提起线的上端，让线自由垂下，且第一个佛珠紧靠水平桌面．松手后开始计时，若不计空气阻力，g取10 m/s2，则第2、3、4、5、6、7个佛珠( )
A．落到桌面上的时间间隔越来越大
B．落到桌面上的时间间隔相等
C．其中的第4个佛珠落到桌面上的速率为4 m/s
D．依次落到桌面上的速率关系为1：∶∶2∶∶
【答案】B
【典例4】 (2014·上海高考)在离地高h处，沿竖直方向同时向上和向下抛出两个小球，它们的初速度大小均为v，不计空气阻力，两球落地的时间差为( )
A. B. C. D.
【答案】A
三、 运动图像的分析与应用
1、常见的动力学图象
v-t图象、a-t图象、F-t图象、F-a图象等。
2、应用运动图像解题“六看”
(1)看“轴”
(2)看“线”
(3)看“斜率”
(4)看“面积”：v－t图像上图线和时间轴围成的“面积”表示位移
(5)看“纵截距”
(6)看“特殊点”
3、 直线运动中三种常见图象的比较(⑥是与t轴重合的直线)
比较
项目
x－t图象
v－t图象
a－t图象
图象
图
线
含
义
图线①表示质点做匀速直线运动(斜率表示速度v)
图线①表示质点做匀加速直线运动(斜率表示加速度a)
图线①表示质点做加速度逐渐增大的直线运动
图线②表示质点静止
图线②表示质点做匀速直线运动
图线②表示质点做匀变速直线运动
图线③表示质点向负方向做匀速直线运动
图线③表示质点做匀减速直线运动
图线③表示质点做加速度减小的直线运动
交点④表示此时三个质点相遇
交点④表示此时三个质点有相同的速度
交点④表示此时三个质点有相同的加速度
点⑤表示t1时刻质点位移为x1(图中阴影部分的面积没有意义)
点⑤表示t1时刻质点速度为v1(图中阴影部分面积表示质点在0～t1时间内的位移)
点⑤表示t1时刻质点加速度为a1(图中阴影部分面积表示质点在0～t1时间内的速度变化量)
图线⑥表示物体静止在原点
图线⑥表示物体静止
图线⑥表示物体加速度为0
【典例1】x t图象]如图所示是一物体的x t图象，则该物体在6 s内的路程是( )
A．0 m B．2 m C．4 m D．12 m
【答案】D
【典例2】速度图象的理解]质点做直线运动的速度－时间图象如图所示，该质点( )
A．在第1秒末速度方向发生了改变
B．在第2秒末加速度方向发生了改变
C．在第2秒内发生的位移为零
D．第3秒末和第5秒末的位置相同
【答案】D
【技巧总结】
(1) 无论是x-t图象还是v-t图象都只能描述直线运动。
(2) x-t图象和v-t图象都不表示物体运动的轨迹。
(3) x-t图象和v-t图象的形状由x与t、v与t的函数关系决定。
(4) 根据斜率判断物体的运动状况，根据位移图像斜率判断速度变化情况、根据速度图像斜率判断加速度变化情况。
(5). 利用图象的物理意义来解决实际问题往往起到意想不到的效果．在中学阶段某些问题根本无法借助初等数学的方法来解决，但如果注意到一些图线的斜率和面积所包含的物理意义，则可利用比较直观的方法解决问题。
6. 运用图象解答物理问题的“三个”步骤
(1)认真审题，根据题中所需求解的物理量，结合相应的物理规律确定所需的横、纵坐标表示的物理量。
(2)根据题意，找出两物理量的制约关系，结合具体的物理过程和相应的物理规律作出函数图象。
(3)由所作图象结合题意，运用函数图象进行表达、分析和推理，从而找出相应的变化规律，再结合相应的数学工具(即方程)求出相应的物理量。
【典例3】(2017·高密模拟)设物体运动的加速度为a、速度为v、位移为s.现有四个不同物体的运动图象如下列选项所示，假设物体在t＝0时的速度均为零，则其中表示物体做单向直线运动的图象是( )
【答案】C
【典例4】．(2016·江苏高考)小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞后回到原高度再次下落，重复上述运动．取小球的落地点为原点建立坐标系，竖直向上为正方向．下列速度v和位置x的关系图象中，能描述该过程的是( )
【答案】A
【解析】由题意知在运动过程中小球机械能守恒，设机械能为E，小球离地面高度为x时速度为v，则有mgx＋mv2＝E，可变形为x＝－＋，由此方程可知图线为开口向左、顶点在(，0)的抛物线，故选项A正确．
四、多角度解决追及相遇问题
1、追及和相遇问题的概述
1. 当两个物体在同一直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，这时就会涉及追及、相遇或避免相碰等问题。
2. 追及与相遇问题的实质是研究两个物体的时空关系，只要满足两个物体在同一时间到达同一地点，即说明两个物体相遇。
2、追及、相遇问题两种典型情况
（1）速度小者追速度大者
追及类型
图像描述
相关结论
匀加速追匀速
设x0为开始时两物体间的距离，则应有下面结论：
①t＝t0以前，后面物体与前面物体间的距离增大；
②t＝t0时，两物体相距最远，为x0＋Δx；
③t＝t0以后，后面物体与前面物体间的距离减小；
④一定能追上且只能相遇一次
匀速追匀减速
匀加速追匀减速
