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人教版中考数学第一轮考点过关：第四单元三角形课时16角、相交线与平行线
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这是一份人教版中考数学第一轮考点过关：第四单元三角形课时16角、相交线与平行线，共33页。PPT课件主要包含了公共端点，平分线，考点二相交线，图16-1，同位角，内错角，同旁内角，考点四平行线，平行或相交，题组一必会题等内容，欢迎下载使用。
课时16 角、相交线与平行线
角 角平分线 相交线 垂线 平行线
考点一 角及角平分线的性质
1.角的相关概念:由具有① 的两条射线组成的图形叫做角. 当角的两边在一条直线上时,组成的角叫做平角.平角的一半叫做直角;小于直角的角叫做锐角;大于直角且小于平角的角叫做钝角.如果两个角的和是90°,那么这两个角叫做互为② . 如果两个角的和是180°,那么这两个角叫做互为③ .
2.角的平分线及性质:端点为角的顶点的一条射线把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的④ . 角的平分线有下面的性质定理:(1)角平分线上的点到这个角的两边的距离⑤ . (2)角的内部到这个角的两边的距离相等的点在这个角的⑥ 上.
相交线中的角,互为邻补角的两角的和为⑦ ,对顶角⑧ .如图16-1,直线AB和CD,EF相交构成八个角,其中∠1与∠5为⑨ ,∠4与∠6为⑩ ,∠4与∠5为 ⑪ .
【温馨提示】三线八角中截线与被截线的判断方法:两直线被第三条直线所截得的同位角(或内错角、同旁内角)的两边,共线的一边为截线,不共线的两边为被截直线.
考点三 垂线及垂线的性质
1.垂线两条直线相交所成的四个角中,当有一个角是直角时,就说这两条直线互相⑫ .其中一条直线叫做另一条直线的⑬ ,它们的交点叫做⑭ . 2.垂线的性质性质1:同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.性质2:垂线段最短.
1.平行线的概念在同一个平面内,不相交的两条直线叫做平行线.同一个平面内,两条直线的位置关系只有两种:⑮ . 2.平行公理及其推论平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线⑯ . 推论:如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
3.平行线的判定(1)同位角 ⑰ ,两直线平行; (2)内错角 ⑱ ,两直线平行; (3)同旁内角 ⑲ ,两直线平行. (4)其他平行线的判定方法:①平行线的定义;②平行于同一直线的两直线平行;③同一平面内垂直于同一直线的两直线平行.
4.平行线的性质(1)两直线平行,同位角 ⑳ ; (2)两直线平行,内错角㉑ ; (3)两直线平行,同旁内角 ㉒ .
1.如图16-2所示,点P到直线l的距离是( )A.线段PA的长度B.线段PB的长度C.线段PC的长度D.线段PD的长度
[解析]点P到直线l的距离就是过点P作直线l的垂线段的长度.
2.[2019·苏州]如图16-3.已知直线a∥b.直线c与直线a,b分别交于点A,B.若∠1=54°,则∠2等于( )A.126°B.134°C.130°D.144°
[解析]如图,∵a∥b,∠1=54°,∴∠1=∠3=54°,∴∠2=180°-54°=126°.故选A.
3.如图16-4,直线AB与CD相交于点O,EO⊥CD,垂足为O.若∠EOB=130°,则∠AOC的大小为( )A.40°B.50°C.90°D.130°
[解析]由EO⊥CD,得出∠EOD=90°,由∠BOD=∠EOB-∠EOD,可求出∠BOD的度数,利用对顶角相等即可求出∠AOC的大小.∵EO⊥CD,∴∠EOD=90°.∵∠EOB=130°,∴∠BOD=∠EOB-∠EOD=130°-90°=40°,∴∠AOC=40°.
