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人教版中考数学第一轮考点过关：第四单元三角形课时20直角三角形与勾股定理
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这是一份人教版中考数学第一轮考点过关：第四单元三角形课时20直角三角形与勾股定理，共47页。PPT课件主要包含了斜边的一半，斜边上的中线，a2+b2c2，图20-1，图20-2，图20-3，题组一必会题，图20-4，图20-5，图20-6等内容，欢迎下载使用。
课时20 直角三角形与勾股定理
直角三角形的性质 直角三角形的判定
考点一 直角三角形的性质
1.直角三角形的两个锐角① . 2.在直角三角形中,30°角所对的直角边等于② . 3.直角三角形③ 等于斜边的一半. 4.勾股定理:直角三角形两直角边长a,b的平方和等于斜边长c的平方,即④ .
5.常见的勾股数:(1)(3,4,5),(6,8,10),…,(3n,4n,5n)(n是正整数);(2)(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41),……(3)(8,15,17),(12,35,37),……
考点二 直角三角形的判定
1.有一个角是⑤ 的三角形是直角三角形. 2.如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.3.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c(c为最大边长)有关系⑥ ,那么这个三角形是直角三角形.
考点三 互逆命题、互逆定理
将一个命题的题设和结论交换位置得到一个新的命题,这两个命题是互逆的命题,如果把其中一个叫做原命题,那么另一个命题就是它的逆命题.如果原命题是定理,它的逆命题也成立,那么这个逆命题可以叫做这个定理的逆定理.
1.已知:如图20-4,一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,则两船相距( )A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里
2.图20-5中字母A所代表的正方形的面积为(图中数据表示它所在正方形的面积)( )A.4 B.8C.16 D.64
[解析]根据勾股定理以及正方形的面积公式知,以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积,所以SA=289-225=64.
3.[2019·益阳]已知M,N是线段AB上的两点,AM=MN=2,NB=1,以点A为圆心,AN长为半径画弧;再以点B为圆心,BM长为半径画弧,两弧交于点C,连接AC,BC,则△ABC一定是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形
[解析]如图所示,∵AM=MN=2,NB=1,∴AB=AM+MN+NB=2+2+1=5,AC=AN=AM+MN=2+2=4,BC=BM=BN+MN=1+2=3,∴AB2=52=25,AC2=42=16,BC2=32=9,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形.
4.在等腰三角形ABC中,AB=AC=5 cm,BC=6 cm,则BC边上的高AD= .
5.一木工师傅做了一个长方形桌面,量得桌面的长为60 cm,宽为32 cm,对角线长为68 cm,则这个桌面 .(填“合格”或“不合格”)
6.如图20-6,是一块地的示意图.已知AD=8 m,CD=6 m,∠ADC=90°,AB=26 m,BC=24 m,则这块地的面积为 m2.
7.[2019·宜宾]如图20-7,已知Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,AC=4,BC=3,则AD= .
【失分点】受思维定式影响未分类讨论.
考向一 直角三角形的性质
例1 [2019·株洲]如图20-8所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CM是斜边AB上的中线,E,F分别为MB,BC的中点.若EF=1,则AB= .
[解析]因为Rt△ABC中,∠ACB=90°,CM是斜边AB上的中线,所以AB=2CM,又因为E,F分别为MB,BC的中点,所以EF为中位线,所以CM=2EF,从而AB=4EF=4.
例2 如图20-9所示,AD,BE分别为△ABC的边BC,AC上的高,G是AB的中点,GF⊥DE,求证:DF=FE.
【方法点析】在直角三角形中,有斜边中点时常连接直角顶点与斜边上的中点,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来证题.
精练1 如图20-10,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAB的平分线交BC于D,DE是AB的垂直平分线,垂足为E.若BC=3,则DE的长为( )A.1 B.2 C.3 D.4
精练2 [2019·枣庄]把两个同样大小含45°角的三角尺按如图20-11所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A,且另外三个锐角顶点B,C,D在同一直线上.若AB=2,则CD= .
例3 在Rt△ABC中,∠C=90°,若BC=5,AC=12,则AB= .
精练1[2016·柳州]如图20-12,在△ABC中,∠C=90°,则BC= .
精练2 直角三角形的两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为 .
[解析]∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=90°,∴BC2=EC2-EB2=22-12=3,∴正方形ABCD的面积=BC2=3.故选B.
[解析]设正方形ADOF的边长为x,则AB=4+x,AC=6+x,BC=10,由于∠A=90°,所以BC2=AB2+AC2,即100=16+8x+x2+36+12x+x2,解得x=2或x=-12(不合题意,舍去),故选B.
精练5 已知Rt△ABC中,∠C=90°,若BC∶AC=3∶4,AB=10 cm,则Rt△ABC的面积是 .