（2） 速度大者追速度小者
追及类型
图像描述
相关结论
匀减速追匀速
设x0为开始时两物体间的距离，开始追及时，后面物体与前面物体间的距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻：
①若Δx＝x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件；
②若Δx
匀减速追匀速
设x0为开始时两物体间的距离，开始追及时，后面物体与前面物体间的距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻：
①若Δx＝x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件；
②若Δx
匀速追匀加速
【典例1】甲、乙两车同时同地同向出发，在同一水平公路上做直线运动，甲的初速度v甲＝16 m/s，加速度大小a甲＝2 m/s2，做匀减速直线运动，乙以初速度v乙＝4 m/s，加速度大小a乙＝1 m/s2，做匀加速直线运动，求：
(1)两车再次相遇前二者间的最大距离；
(2)两车再次相遇所需的时间．
【自主思考】 (1)两车间距最大时应满足什么条件？
提示：甲、乙两车速度相等．
(2)两车相遇时应满足什么条件？
提示：甲、乙两车的位移相等．
【答案】 (1)24 m (2)8 s
【解析】 解法一 用物理分析法求解
(1)甲、乙两车同时同地同向出发，甲的初速度大于乙的初速度，但甲做匀减速运动，乙做匀加速运动，则二者相距最远时的特征条件是：速度相等，即v甲t＝v乙t
v甲t＝v甲－a甲t1；v乙t＝v乙＋a乙t1
得：t1＝＝4 s
相距最远Δx＝x甲－x乙
＝－＝(v甲－v乙)t1－(a甲＋a乙)t＝24 m.
(2)再次相遇的特征是：二者的位移相等，即
v甲t2－a甲t＝v乙t2＋a乙t
代入数值化简得
12t2－t＝0
解得：t2＝8 s，t′2＝0(即出发时刻，舍去)．
●迁移1 追者匀速，被追者匀加速
【典例2】．(2017·成都高新区摸底)一步行者以6.0 m/s的速度跑去追赶被红灯阻停的公共汽车，在跑到距汽车25 m处时，绿灯亮了，汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进，则 ( )
A．人能追上公共汽车，追赶过程中人跑了36 m
B．人不能追上公共汽车，人、车最近距离为7 m
C．人能追上公共汽车，追上车前人共跑了43 m
D．人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离越来越远
【答案】B
【解析】在跑到距汽车25 m处时，绿灯亮了，汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进，当汽车加速到6.0 m/s时二者相距最近．汽车加速到6.0 m/s所用时间t＝6 s，人运动距离为6×6 m＝36 m，汽车运动距离为18 m，二者最近距离为18 m＋25 m－36 m＝7 m，选项A、C错误，B正确．人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离先减小后增大，选项D错误．
●迁移2 追者匀减速，被追者匀速
【典例3】．(2017·济宁模拟)A、B两列火车，在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度vA＝10 m/s，B车在后，其速度vB＝30 m/s，因大雾能见度低，B车在距A车x0＝85 m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过180 m才能停止，问：B车刹车时A车仍按原速率行驶，两车是否会相撞？若会相撞，将在B车刹车后何时相撞？若不会相撞，则两车最近距离是多少？
【答案】 不会相撞 5 m
【解析】 设B车刹车过程的加速度大小为aB，
由v2－v＝2ax
可得：02－302＝2(－aB)×180
解得：aB＝2.5 m/s2
设经过时间t两车相撞，则有：vBt－aBt2＝x0＋vAt，
即30t－×2.5t2＝85＋10t
整理得t2－16t＋68＝0
●迁移3 追者匀速，被追者匀减速
【典例4】．如图所示，A、B两物体相距s＝7 m时，A在水平拉力和摩擦力作用下，正以vA＝4 m/s的速度向右匀速运动，而物体B此时正以vB＝10 m/s向右匀减速运动，加速度a＝－2 m/s2，则A追上B所经历时间是( )
A．7 s B．8 s
C．9 s D．10 s
【答案】B
●迁移4 追者匀加速，被追者匀减速
【典例5】．甲、乙两车相距40.5 m，同时沿平直公路做直线运动，甲车在前，以初速度v1＝16 m/s，加速度a1＝2 m/s2做匀减速直线运动，乙车在后，以初速度v2＝4 m/s，加速度a2＝1 m/s2，与甲同向做匀加速直线运动．求：
(1)甲、乙两车相遇前相距的最大距离．
(2)乙车追上甲车经历的时间.