4.如图16-5,下面推理中,正确的是( )A.∵∠A+∠D=180°,∴AD∥BCB.∵∠C+∠D=180°,∴AB∥CDC.∵∠A+∠D=180°,∴AB∥CDD.∵∠A+∠C=180°,∴AB∥CD
5.[2018·柳北区4月模拟]如图16-6,O为直线AB上一点,OE平分∠BOC,OD⊥OE于点O,若∠BOC=80°,则∠AOD的度数是( )A.70°B.50°C.40°D.35°
6.[2019·南京]如图16-7,结合图,用符号语言表达定理“同旁内角互补,两直线平行”的推理形式:∵ ,∴a∥b.
[解析]设这个角为x°,则它的余角为(90-x)°.由题意可得x=2(90-x).解得x=60.∴它的补角为180°-60°=120°.
7.若一个角的度数是它的余角的2倍,则这个角的补角的度数是 .
【失分点】错误认为同位角、内错角、同旁内角与两直线是否平行有关;有关三角板、量角器类角度计算题,不能抽象为数学问题.
8.[2016·柳州]如图16-8,与∠1是同旁内角的是( )A.∠2B.∠3C.∠4D.∠5
9.[2018·绵阳]如图16-9,有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠2=44°,那么∠1的度数是( )A.14°B.15°C.16°D.17°
例1 [2018·厦门质检]在同一条直线上依次有A,B,C,D四个点,若CD-BC=AB,则下列结论正确的是( )A.B是线段AC的中点B.B是线段AD的中点C.C是线段BD的中点D.C是线段AD的中点
精练1[2016·柳州]如图16-10,在直线l上有A,B,C三点,则图中线段共有( )A.1条B.2条C.3条D.4条精练2 如图16-11,AM为∠BAC的平分线,下列等式错误的是( )A. ∠BAC=∠BAMB.∠BAM=∠CAMC.∠BAM=2∠CAMD.2∠CAM=∠BAC
精练3 如图16-12,BD平分∠ABC,DE⊥BC于点E,AB=7,DE=4,则S△ABD= .
考向二 相交线与角的运算
例2 如图16-13,直线AB,CD交于点O,∠1=∠2.(1)∠3的对顶角是 ; (2)∠5的补角是 ; (3)若∠1与∠4的度数之比为1∶4,则∠3的度数是 .
例2 如图16-13,直线AB,CD交于点O,∠1=∠2.(3)若∠1与∠4的度数之比为1∶4,则∠3的度数是 .
精练1[2015·柳州]如图16-14,图中∠α的度数等于( )A.135°B.125°C.115°D.105°
精练2 如图16-15,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB,垂足为O,∠AOC=50°,则∠DOE等于( )A.30°B.40°C.50°D.60°
[解析]∵∠AOC=50°,∴∠BOD=50°.∴∠DOE=90°-50°=40°.
考向三 平行线的性质与判定
例3 如图16-16,已知∠ABC=180°-∠A,BD⊥CD于点D,EF⊥CD于点F.(1)求证:AD∥BC;(2)若∠1=36°,求∠2的度数.
解:(1)证明:∵∠ABC=180°-∠A,∴∠ABC+∠A=180°.∴AD∥BC.(2)∵AD∥BC,∠1=36°,∴∠DBC=∠1=36°.∵BD⊥CD,EF⊥CD,∴BD∥EF.∴∠2=∠DBC=36°.
精练1[2018·城中区第十二中模拟]如图16-17,直线AB∥CD,∠A=40°,∠D=45°,则∠1的度数是( )A.80°B.85°C.90°D.95°
[解析]∵AB∥CD,∴∠A=∠C=40°,∵∠1=∠D+∠C,∠D=45°,∴∠1=∠D+∠C=45°+40°=85°,故选B.
精练2[2018·柳州]如图16-18,a∥b,若∠1=46°,则∠2= °.
精练3[2019·柳州]如图16-19,若AB∥CD,则在图中所标注的角中,一定相等的角是 .
教材母题——人教版七下P37练习T13(1)完成下面的证明.如图16-20,点D,E,F分别是三角形ABC的边BC,CA,AB上的点,DE∥BA,DF∥CA,求证∠FDE=∠A.证明:∵DE∥BA,∴∠FDE= ( ). ∵DF∥CA,∴∠A= ( ). ∴∠FDE=∠A.