考向三 勾股定理的逆定理
例4 下列各组数据中的三个数,可作为三边长构成直角三角形的是( )A.4,5,6B.2,3,4C.11,12,13D.8,15,17
精练1 下列三角形:①△ABC中,∠C=∠A-∠B;②△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3;③△ABC中,a∶b∶c=3∶4∶5;④△ABC中,三边长分别为9,40,41.其中是直角三角形的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个
精练2 已知a,b,c为△ABC的三边,且满足(a2-b2)·(a2+b2-c2)=0,则△ABC的形状为( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形
精练3[八下P34习题17.2第5题改编]如图20-15,在四边形ABCD中,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,∠B=90°,则四边形ABCD的面积是 .
考向四 勾股定理的综合应用
例5 如图20-16,将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上的点F处.已知CE=3,AB=8,求BF的值.
精练1 如图20-17,将矩形ABCD沿EM折叠,使顶点B恰好落在CD边的中点N上,若AB=6,AD=9,则五边形ABMND的周长为( )A.28B.26C.25D.22
[解析]根据折叠可知BM=MN,设BM=x,则MN=x,MC=9-x.∵N为CD中点,∴CN=3.在Rt△CMN中,根据勾股定理得,x2=(9-x)2+32,解得x=5,∴五边形ABMND的周长为6+5+5+3+9=28,故选A.
精练2 将一根24 cm长的筷子,置于底面直径为15 cm,高为8 cm的圆柱形水杯中,如图20-18所示.设筷子露在杯子外面的长度为h cm,则h的取值范围是 .
精练3[八下P25例2改编]如图20-19,一架2.6 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO为2.4 m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m,那么梯子底端B外移了 m.(结果精确到0.01 m)
精练4[2015·柳州]如图20-20,在△ABC中,D为AC边的中点,且DB⊥BC,BC=4,CD=5.(1)求DB的长;(2)在△ABC中,求BC边上的高.
精练4[2015·柳州]如图20-20,在△ABC中,D为AC边的中点,且DB⊥BC,BC=4,CD=5.(2)在△ABC中,求BC边上的高.
(2)如图,过点A作AE⊥BC,交CB的延长线于点E.∵DB⊥BC,AE⊥BC,∴DB∥AE.∵AD=DC,∴DB是△AEC的中位线.∴AE=2DB=2×3=6.故在△ABC中,BC边上的高为6.
精练[2019·呼和浩特]下面三个命题:①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等;②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等;③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等,其中正确的命题的序号为 .
教材母题——人教版八下P24练习T2如图20-21图中所有的三角形都是直角三角形,四边形都是正方形.已知正方形A,B,C,D的边长分别是12,16,9,12,求最大正方形E的面积.
解:最大正方形E的面积等于正方形A,B,C,D的面积之和,即为122+162+92+122=625.
精练1 如图20-22,以直角三角形的三边a,b,c为边,向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形,上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3的图形个数是( )A.1B.2C.3D.4
课时20 直角三角形与勾股定理
直角三角形的性质 直角三角形的判定
考点一 直角三角形的性质
1.直角三角形的两个锐角① . 2.在直角三角形中,30°角所对的直角边等于② . 3.直角三角形③ 等于斜边的一半. 4.勾股定理:直角三角形两直角边长a,b的平方和等于斜边长c的平方,即④ .
5.常见的勾股数:(1)(3,4,5),(6,8,10),…,(3n,4n,5n)(n是正整数);(2)(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41),……(3)(8,15,17),(12,35,37),……
考点二 直角三角形的判定
1.有一个角是⑤ 的三角形是直角三角形. 2.如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.3.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c(c为最大边长)有关系⑥ ,那么这个三角形是直角三角形.
考点三 互逆命题、互逆定理
将一个命题的题设和结论交换位置得到一个新的命题,这两个命题是互逆的命题,如果把其中一个叫做原命题,那么另一个命题就是它的逆命题.如果原命题是定理,它的逆命题也成立,那么这个逆命题可以叫做这个定理的逆定理.
1.已知:如图20-4,一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,则两船相距( )A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里
2.图20-5中字母A所代表的正方形的面积为(图中数据表示它所在正方形的面积)( )A.4 B.8C.16 D.64
[解析]根据勾股定理以及正方形的面积公式知,以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积,所以SA=289-225=64.
3.[2019·益阳]已知M,N是线段AB上的两点,AM=MN=2,NB=1,以点A为圆心,AN长为半径画弧;再以点B为圆心,BM长为半径画弧,两弧交于点C,连接AC,BC,则△ABC一定是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形
[解析]如图所示,∵AM=MN=2,NB=1,∴AB=AM+MN+NB=2+2+1=5,AC=AN=AM+MN=2+2=4,BC=BM=BN+MN=1+2=3,∴AB2=52=25,AC2=42=16,BC2=32=9,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形.
4.在等腰三角形ABC中,AB=AC=5 cm,BC=6 cm,则BC边上的高AD= .
5.一木工师傅做了一个长方形桌面,量得桌面的长为60 cm,宽为32 cm,对角线长为68 cm,则这个桌面 .(填“合格”或“不合格”)
6.如图20-6,是一块地的示意图.已知AD=8 m,CD=6 m,∠ADC=90°,AB=26 m,BC=24 m,则这块地的面积为 m2.