【答案】 (1)64.5 m (2)11 s
【解析】 (1)甲、乙两车速度相等时距离最大，设时间为t1时，两车的速度相等，则：
v1－a1t1＝v2＋a2t1
即16－2t1＝4＋t1，解得：t1＝4 s
对甲车：x1＝v1t1－a1t＝48 m
对乙车：x2＝v2t1＋a2t＝24 m
故甲、乙两车相遇前相距的最大距离：
xmax＝x0＋x1－x2＝64.5 m.
(2)甲车运动的时间t2＝＝8 s
在甲车运动时间内，甲车位移：
x1′＝t2＝64 m
乙车位移：x2′＝v2t2＋a2t＝64 m
方法总结：
三、追及与相遇问题的求解方法
1．追及相遇问题中的一个条件和两个关系
(1)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能够追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点．
(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画运动示意图得到．
2．追及相遇问题常见的三种情况
假设物体A追物体B，开始时，两个物体相距x0，则：
(1)A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB.
(2)要使两物体恰好不相撞，两物体同时到达同一位置时速度相同，必有xA－xB＝x0，vA＝vB.
(3)若使两物体保证不相撞，则要求当vA＝vB时，xA－xB＜x0，且之后vA≤vB.
3．解答追及相遇问题的三种常用方法
(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立一幅物体运动关系的图景．
(2)数学极值法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于时间t的一元二次方程，用根的判别式进行讨论．若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ＜0，无解，说明追不上或不能相遇．
(3)图象法：将两个物体运动的速度—时间关系在同一图象中画出，然后利用图象分析求解相关问题．
高考预测补缺训练
1．某同学以校门口为原点，以向东为正方向建立坐标，记录了甲、乙两位同学的位移—时间(x t)图线，如图所示，下列说法中正确的是( )
A．在t1时刻，甲的瞬时速度为零，乙的速度不为零
B．在t2时刻，甲、乙速度可能相同
C．在t2时刻，甲、乙两同学相遇
D．在t3时刻，乙的速度为零，加速度不为零
【答案】C
2．(2017·海口模拟)一质点从原点出发做直线运动的v t图象如图134所示．下列说法正确的是( )
图134
A．质点6 s时刻到原点的距离为10 m
B．在0～2 s和4～6 s，质点的加速度相同
C．在2～4 s，质点的速度和加速度大小都减小
D．在2～4 s，质点的速度和加速度方向相同
【答案】C
【解析】质点在0～2 s内的位移大小等于4～6 s内的位移大小，方向相反，则质点在0～6 s内的位移等于2～4 s内的位移，其大小小于10 m，A错误；在0～2 s和4～6 s，质点的加速度方向相反，B错误；在2～4 s，质点做减速运动，速度减小，图线越来越平缓，则加速度减小，C正确；在2～4 s，质点的速度为正，加速度为负，二者方向相反，D错误．
3．【河北省武邑中学2017届高三上学期周考】（多选）甲、乙两物体沿同一方向做直线运动，6s末在途中相遇，它们的速度图像如图所示，可以确定： （ ）
A．t＝0时甲在乙的前方27m处
B．t＝0时乙在甲的前方27m处
C．6s之后两物体不会再相遇
D．6s之后两物体还会再相遇
【答案】AC
4． 【河北省武邑中学2017届高三上学期周考】（多选）一个从地面竖直上抛的小球，到达最高点前1s上升的高度是它上升的最大高度的1/4，不计空气阻力，g=10m/s2．则： （ ）
A．小球上升的最大高度是5m B．小球上抛的初速度是20m/s
C．2.5s时物体正在上升 D．1s末、3s末物体处于同一位置
【答案】BD
【解析】小球到达最高点前上升的高度是，由题知，小球上升的最大高度是，故A错误；由，得小球上抛的初速度是，故B正确；小球上升的总时间，则时物体正在下降，故C错误；由于小球上升的总时间是，则根据末、末物体处于同一位置，故D正确。
5．【四川省双流中学2017届高三9月月考理科综合】（多选）将甲乙两小球先后以同样的速度在距地面不同高度处竖直向上抛出，抛出时间相隔2 s，它们运动的图像分别如直线甲乙所示。则： （ ）
A．t＝2 s时，两球的高度相差一定为40 m
B．t＝4 s时，两球相对于各自的抛出点的位移相等
C．两球从抛出至落到地面所用的时间间隔相等
D．甲球从抛出至到达最高点的时间间隔与乙球相等
【答案】BD
6. 【湖北省沙市中学2017届高三上学期第二次考试】如图所示，光滑斜面倾角为30o，AB物体与水平面间摩擦系数均为μ=0.4，现将A、B两物体（可视为质点）同时由静止释放，两物体初始位置距斜面底端O的距离为LA=2.5m，LB=10m。不考虑两物体在转折O处的能量损失。
O
A
B
（1）求两物体滑到O点的时间差。
（2）B从开始释放，需经过多长时间追上A？（结果可用根号表示）
【答案】（1）1s（2）2.34s
【解析】（1）A到达底端时间
B到达底端时间
A B到达底端时间差
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