有关平行线的角度证明或计算
两直线平行,内错角相等
两直线平行,同位角相等
课时16 角、相交线与平行线
角 角平分线 相交线 垂线 平行线
考点一 角及角平分线的性质
1.角的相关概念:由具有① 的两条射线组成的图形叫做角. 当角的两边在一条直线上时,组成的角叫做平角.平角的一半叫做直角;小于直角的角叫做锐角;大于直角且小于平角的角叫做钝角.如果两个角的和是90°,那么这两个角叫做互为② . 如果两个角的和是180°,那么这两个角叫做互为③ .
2.角的平分线及性质:端点为角的顶点的一条射线把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的④ . 角的平分线有下面的性质定理:(1)角平分线上的点到这个角的两边的距离⑤ . (2)角的内部到这个角的两边的距离相等的点在这个角的⑥ 上.
相交线中的角,互为邻补角的两角的和为⑦ ,对顶角⑧ .如图16-1,直线AB和CD,EF相交构成八个角,其中∠1与∠5为⑨ ,∠4与∠6为⑩ ,∠4与∠5为 ⑪ .
【温馨提示】三线八角中截线与被截线的判断方法:两直线被第三条直线所截得的同位角(或内错角、同旁内角)的两边,共线的一边为截线,不共线的两边为被截直线.
考点三 垂线及垂线的性质
1.垂线两条直线相交所成的四个角中,当有一个角是直角时,就说这两条直线互相⑫ .其中一条直线叫做另一条直线的⑬ ,它们的交点叫做⑭ . 2.垂线的性质性质1:同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.性质2:垂线段最短.
1.平行线的概念在同一个平面内,不相交的两条直线叫做平行线.同一个平面内,两条直线的位置关系只有两种:⑮ . 2.平行公理及其推论平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线⑯ . 推论:如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
3.平行线的判定(1)同位角 ⑰ ,两直线平行; (2)内错角 ⑱ ,两直线平行; (3)同旁内角 ⑲ ,两直线平行. (4)其他平行线的判定方法:①平行线的定义;②平行于同一直线的两直线平行;③同一平面内垂直于同一直线的两直线平行.
4.平行线的性质(1)两直线平行,同位角 ⑳ ; (2)两直线平行,内错角㉑ ; (3)两直线平行,同旁内角 ㉒ .
1.如图16-2所示,点P到直线l的距离是( )A.线段PA的长度B.线段PB的长度C.线段PC的长度D.线段PD的长度
[解析]点P到直线l的距离就是过点P作直线l的垂线段的长度.
2.[2019·苏州]如图16-3.已知直线a∥b.直线c与直线a,b分别交于点A,B.若∠1=54°,则∠2等于( )A.126°B.134°C.130°D.144°
[解析]如图,∵a∥b,∠1=54°,∴∠1=∠3=54°,∴∠2=180°-54°=126°.故选A.
3.如图16-4,直线AB与CD相交于点O,EO⊥CD,垂足为O.若∠EOB=130°,则∠AOC的大小为( )A.40°B.50°C.90°D.130°
[解析]由EO⊥CD,得出∠EOD=90°,由∠BOD=∠EOB-∠EOD,可求出∠BOD的度数,利用对顶角相等即可求出∠AOC的大小.∵EO⊥CD,∴∠EOD=90°.∵∠EOB=130°,∴∠BOD=∠EOB-∠EOD=130°-90°=40°,∴∠AOC=40°.
4.如图16-5,下面推理中,正确的是( )A.∵∠A+∠D=180°,∴AD∥BCB.∵∠C+∠D=180°,∴AB∥CDC.∵∠A+∠D=180°,∴AB∥CDD.∵∠A+∠C=180°,∴AB∥CD
5.[2018·柳北区4月模拟]如图16-6,O为直线AB上一点,OE平分∠BOC,OD⊥OE于点O,若∠BOC=80°,则∠AOD的度数是( )A.70°B.50°C.40°D.35°
6.[2019·南京]如图16-7,结合图,用符号语言表达定理“同旁内角互补,两直线平行”的推理形式:∵ ,∴a∥b.
