微专题四 三角形—2021年《三步冲刺中考•数学》（广东专版）之第1步小题夯基础

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知识点1：线、角、相交线与平行线
直线、射线、线段与角
（1）直线公理:经过两点有且只有一条直线.直线是向两方无限延伸的,直线没有端点.
（2）射线:直线上一点和它一旁的部分叫做射线,这点叫做射线的端点,射线向一方无限延伸,射线只有一个端点.
（3）线段:直线上两个点和它们之间的部分叫做线段.线段有两个端点,有长短之分,将某一线段分成两条相等的线段的点叫做该线段的中点.
（4）两点确定一条直线,两点之间线段最短,两点之间线段的长度叫做两点之间的距离.
（5）1°=60',1'=60″.
（6）1周角=2平角=4直角=360°.
（7）余角、补角:如果两个角的和等于90°,就说这两个角互为余角,同角或等角的余角相等；如果两个角的和等于180°,就说这两个角互为补角,同角或等角补角相等.
2. 对顶角：一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线,则称这两个角是对顶角,对顶角相等.
3. 角平分线：角平分线上的点到角两边的距离相等；到角两边距离相等的点在角平分线上.
4. 在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
5. 垂线段公理：直线外一点与已知线段连接的所有线段中，垂线段最短.
6. 线段垂直平分线
（1）线段垂直平分线的定义:垂直平分一条线段的直线叫做线段的垂直平分线.
（2）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
7. 平行线
（1）过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.
（2）平行线的性质:
① 两条直线平行,同位角相等;
② 两条直线平行,内错角相等;
③ 两条直线平行,同旁内角互补.
（3）平行线的判定:
① 同位角相等,两条直线平行;
② 内错角相等,两条直线平行;
③ 同旁内角互补,两条直线平行.
知识点2：全等三角形
1. 全等三角形的定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
2. 全等三角形的判定方法
（1）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.(简称“SAS”)
（2）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(简称“ASA”)
（3）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.(简称“AAS”)
（4）有三边对应相等的两个三角形全等.(简称“SSS”)
（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.(简称“HL”)
3. 全等三角形的性质
（1）全等三角形的对应边、对应角相等.
（2）全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等.
（3）全等三角形的周长相等、面积相等.
知识点3：相似三角形
比例的基本性质
（1）两条线段的长度之比叫做两条线段的比.
（2）在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.
（3）若a∶b=b∶c或,则b叫做a,c的比例中项.
（4）比例的基本性质:⇔ad=bc.
（5）合比性质:.
（6）等比性质:
=…=(b+d+…+n≠0)⇒.
（7）黄金分割:如图,点C为线段AB上一点,AC>BC，若AC2=AB·BC，则点C为线段AB的黄金分割点，AC=AB≈0.618AB，BC=AB，一条线段有2个黄金分割点.
（8）平行线分线段成比例定理:
①平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
②推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.
相似三角形
（1）定义:对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形.
（2）似三角形的判定定理
①相似三角形的判定定理1:两角对应相等的两个三角形相似;
②相似三角形的判定定理2:三边对应成比例的两个三角形相似;
③相似三角形的判定定理3:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;
④平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似;
⑤直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形与原三角形相似.补充:若CD为Rt△ABC斜边上的高(如图),则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD,且AC2=AD·AB,CD2=AD·BD,BC2=BD·AB.kj
（3）性质:
①相似三角形的对应角相等;
②相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例;
③相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.
相似多边形
（1）定义:各角对应相等,各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形;相似多边形对应边的比叫做相似比.
（2）性质:
①相似多边形的对应角相等、对应边成比例.
②相似多边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.
图形的位似
（1）位似图形定义:如果两个图形不仅相似,而且每组对应点所在直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,此时相似比又称位似比.
（2）位似图形的性质:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比,位似图形周长的比等于相似比,面积比等于位似比的平方.
知识点4：等腰三角形、等边三角形、直角三角形
等腰三角形
（1）定义:两边相等的三角形叫做等腰三角形.
（2）性质:①等腰三角形的两腰相等;
②等腰三角形的两底角相等,即“等边对等角”;
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合,即“三线合一”;
④等腰三角形是轴对称图形,有一条对称轴,对称轴是底边的垂直平分线.
（3）判定:
①有两条边相等的三角形是等腰三角形;
②有两个角相等的三角形是等腰三角形,即“等角对等边”.
等边三角形
（1）定义:三边相等的三角形是等边三角形.
（2）性质:
①等边三角形的三边相等,三角相等,且都等于60°;
②“三线合一”;
③等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴.
（3）判定:
①三条边都相等的三角形是等边三角形;
②三个角都相等的三角形是等边三角形;
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
直角三角形
（1）性质:
①直角三角形的两锐角互余;
②直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半;
③直角三角形中,斜边上的 中线长等于斜边长的一半.
（2）判定:有一个角是直角的三角形是直角三角形.
（3）勾股定理及其逆定理
①勾股定理:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方;
②勾股定理的逆定理:若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方,则这个三角形是直角三角形.
知识点5：锐角三角函数
锐角三角函数的概念
（1）锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数.
（2）在△ABC中，∠C=90°,
∠A的正弦sin A=,∠A的余弦cs A=,∠A的正切tan A=.
特殊角的三角函数值(填写下表)
知识点6：解直角三角形
解直角三角形
（1）解直角三角形的概念
在直角三角形中,除直角外,一共有5个元素,即3条边和2个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形.
（2）直角三角形的解法
直角三角形的解法按除直角外已知2个元素的不同情况可大致分为四种类型:
①已知一条直角边和一个锐角(如a,∠A),其解法为:∠B=90°-∠A,c=;
②已知斜边和一个锐角(如c,∠A),其解法为:∠B=90°-∠A,a=;
③已知两直角边(如a,b),其解法为:c2=a2+b2,tan A=;
④已知斜边和一直角边(如c,a),其解法为:b2=c2-a2,sin A=.
与解直角三角形有关的名词、术语
（1）视角:视线与水平线的夹角叫做视角.
从下向上看,叫做仰角;
从上往下看,叫做俯角.
（2）方位角:目标方向线与正北方向线顺时针时的夹角.
（3）坡度、坡角:坡面的垂直高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡度(或坡比),记作i=.坡面与水平面的夹角(α),叫做坡角.
三角函数
30°
45°
60°
sin a
cs a
tan a
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