7.[2019·宜宾]如图20-7,已知Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,AC=4,BC=3,则AD= .
【失分点】受思维定式影响未分类讨论.
考向一 直角三角形的性质
例1 [2019·株洲]如图20-8所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CM是斜边AB上的中线,E,F分别为MB,BC的中点.若EF=1,则AB= .
[解析]因为Rt△ABC中,∠ACB=90°,CM是斜边AB上的中线,所以AB=2CM,又因为E,F分别为MB,BC的中点,所以EF为中位线,所以CM=2EF,从而AB=4EF=4.
例2 如图20-9所示,AD,BE分别为△ABC的边BC,AC上的高,G是AB的中点,GF⊥DE,求证:DF=FE.
【方法点析】在直角三角形中,有斜边中点时常连接直角顶点与斜边上的中点,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来证题.
精练1 如图20-10,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAB的平分线交BC于D,DE是AB的垂直平分线,垂足为E.若BC=3,则DE的长为( )A.1 B.2 C.3 D.4
精练2 [2019·枣庄]把两个同样大小含45°角的三角尺按如图20-11所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A,且另外三个锐角顶点B,C,D在同一直线上.若AB=2,则CD= .
例3 在Rt△ABC中,∠C=90°,若BC=5,AC=12,则AB= .
精练1[2016·柳州]如图20-12,在△ABC中,∠C=90°,则BC= .
精练2 直角三角形的两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为 .
[解析]∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=90°,∴BC2=EC2-EB2=22-12=3,∴正方形ABCD的面积=BC2=3.故选B.
[解析]设正方形ADOF的边长为x,则AB=4+x,AC=6+x,BC=10,由于∠A=90°,所以BC2=AB2+AC2,即100=16+8x+x2+36+12x+x2,解得x=2或x=-12(不合题意,舍去),故选B.
精练5 已知Rt△ABC中,∠C=90°,若BC∶AC=3∶4,AB=10 cm,则Rt△ABC的面积是 .
考向三 勾股定理的逆定理
例4 下列各组数据中的三个数,可作为三边长构成直角三角形的是( )A.4,5,6B.2,3,4C.11,12,13D.8,15,17
精练1 下列三角形:①△ABC中,∠C=∠A-∠B;②△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3;③△ABC中,a∶b∶c=3∶4∶5;④△ABC中,三边长分别为9,40,41.其中是直角三角形的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个
精练2 已知a,b,c为△ABC的三边,且满足(a2-b2)·(a2+b2-c2)=0,则△ABC的形状为( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形
精练3[八下P34习题17.2第5题改编]如图20-15,在四边形ABCD中,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,∠B=90°,则四边形ABCD的面积是 .
考向四 勾股定理的综合应用
例5 如图20-16,将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上的点F处.已知CE=3,AB=8,求BF的值.
精练1 如图20-17,将矩形ABCD沿EM折叠,使顶点B恰好落在CD边的中点N上,若AB=6,AD=9,则五边形ABMND的周长为( )A.28B.26C.25D.22
[解析]根据折叠可知BM=MN,设BM=x,则MN=x,MC=9-x.∵N为CD中点,∴CN=3.在Rt△CMN中,根据勾股定理得,x2=(9-x)2+32,解得x=5,∴五边形ABMND的周长为6+5+5+3+9=28,故选A.
精练2 将一根24 cm长的筷子,置于底面直径为15 cm,高为8 cm的圆柱形水杯中,如图20-18所示.设筷子露在杯子外面的长度为h cm,则h的取值范围是 .
精练3[八下P25例2改编]如图20-19,一架2.6 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO为2.4 m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m,那么梯子底端B外移了 m.(结果精确到0.01 m)
精练4[2015·柳州]如图20-20,在△ABC中,D为AC边的中点,且DB⊥BC,BC=4,CD=5.(1)求DB的长;(2)在△ABC中,求BC边上的高.
精练4[2015·柳州]如图20-20,在△ABC中,D为AC边的中点,且DB⊥BC,BC=4,CD=5.(2)在△ABC中,求BC边上的高.
(2)如图,过点A作AE⊥BC,交CB的延长线于点E.∵DB⊥BC,AE⊥BC,∴DB∥AE.∵AD=DC,∴DB是△AEC的中位线.∴AE=2DB=2×3=6.故在△ABC中,BC边上的高为6.
精练[2019·呼和浩特]下面三个命题:①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等;②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等;③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等,其中正确的命题的序号为 .
教材母题——人教版八下P24练习T2如图20-21图中所有的三角形都是直角三角形,四边形都是正方形.已知正方形A,B,C,D的边长分别是12,16,9,12,求最大正方形E的面积.
解:最大正方形E的面积等于正方形A,B,C,D的面积之和,即为122+162+92+122=625.
精练1 如图20-22,以直角三角形的三边a,b,c为边,向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形,上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3的图形个数是( )A.1B.2C.3D.4
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