[解析]设这个角为x°,则它的余角为(90-x)°.由题意可得x=2(90-x).解得x=60.∴它的补角为180°-60°=120°.
7.若一个角的度数是它的余角的2倍,则这个角的补角的度数是 .
【失分点】错误认为同位角、内错角、同旁内角与两直线是否平行有关;有关三角板、量角器类角度计算题,不能抽象为数学问题.
8.[2016·柳州]如图16-8,与∠1是同旁内角的是( )A.∠2B.∠3C.∠4D.∠5
9.[2018·绵阳]如图16-9,有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠2=44°,那么∠1的度数是( )A.14°B.15°C.16°D.17°
例1 [2018·厦门质检]在同一条直线上依次有A,B,C,D四个点,若CD-BC=AB,则下列结论正确的是( )A.B是线段AC的中点B.B是线段AD的中点C.C是线段BD的中点D.C是线段AD的中点
精练1[2016·柳州]如图16-10,在直线l上有A,B,C三点,则图中线段共有( )A.1条B.2条C.3条D.4条精练2 如图16-11,AM为∠BAC的平分线,下列等式错误的是( )A. ∠BAC=∠BAMB.∠BAM=∠CAMC.∠BAM=2∠CAMD.2∠CAM=∠BAC
精练3 如图16-12,BD平分∠ABC,DE⊥BC于点E,AB=7,DE=4,则S△ABD= .
考向二 相交线与角的运算
例2 如图16-13,直线AB,CD交于点O,∠1=∠2.(1)∠3的对顶角是 ; (2)∠5的补角是 ; (3)若∠1与∠4的度数之比为1∶4,则∠3的度数是 .
例2 如图16-13,直线AB,CD交于点O,∠1=∠2.(3)若∠1与∠4的度数之比为1∶4,则∠3的度数是 .
精练1[2015·柳州]如图16-14,图中∠α的度数等于( )A.135°B.125°C.115°D.105°
精练2 如图16-15,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB,垂足为O,∠AOC=50°,则∠DOE等于( )A.30°B.40°C.50°D.60°
[解析]∵∠AOC=50°,∴∠BOD=50°.∴∠DOE=90°-50°=40°.
考向三 平行线的性质与判定
例3 如图16-16,已知∠ABC=180°-∠A,BD⊥CD于点D,EF⊥CD于点F.(1)求证:AD∥BC;(2)若∠1=36°,求∠2的度数.
解:(1)证明:∵∠ABC=180°-∠A,∴∠ABC+∠A=180°.∴AD∥BC.(2)∵AD∥BC,∠1=36°,∴∠DBC=∠1=36°.∵BD⊥CD,EF⊥CD,∴BD∥EF.∴∠2=∠DBC=36°.
精练1[2018·城中区第十二中模拟]如图16-17,直线AB∥CD,∠A=40°,∠D=45°,则∠1的度数是( )A.80°B.85°C.90°D.95°
[解析]∵AB∥CD,∴∠A=∠C=40°,∵∠1=∠D+∠C,∠D=45°,∴∠1=∠D+∠C=45°+40°=85°,故选B.
精练2[2018·柳州]如图16-18,a∥b,若∠1=46°,则∠2= °.
精练3[2019·柳州]如图16-19,若AB∥CD,则在图中所标注的角中,一定相等的角是 .
教材母题——人教版七下P37练习T13(1)完成下面的证明.如图16-20,点D,E,F分别是三角形ABC的边BC,CA,AB上的点,DE∥BA,DF∥CA,求证∠FDE=∠A.证明:∵DE∥BA,∴∠FDE= ( ). ∵DF∥CA,∴∠A= ( ). ∴∠FDE=∠A.
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两直线平行,内错角相等
两直线平行,同位角相等
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